ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 5, 2012
УДК 621.01
© 2012 г. Статников Р.Б., Матусов И.Б.
О РЕШЕНИЯХ ЗАДАЧ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ И ДОВОДКИ ОПЫТНЫХ ОБРАЗЦОВ
Приведены основные результаты многокритериальных исследований в задачах векторной идентификации и доводки опытных образцов, основанных на методе Исследования Пространства Параметров и ПК MOVI.
В работах [1—8] описан метод Исследования Пространства Параметров (ИПП) для постановки и решения задач векторной идентификации и проектирования. Метод ИПП реализован в виде программного комплекса ПК MOVI (Multicriteria Optimization and Vector Identification).
Имеется достаточно много постановок задач идентификации [9, 10]. В работе [11] под идентификацией объекта понимают построение его математической модели и определение ее параметров по данным о реакции объекта на известные внешние возмущения. В задачах механики при построении математической модели вначале определяют класс и структуру ее оператора, т.е. закона, в соответствии с которым возмущения (входные переменные) преобразуются в реакции объекта (выходные процессы). Эта часть общей задачи идентификации называется структурной идентификацией. Определение численных значений параметров математической модели, структура которой известна, называется параметрической идентификацией [11].
Определим многокритериальную или векторную идентификацию как установление соответствия реального объекта некоторой математической модели на основании близости множества локальных критериев. Более подробно об этом будет сказано ниже. Эффективность метода ИПП для решения задач идентификации показана в работах [1—6].
Построение достоверной математической модели имеет первостепенное значение во всех инженерных задачах, в том числе проектирования, улучшения прототипа и т.д. Главная особенность этих задач заключается в следующем. Во многих задачах идентификации молчаливо предполагается, что объект адекватно описывается математической моделью. В общем случае при исследовании таких сложных объектов, как машины, механизмы, конструкции, не приходится говорить о достаточном соответствии математической модели реальному объекту. Кроме того, зачастую нет дастаточных оснований пользоваться лишь одним показателем адекватности, что имеет место в традиционных задачах идентификации [9—11].
В отличие от традиционных методов решения задач идентификации имеется возможность оценивать адекватность математической модели по множеству локальных критериев близости. Такой многокритериальный подход нужен прежде всего для определения степени соответствия математической модели реальному объекту. Известно, что метод ИПП не предполагает каких-либо ограничений на количество критериев — их может быть столько, сколько это нужно специалисту. Это очень важный фактор для идентификации математических моделей, где количество локальных критериев оценивается многими десятками [1—6, 12]. К сказанному добавим, что у специ-
алистов нет достаточной информации о границах вариации многих идентифицируемых параметров.
Метод исследования пространства параметров в задачах векторной идентификации.
Обозначим через Ф^ (а), v = 1, к характеристики (критерии), определяемые из анализа математической модели, описывающей исследуемый объект, а = (а:, ..., аг) — вектор параметров исследуемой модели. Под локальными критериями адекватности понимаются рассогласования между экспериментальными и полученными при расчете математической модели характеристиками объекта.
т-г -г. exp
Пусть Фу — экспериментальное значение v-го критерия, измеренного непосредственно на опытном образце, например, на прототипе. При этом предполагается, что
определяемые характеристики Ф^ измеряются во всех наиболее важных точках конструкции объекта. Их должно быть достаточно для корректной постановки задачи идентификации.
Постановка задачи. Имеется математическая модель объекта или множество моделей, описывающих его функционирование. Пусть Ф = (||фj -Ф^Ц, ..., ||фк-Ф^) где |М| — локальный критерий адекватности или близости. Этот критерий есть функ-
- с - exp , - с ,*exp4 2 I - с „^expl
ция от невязки Фу - Фу , который выражается как (Фу - Фу ) или |ФУ - Фу | .
Если экспериментальные характеристики Ф^ , v = 1, к измеряются со значитель-
exp
ными погрешностями, то значение Фу можно рассматривать как случайную величину. Если эта случайная величина нормально распределена, то соответствующий критерий адекватности можно выразить, как M{ ||ф^ - Ф^Ц} , где M{ ||-|| } означает математическое ожидание случайной величины ||-|| . Для других функций распределения используются более сложные методы оценки критериев. Например, метод максимального правдоподобия.
Сопоставляя экспериментальные и расчетные характеристики, требуется определить соответствие модели реальному объекту и идентифицировать параметры модели, т.е. найти векторы параметров а', которые удовлетворяют параметрическим, функциональным и критериальным ограничениям
а* < aj< а**, j = 1, г; с* <f(а) < с**, l = 1, t;
||ф:(а') -Фг| <Ф**.
