ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2008, том 44, № 1, с. 56-66
УДК 551.466.8
О РЕЗОНАНСНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ВОЛН НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА В ПРОСТЕЙШЕЙ МОДЕЛИ СТРАТИФИЦИРОВАННОГО СДВИГОВОГО ТЕЧЕНИЯ
© 2008 г. Н. Н. Романова
Институт физики атмосферы им. Ф.М. Обухова РАН 119017 Москва, Пыжевский пер., 3 E-mail.: nata@ifaran.ru Поступила в редакцию 29.05.2007 г., после доработки 27.06.2007 г.
На основании уравнений динамики вихреволновых возмущений двумерных стратифицированных течений в идеальной несжимаемости жидкости, записанных в гамильтоновой форме, рассмотрено резонансное взаимодействие волн дискретного и непрерывного спектра. Во взаимодействии участвуют гравитационно-сдвиговая волна, генерируемая на скачке плотности и завихренности невозмущенного течения и волна на слабом скачке завихренности, аналогичная волне непрерывного спектра. На основании записи уравнений в терминах нормальных переменных получена эволюционная система уравнений для амплитуд взаимодействующих волн. Получено условие устойчивости вихреволновых возмущений в рамках линейной теории. Показано, что учет кубичной нелинейности может приводить к стабилизации неустойчивых возмущений, если коэффициент при нелинейном члене положителен.
1. ВВЕДЕНИЕ
Как известно, широкий круг вопросов, относящихся к устойчивости волновых возмущений в двумерных стратифицированных сдвиговых течениях в идеальной несжимаемой жидкости был исследован на примере послойно стратифицированных моделей, в которых плотность и скорость (или завихренность) невозмущенного горизонтального течения постоянны в каждом слое и терпят разрывы на границах слоев. Простейшим примером такого течения является широко известная модель Кельвина-Гельмгольца. Жидкость состоит из двух слоев разной плотности, каждый из которых движется со своей скоростью. Если плотность жидкости в нижнем слое превосходит плотность жидкости в верхнем, конвективная неустойчивость отсутствует. Однако скачок скорости невозмущенного течения на границе слоев может приводить к гидродинамической неустойчивости течения. Это неустойчивость Кельвина-Гельмгольца, многократно исследованная в научной литературе (см., например, [1]). Множество авторов рассматривали также трехслойные модели с постоянной плотностью и скоростью невозмущенного течения в слоях. В этих моделях появляется дополнительная неустойчивость, обусловленная резонансным взаимодействием волн, генерируемых на разных скачках скорости, если эти волны имеют разные знаки энергии [2-6].
Для исследования устойчивости однородных двумерных сдвиговых течений широко использо-
валась кусочно-линейная аппроксимация невозмущенной скорости течения, зависящей от высоты (метод Релея). В этой модели ступенчатой функцией является завихренность невозмущенного течения. На каждом скачке невозмущенной завихренности генерируется мода дискретного спектра, и число собственных мод равно числу скачков завихренности. Таким образом, скачок завихренности основного течения является, в отличие от скачка скорости, волнообразующим фактором.
Однако, как справедливо отмечалось в литературе, метод Релея обладает рядом недостатков. Так, в некоторых случаях при сглаживании кусочно-линейного профиля нормальные моды, отвечающие скачкам завихренности, исчезают. Кроме того, система мод дискретного спектра не полна, и произвольное начальное возмущение нельзя разложить по конечному числу мод, отвечающих скачкам завихренности (изломам скорости) невозмущенного течения. Как было показано в работах [7-9], уравнение Релея, описывающее линейную динамику волн в двумерных однородных течениях с произвольной гладкой зависимостью скорости течения от высоты, имеет сингулярные решения особого типа (волны Кейза), соответствующие непрерывному спектру. Заметим, что в течении Куэтта в качестве решения присутствуют только волны непрерывного спектра.
Отсюда следует, что к результатам, полученным на основе метода послойных аппроксимаций, следует относиться с осторожностью. Тем не менее возможности применения таких методов
далеко не исчерпаны. Вопрос о том, насколько хорошо результаты, основанные на послойных аппроксимациях, согласуются с результатами, полученными для течений с непрерывной стратификацией, сильно зависит от вида стратификации невозмущенных плотности и скорости течения, а также от вида начальных возмущений. Так, если завихренность невозмущенного течения резко меняется с высотой в некотором слое, узком по сравнению с характерной длиной волны, и постоянна (или меняется очень слабо) вне слоя, а начальное возмущение отлично от нуля только в этом слое, то эволюция этого возмущения достаточно хорошо описывается волной на скачке завихренности, т.е. волной дискретного спектра (см. работы [10, 11]). Если же начальное возмущение вносится на уровне, где резкие изменения невозмущенной завихренности отсутствуют, то эволюция его описывается волной непрерывного спектра (волной Кейза). В данной работе мы будем рассматривать резонансное взаимодействие возмущений, генерируемых на двух уровнях скачков завихренности, если расстояние между этими уровнями много больше длины характерной волны. Мы рассмотрим случай, когда на одном из этих уровней присутствует также скачок плотности, а на втором скачок плотности отсутствует, и скачок завихренности мал по сравнению со скачком завихренности на первом уровне или же равен нулю. Последний случай означает, что на втором уровне генерируется волна Кейза. Однако даже если скачок завихренности на втором уровне не равен нулю, но мал, возмущение имеет все черты волны непрерывного спектра в течение промежутка времени, который тем больше, чем меньше скачок завихренности. Заметим, что, поскольку фазовая скорость волны Кейза равна скорости течения на уровне ее генерации, то при условии резонанса этот уровень является критическим слоем для гравитационно-сдвиговой волны, генерируемой на первом уровне. Таким образом, целью данной работы является анализ неустойчивости сдвигового течения, обусловленной резонансным взаимодействием волны дискретного спектра с возмущением, генерируемым в ее критическом слое. Вывод эволюционных уравнений для амплитуд взаимодействующих волн получен на основе гамильтоновой системы уравнений, записанной в терминах полулагранжевых переменных и подробно рассмотренной в [10, 11].
