ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 72. Вып. 3, 2008
УДК 539.3
© 2008 г. А. С. Кравчук О РЕШЕНИИ ТРЕХМЕРНЫХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ С ТРЕНИЕМ
Развивается вариационный метод решения контактных задач с трением, подчиняющегося закону трения Кулона в скоростях, и строятся численные решения пространственных задач о контакте шара, цилиндра конечной длины и куба с упругим полупространством. Установлено, что максимум сил трения соответствует точке раздела областей сцепления и скольжения. С увеличением числа шагов этот максимум уменьшается, а распределение сил трения становится более гладким. Дается описание некоторых нежелательных эффектов, которые могут возникать при численной реализации метода - численных артефактов. Эти эффекты могут иметь место при численном решении задач с иным физическим содержанием, математическая структура которых сходна со структурой исследованных контактных задач, поскольку причина артефактов - наличие односторонних ограничений и зависимость области, в которой имеют место односторонние ограничения со знаком равенства, от внешних воздействий. Эта проблема решается путем надлежащего выбора нулевых приближений на шаге нагружения.
1. Введение. Рассматривается задача о контакте жесткого подвижного шероховатого штампа с упругим деформируемым телом. Формы штампа и тела могут быть произвольными, область контакта и граница областей сцепления и проскальзывания заранее неизвестны и должны определяться в ходе решения. Закон трения Амонтона-Кулона содержит скорости относительных перемещений, поэтому задачу следует ставить и решать в приращениях по времени или относительно приращений внешних воздействий, если речь идет о квазистатических задачах, рассматриваемых в работе. Как и ранее [1-4], используется вариационный метод, позволяющий провести теоретическое исследование и сформулировать итерационный метод решения. Каждая итерация на шаге по нагрузке заключается в решении последовательности задач минимизации некоторого функционала, последняя, в свою очередь, сводится к решению обычных (не контактных) задач теории упругости. При численной реализации дискретизация по пространственным переменным производится по методу граничных элементов, бесконечно-малые приращения и нагрузки и решения заменяются конечными разностями.
Впервые контактная задача с трением о внедрении плоского прямоугольного штампа в упругую полуплоскость для неизвестной заранее границы областей сцепления и скольжения была решена Галиным [5]. Была использована замена скоростей в законе трения перемещениями и установлено, что упомянутая граница не зависит от прижимающей силы, а зависит только от коэффициента трения f и коэффициента Пуассона V. Численно были найдены координаты границы для 10 значений коэффициента трения.
Впоследствии было найдено уравнение для границы раздела [6], хорошо согласующееся с решением Л.А. Галина.
Было найдено [6, 7] решение осесимметричной контактной задачи с трением c неизвестной заранее линией раздела областей сцепления и скольжения. Имеется обзор результатов, полученных за последние годы и построены решения некоторых новых контактных задач с трением, износом и адгезией [8].
Во всех перечисленных и большинстве опубликованных работ по проблеме используются следующие ограничительные предположения:
1) закон трения связывает силы трения с нормальным давлением и относительными перемещениями в области контакта,
2) нормальное давление предполагается известным и не зависящим от сил трения,
3) направление вектора сил трения не зависит от изменения формы контактирующих тел вследствие их деформации; например, в задаче о контакте жесткого штампа с полупространством силы трения параллельны недеформированной границе полупространства.
Методика, использованная ниже и свободная от указанных ограничений, была развита ранее [1-4].
2. Основные обозначения и соотношения, локальная постановка. Пусть деформируемое тело, контактирующее с абсолютно жестким шероховатым подвижным штампом, занимает произвольную область О с границей X = ЭО.
Используем следующие обозначения: 6 - тензор напряжений (крышка означает второй ранг), е = (Уи + Уит)/2 - тензор малых деформаций Коши, в декартовой системе: £у = (Эи/Эх^ + Эи/Эх,)/2, и - вектор перемещений, V - вектор единичной внешней нормали
к границе X, 6 = 6 ■ V - вектор усилий на границе X, 6 = бмп + стт - разложение вектора поверхностных усилий на касательную (к границе) и нормальную составляющие, х - радиус-вектор точки.
Рассмотрим процесс изменения напряженно-деформированного состояния деформируемого тела в зависимости от процесса изменения внешних воздействий. Параметр процесса будем обозначать через 1; в динамике I - время, в рассматриваемых здесь задачах в качестве t будем использовать кинематический параметр, определяющий положение штампа, например, длину пути поступательного смещения, при котором возможен поворот, также зависящий от пути вдоль траектории.
Локальная постановка задачи содержит уравнения в точках области О и уравнения, и неравенства на границе X. Будем полагать, что массовые силы равны нулю; тогда в области О имеем:
уравнения равновесия
У • 6 = 0 (2.1)
закон Гука
6 = а •• е (2.2)
и приведенные выше формулы Коши для компонент тензора малых деформаций; а -тензор модулей упругости.