(1)
Ограничения (1) определяют допустимую область Ла. Здесь Ф** — критериальные ограничения, которые назначаются в процессе диалога исследователя с компьютером на основании анализа таблиц испытаний. Эти ограничения во многом определяются точностью натурного эксперимента и физическим смыслом критериев Фу.
Постановка и решение задачи основаны на методе ИПП. В соответствии с методом
ИПП строятся и анализируются таблицы испытаний, определяются значения Ф** и
находятся векторы, удовлетворяющие ограничениям (1). Эти векторы а', принадлежащие допустимой области Ба, назовем адекватными. Определение параметров математической модели в соответствии с заданными ограничениями определяет суть векторной параметрической идентификации. Проделав эту операцию на всех имеющихся структурах (математических моделях), осуществим векторную структурную идентификацию и в конечном счете определим наилучшую модель по основным критериям адекватности.
<> i ■> Lf, .....Й.. ......¡Í. « 0 i
..•>4.?..... .......ü..... ♦ ......ъ
<$\0 ........ ili o o o * •>
%é «¡s .. с £♦1 0
........ ♦ ♦ f* i 4
fe <s> 0 Ф1 эпус гимые решен
-щ я<г щгрГ****
i í-
Ё.Ш
L-^ Адекватные решения
--[[[[[[.
....^.Идентифицированные решения ......
........i........i........t........t........i........h........i.......t........ ........ ....... ........ ........ ........ ........ ........
10
12
14
16 18 Критерий 5
Рис. 1
6
2
4
8
В задачах структурной идентификации при исследовании различных математических моделей объекта существенно могут изменяться число варьируемых параметров и их границы, а также количество критериев близости.
Векторы а'и, принадлежащие множеству адекватных векторов и определенные с помощью некоторого решающего правила как наиболее предпочтительные, назовем идентифицированными. Роль такого правила зачастую выполняет неформальный анализ множества адекватных векторов.
Если в результате его выделяется несколько наиболее предпочтительных и эквивалентных друг другу векторов a'¡d , то получаем неоднозначное решение задачи идентификации.
Совокупность идентифицированных векторов a'¡d образует область идентификаЦии Did = ^ a\d .
i
В [1] рассмотрена 5-параметрическая и 6-критериальная задача. График зависимости локальных критериев 5 и 6 приведен на рис. 3 (все рисунки в статье выполнены с помощью ПК MOVI [7]). Проведено N = 1024 испытаний, из которых в таблицу попало N1 = 789 решений, удовлетворивших функциональным ограничениям. После анализа таблиц испытаний специалист определил ограничения на все критерии. В итоге получены 87 допустимых (адекватных), и 8 Парето-оптимальных (идентифицированных) векторов; недопустимых решений — 702 (рис. 1).
На гистограмме распределения допустимых решений [1, 7] для первого параметра (рис. 2) видно, что все 87 допустимых решений локализованы у правой границы. Поэтому дальнейшая коррекция задачи возможна за счет увеличения значения правой границы этого параметра. Кружки внизу (рис. 2) показывают расположение идентифицированных векторов. Подобную важную информацию о распределении допустимых решений специалист получает после анализа других гистограмм. На основании изучения таблиц испытаний и информации, полученной с помощью инструментов визуализации (графиков, гистограмм, таблиц допустимых решений и т.п.), специалист корректирует исходные данные с целью улучшения результатов идентификации [1].
Если провести дополнительные натурные эксперименты и пересмотреть значения Ф** , то удается уменьшить область Did и даже добиться, чтобы она состояла из одного вектора. Однако так бывает далеко не всегда. Неоднозначное восстановление пара-
(1,100000000Е+06-2,000000000Е+06) Границы вариации параметра 1
Рис. 2
метров — плата за неполноту представления реального объекта в виде математической модели, неполноту натурного эксперимента и т.д.
В ряде случаев множество Ба может оказаться пустым. Главные причины возможной пустоты Ба — несовершенство математических моделей и отсутствие знаний о границах поиска идентифицируемых параметров. Однако и сам по себе процесс решения задачи (поиск области Ба) крайне важен, даже если его результаты оказываются не столь обнадеживающими. В этом случае специалист получает возможность аргументировано, а не только на уровне интуиции аттестовать математическую модель — видеть ее достоинства и недостатки по всем критериям близости, а также на основе данной информации корректировать постановку задачи. Векторная идентификация — это нередко единственный путь определения качества математической модели сложного объекта и, следовательно, путь, гарантирующий достоверность результатов в процессе дальнейшей оптимизации.
Аппроксимация допустимой области в задачах идентификации. Допустим, что после проведения вычислений и составления таблиц испытаний оказалось, что найдены допустимые решения или решения, у которых значения тех или и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.