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Запишем уравнения для двумерной динамики идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости в приближении Буссинеска:
Эгр + идхр + = 0, (1)
ЭгО + идхО, + - gдxp|p = 0, (2)
где V = {u, w} - вектор скорости, Q = curlV - компонента завихренности, ортогональная плоскости (x, z), x и z - соответственно горизонтальная и вертикальная координаты, р - плотность жидкости и g - ускорение силы тяжести. Горизонтальную и вертикальную компоненты скорости u, w можно записать как u = -ЭгТ, w = dxT, где Т - функция тока, удовлетворяющая уравнению Пуассона АТ = -Q, решая которое, получаем
Т = -Jq( Х, z) G (x - Х, z - z)(dx) dz.
Здесь G(x - x', z - z') - функция Грина для оператора Лапласа. В дальнейшем мы будем рассматривать неограниченные по z течения, для которых функция Грина равна
G(x - x, z - z) = ln((x - x)2 + (z - z')2).
4 П
Следуя работам [10, 11], введем координату h, нумерующую каждый слой невозмущенной жидкости в направлении z. Тогда эйлерова координата z выражается через лагранжеву координату h в виде
z = s(x, h, t) = h + n(x, h, t), (3)
где n(x, h, t) - отклонение слоя с постоянным значением h по вертикали. Уравнение
dth + udxh + wdzh = 0,
выполняется на любой поверхности, на которой плотность или завихренность постоянны.
Запишем уравнения (1, 2) в терминах независимых полулагранжевых координат x, h:
ds/dt + uds/dx = w, (4)
0Q/3t + udQ/dx)ds/dh - N2ds/dx = 0, (5) где квадрат частоты Брента-Вяисяля равен
N2 _ gdpldh
_ - Р .
Записанная в полулагранжевых координатах, плотность завихренности Q (x, h, t) = Q(x, s, t)(1 + 3n/3h) удовлетворяет уравнению
ЭО/dt + Э(uQ)/Эх - N ds/dx = 0,
(6)
а энергия, нормированная на среднюю плотность, равна
H = jQх, z, t)Q(х, z, t) + gzp jjdxdz = = -1 jQ( x, z )Q( x', Z) G (x - x', z - Z) dxdzdx'dZ +
+ fgzPdxdz = -1 fQ(x, h)Q(x', h') x J po 2J
x G(x - x', s(x, h) - s(x', h'))dxdhdx'dhh +
+ fgs—чг dxdh. J p0 dh
Как показано в работах [10, 11], уравнения (4, 6) могут быть представлены в гамильтоновой форме. Если мы рассматриваем гравитационно-сдвиговые волны, в качестве одной зависимой переменной мы рассматриваем функцию п, а вторая зависимая переменная ф определяется следующим равенством:
О (x, h, t) = h) +
Э(УГ|) _ Эф
дh дх'
(8)
где - завихренность невозмущенного течения. В этих переменных система уравнений записывается в виде
д ,, д 5H 5H
и-ф(х, t, h) = —-г—^—--— + v)-
Эхт дх5п(х, и К) )
5ф(х, t, К)'
11 (х, ^ К) =
5Н
(9)
5ф(х, t, К)'
точка означает производную по времени, а гамильтониан Н определяется формулой (7).
В терминах преобразований Фурье по х от зависимых переменных система уравнений имеет вид
ф (к, t, К) = -
5Н
■ -1
5 Н
5п*(к, I, К) к 5ф*(к, t, К)'
11 (к, и К) =
5Н
(10)
5ф*(к, t, К)'
Е =-1/[V+
Э ( V п ) Эф" д) дх.
V' +
Э(у' п') Эф-
(11)
ОтйхйКйх' йК,
дК Эх'_
а функция Грина От для свободных течений равна
1 г 1
От(х - х', К - К) = -—/ |^ехР(кх - х)-
4к! \к\
- |к| 1() - К) + (п - п')|)йк.
(12)
Здесь мы использовали компактное обозначение V' = v(К,), п' = п(х', К').
Потенциальная энергия равна Р
= 1 / N п2йхй).
(13)
разложения, определяющий динамику линеаризованной системы, равен
Н ,
= 2 /{ф 5[ф] + 2 У(К )пфх
+
+ [N - У(К)vh(К)п2] }йхйК. Здесь 5[ф] - интегральный оператор
5[ф(х, К)] = /5(х - х, К - К)ф(х, К)йхйК
с ядром
5(х - х, К - К) = = 4п/к ехР [^к(х - х)] ехр [-|к| К - К'\]йк,
(14)
(15)
а У(К) - скорость невозмущенного течения. Подставляя Н = Н2 в систему (9), мы получаем линеаризованную систему динамических уравнений. В терминах преобразований Фурье квадратичный гамильтониан равен
Н
= 1 /{ф*(к, К, t)5[ф(к, К, t)]
+ 2гкУ(К)п*(к, К, t)ф(к, К, t) + + (N2 - У(К)vК)п*(к, К, t)п(к, К, t)}йкйК,
(16)
где
где звездочка означает комплексное сопряжение.
Кин
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.