Предполагается, что X = Х6 и Хи и Хс. На части границы Х6 с X заданы поверхностные усилия с плотностью Р
6VIX6 = р(X, I), X 6X6 (2.3)
на части границы Xu с X заданы перемещения
и| ^ = и(х, I), х 6Xu (2.4)
Р(х, t), и(х, 0 - заданные функции. Точки поверхности Хс могут входить в контакт со штампом.
Для формулировки граничных условий на XC введем две системы координат: неподвижную Охуг = Ох1х2х3 и систему связанную с подвижным штампом; для про-
стоты будем считать, что обе системы декартовы и в начальный момент времени совпадают. Пусть поверхность штампа в момент начала нагружения описывается уравнением
х) = о (2.5)
Предположим, что ¥(£) > 0 для точек с координатами £ вне области, занимаемой штампом, и ¥(£) < 0 для точек внутри штампа. Зададим движение штампа вектором ир
поступательного смещения и матрицей поворота А, элементы которой выражаются через углы Эйлера между осями подвижной и неподвижной координатных систем. Заметим, что для постановки и решения контактных задач с трением необходимо задавать бесконечно-малые смещения и бесконечно-малые вращения, для которых справедлив закон сложения. Рассматриваются задачи, в которых имеет место либо только поступательное перемещение штампа, либо последовательно задаются сначала поступательное смещение, а затем поворот. Тогда закон сложения будет справедлив для полных смещений и поворотов, т.е.
X = ир + А • £ (2.6)
Случай произвольного движения штампа рассмотрен ранее [9].
Рассматривая соотношение (2.6) как уравнение относительно переменных £, находим, что
£ = А"1 •(х - ир) (2.7)
В результате деформации произвольная точка х б Хс займет положение х + и(х, г); тогда формула (2.7) и сформулированные выше предположения относительно функции Т позволяют написать неравенство
А-1 •(X + и(X, г) - ир)]> 0, Ух е!с (2.8)
смысл которого заключается в том, что точки границы деформируемого тела не могут проникать внутрь штампа.
Будем считать, что нормальные усилия сжимающие, тогда
оN(X, г) < 0, Ух е Xс (2.9)
Имеет место уравнение
¥[А"1 • (х + и(х, г) + ир)]ом(х, г) = 0, Ух е Хс (2.10)
смысл которого заключается в том, что в каждой точке границы либо имеет место контакт, либо, по предположению, давление на поверхности равно нулю.
Для замыкания модели необходимо задать соотношения для касательных компонент поверхностных усилий в области контакта. При отсутствии трения эти компоненты равны нулю:
аТ (х, г) = 0, Ух еХ с (2.11)
Если же в области контакта справедлив закон сухого трения Кулона, то
|стТ| < /\о N ^ иТ = 0 (2.12)
|стТ| < /\о N ^ Зк > 0 : иТ = -к аТ (2.13)
Если имеет место проскальзывание, то | йТ | > 0 и
стТ/| стТ| = -иТ/| иТ| (2.14)
Величина ит равна относительной скорости скольжения точек тела по штампу, т.е.
производной от касательной компоненты вектора относительных перемещений по параметру г.
Локальная постановка задачи заключается в том, чтобы найти поле перемещений и(х, г), X е О, г е [0, Т] из соотношений (2.1)-(2.4), (2.8)-(2.13).
Замечание. Постановка и решение задачи о контакте двух (и более) деформируемых тел для случая малых деформаций обычно осуществляется с использованием гипотез Герца: начальное касание тел осуществляется в точке, условие непроникания записывается для проекций перемещений на нормаль к общей касательной плоскости в начальной точке касания. Общая теория для конечных деформаций и перемещений была развита [10, 11] на основе использования аппарата римановой геометрии для поверхностей касания.
3. Вариационная формулировка задачи и метод решения. Рассмотрим сначала проблему учета скоростей, т.е. зависимости от истории процесса. Введем разность (для сокращения записи зависимость от х опустим)
5*и = и(г + йг) - и(г) = и +й - и (3.1)
По построению, величина иг известна, поле перемещений иг + й подлежит определению. Обозначим через йиг линейную часть этого перемещения, а для вариации сохраним обозначение 5. Тогда
5 *иг = иг+йг - иг, 5 иг = w - иг, й иг = 11 (х, г) йг, й иг = и (х, г) йг (3.2)
где ^ - кинематически допустимое поле перемещений для момента времени г + йг, 11 (г) -поле истинных скоростей в момент времени г, и (г) - поле возможных скоростей.
В определение кинематической допустимости перемещений входит удовлетворение граничному условию (2.4) и условию непроникания (2.8), а также непрерывность в области О с надлежащими ограничениями, налагаемыми на гладкость в области О.
Проблема определения кинематически допустимых скоростей на поверхности Хс решается путем применения гипотезы Остроградского: эти скорости произвольны (естественно, они бесконечно мало отличаются от истинных) в тех точках, в которых касания нет, т.е. условие непроникания выполняется со знаком строгого неравенства; в точках касания возможные скорости могут быть направлены только вне штампа. Данная гипотеза приводит к сл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.