научная статья по теме О РЕАЛИЗАЦИИ СВЯЗЕЙ В ЗАДАЧАХ КАЧЕНИЯ КОЛЕСНОГО АППАРАТА Механика

Текст научной статьи на тему «О РЕАЛИЗАЦИИ СВЯЗЕЙ В ЗАДАЧАХ КАЧЕНИЯ КОЛЕСНОГО АППАРАТА»

МЕХАНИКА

ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2013

УДК 531.8

© 2013 г. А. В. ВЛАХОВА О РЕАЛИЗАЦИИ СВЯЗЕЙ В ЗАДАЧАХ КАЧЕНИЯ КОЛЕСНОГО АППАРАТА

Исследуются модели, получаемые из уравнений качения аппарата с малыми проскальзываниями колес относительно опорной плоскости, предельным переходом к бесконечной жесткости контактных сил (нулевым значениям скоростей проскальзывания). Обсуждаются условия, при которых эти уравнения переходят в классическую неголономную модель непроскальзывания колес. Показано, что при малых углах поворота передних колес аппарата вокруг вертикальной оси пренебрежение проскальзываниями в поперечном по ходу движения направлении некорректно: предельная модель определяется условиями непроскальзывания колес в продольном направлении и первичными связями Дирака, возникающими из-за вырождения лагранжиана системы. Методика понижения порядка уравнений, учитывающих малые проскальзывания колес, может оказаться полезной для качественного анализа движения колесных систем и решения задач оценивания и управления в реальном времени.

Ключевые слова: моделирование качения, малые проскальзывания, малые обобщенные скорости, неголономная модель, модель с первичными связями Дирака.

1. Введение. Задачи качения колесных аппаратов часто решаются с использованием неголономной модели, т.е. в пренебрежении проскальзываниями колес относительно опорной плоскости. Границы применимости этой модели определяются условиями, при которых реакции связей не выходят из конусов трения, построенных в точках контакта.

Учет деформируемости колес показывает; что эти условия являются только необходимыми. Из-за неоднородности деформаций в областях контакта возникают тангенциальные напряжения, которые приводят к малым относительным движениям взаимодействующих поверхностей. При нарастании амплитуд этих быстрых движений возникает скольжение колес аппарата, и наложение неголономных связей делается необоснованным. В работе сформулированы достаточные условия, при которых быстрые процессы внутри областей контакта затухают, и качение аппарата с малыми различиями характеристик сцепления колес одной оси с опорной плоскостью можно описывать неголономной моделью.

Скольжение колес относительно опорной плоскости не является единственной причиной того, что движение системы не отвечает качению ее неголономного аналога. В работе показано, что в задачах качения аппарата с малыми углами поворота передних колес относительно корпуса (вокруг вертикальной оси) могут быть реализованы лишь условия непроскальзывания в продольном по ходу движения направлении, а проскальзываниями в поперечном направлении (боковым уводом колес) пренебрегать нельзя. Это связано с тем, что, в силу малости поперечной и угловой скоростей корпуса аппарата слагаемые в правых и левых частях соотношений между компонентами скоростей проскальзывания колес в поперечном направлении и обобщенными скоростями соизмеримы, т.е. предельный переход к бесконечным значениям жесткостей контактных сил (нулевым значениям скоростей проскальзывания) переводит эти соотношения в

Фиг. 1

x

0

тождества. С использованием подхода, разработанного в [1] для систем с малыми массами, показано, что в указанном случае могут быть дополнительно реализованы первичные связи Дирака [2, 3] — конечные соотношения между координатами и импульсами, которые возникают из-за вырождения лагранжиана системы при переходе к нулевым значениям малых обобщенных скоростей и малого отношения масс колес и корпуса. Многообразие, отвечающее этим связям, в общем случае не близко к многообразию, определяемому условиями непроскальзывания.

Достаточные условия реализации связей находятся с применением конструктивного подхода [4], методов теории сингулярно возмущенных уравнений с пограничным слоем [5] и фракционного анализа [6]. Корректность использования моделей со связями для значений параметров, отвечающих легковому автомобилю, подтверждается численными расчетами.

2. Постановка задачи и уравнения движения аппарата. Рассмотрим качение двухосного четырехколесного аппарата по горизонтальной однородной плоскости с малыми проскальзываниями колес. Для простоты подходы к математическому моделированию быстрых и медленных движений аппарата будут демонстрироваться на примере двухколесной "велосипедной" модели, используемой для описания движений с малыми различиями характеристик сцепления правых и левых колес одной оси с опорной плоскостью. В рамках этой модели передние (управляемые) колеса заменяются одним эквивалентным передним колесом, задние — одним задним, корпус считается неде-формируемым, его боковые наклоны отсутствуют. Размеры областей контакта колес и плоскости предполагаются малыми по сравнению с их характерными размерами, что позволяет использовать результаты теории качения [7] и считать взаимодействие точечным (т.е. рассматривать главный вектор распределенных по области контакта усилий, а главный момент этих усилий полагать равным нулю).

Свяжем с плоскостью движения аппарата неподвижный трехгранник Ox0y0z0, с центрами масс C, A1, A2 корпуса, первого — переднего и второго — заднего колес (последние далее считаются одинаковыми) — трехгранники Cxyz, A1x1y1z1 и A2x2y2z2. Оси 0г0, Cz, A1z1, A2z2 ориентированы по вертикали; оси Cx, A1x1, A2x2 лежат в плоскостях продольной симметрии корпуса и колес соответственно и направлены вперед по ходу движения (фиг. 1).

Положение модели определяется декартовыми координатами X, Уточки C в системе координат ОХцУо^о, углом ¥ поворота корпуса вокруг оси С1, углами ©ь ©2 поворота переднего и заднего колес вокруг осей А1у1 и А2у2 их вращения и углом А поворота переднего колеса относительно корпуса вокруг оси А^. Для автомобиля |Д| < 0.5. В большинстве случаев отношение ц массы колеса к массе аппарата мало. Поэтому, как и в [8—10], далее предполагается, что центр масс аппарата совпадает с точкой С. На основании теоремы Пуанкаре о малом параметре [6] в рамках указанного предположения движение аппарата определяется с погрешностью О(ц) на конечном интервале времени, ширина которого может быть оценена характерным временем изменения путевой скорости аппарата под действием сил порядка его веса. (Протяженность этого интервала времени обсуждается ниже.)

Составим уравнения движения аппарата из уравнений изменения количества движения точки С в проекциях на оси Ох0, Оу0, уравнения изменения кинетического момента аппарата относительно точки С в проекции на ось С1, а также уравнений изменения кинетического момента переднего колеса относительно осей А1у1 и А1г1, заднего колеса относительно оси А2у2 и необходимых кинематических соотношений:

йХ = йт = о, ав1 =

йТ йТ йТ ' йТ 1 йТ йТ

,у о

М^ = рх1С0&( + д) - р Лр + д) + Рх2ос^ - Д^п^ + Д0 Т

ж!0

(2.1)

M^ = Px1sin (С + А) + Py1cos (С + А) + Px2sinC + Py2cosC + F0 hlT + /г1 ITT = (PxisinA + PyleosA) A - PylB + Mz

I dOi = R + i = +

dT 1 dT 2

т dOA + т = M dT dT

Здесь T — время; M — масса аппарата; Iz — его момент инерции относительно оси Cz;

I = дар2, Iz1 = m р^ — осевой момент инерции колес и момент инерции переднего колеса относительно оси A^; m, р, pz1 — масса колеса и соответствующие радиусы инерции; R — радиус колес; A, B — продольные расстояния от точки C до осей A1y1, A2y2; H — высота точки C над опорной плоскостью Ох0у0; Px, Pyj (j = 1, 2) — проекции на оси AjXj, Ayj трехгранника AjXjyjZj касательных составляющих контактных сил взаимодействия j-го колеса с опорной плоскостью; Lx, L2 — моменты со стороны двигателя и тормозных колодок, приложенные колесам по направлению осей A^, A^y2; MA — момент рулевого

привода, приложенный к переднему колесу по направлению оси A^; F0 , Fy , Mz — соответствующие проекции внешних возмущающих сил и моментов; g — ускорение свободного падения. Далее рассматриваются [8—10] значения ц = m/M ~ 10-1—10-2.

Для описания касательных составляющих контактных сил будем, как и в [8—10] использовать модель, которая, в отличие от традиционной модели увода, учитывает не только поперечные, но и продольные деформации колес:

Фиг. 2

Pxj_ -К xjNj—P(sj ), Pyj= -К yjNj^piSj) S j S j

1 1 (2.2)

s _ Uj s _ UyL x Q jR y Q jR'

•j slj + s)j {j _ 1,2)

Обоснование соотношений (2.2) проводилось в работах [6, 11]. Здесь к— Kyj- — коэффициенты кулонова трения скольжения по направлениям осей A— Ay; N- — нормальные реакции в точках контакта колес с опорной плоскостью. Связь N- с касательными составляющими контактных сил может быть найдена из системы, образованной уравнением изменения количества движения точки C в проекции на ось Cz и уравнением изменения кинетического момента аппарата относительно точки C в проекции на ось Су трехгранника Cxyz. На уровне точности системы (2.1) получим

N i = MsB - (PxiC0S А-pyisin А + Px2) H, N2 = Mg - N1 (2.3)

A + B

Будем рассматривать значения

Nj > 0 (j = 1, 2) (2.4)

отвечающие движению без отрыва колес от опорной плоскости. Через U-, UУ в (2.2) обозначены проекции скорости точки контакта j-го колеса с плоскостью Ox0y0 на оси A—, Ay-:

Ux1 = V0 cos (P + A) + V0 sin (P + A) + QZA sin A - Q1R

Uy1 = -V0 sin (P + A) + V0 cos (P + A) + QZA cos A

Ux2 = V0 cos P + V0 sin P - Q2R

Uy2 = -V0 sin P + Vy0 cos P - QzB

Функция p(Sj) определяется из эксперимента. В работе она аппроксимируется кусочно-линейной характеристикой, показанной на фиг. 2. Для пневматических колес ширина б линейной зоны характеристики p(s), отвечающей зоне микропроскальзыва-

ний (псевдоскольжения) колес, имеет порядок 10-1. Рассматриваемая модель не учитывает угловые скорости и моменты верчения, возникающие при контакте колес с опорной плоскостью. Поскольку область применимости "велосипедной" модели четырехколесного аппарата ограничена движениями с небольшими поперечными и угловыми скоростями корпуса, то, в соответствии с [6], в пренебрежении угловыми скоростями верчения выражения для зу- определяются с погрешностью, не превосходящей величин порядка %/Я; отношение характерных значений моментов верчения и моментов касательных составляющих контактных сил относительно центра масс системы можно оценить величиной %/тт(А, В), где % — характерный размер областей контакта

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком