ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 4, 2015
УДК 531.391
© 2015 г. Потапенко М.А.
О САМОСИНХРОНИЗАЦИИ ИНЕРЦИОННЫХ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ С ВНУТРЕННЕЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем машиноведения РАН, г. Санкт-Петербург e-mail: m.potap@mail.ru
Рассмотрена модель поведения двух соосных дебалансных вибровозбудителей с внутренней степенью свободы, установленных на твердом теле и три условия, обеспечивающие временную устойчивость синфазного режима. Найдено аналитическое выражение для радиуса подвижной массы, при этом условия устойчивости Блехма-на—Шперлинга выражены через параметры системы; установлены области изменения параметров, при которых все условия выполняются.
К настоящему времени теория синхронизации вращающихся объектов без внутренних степеней свободы достаточно хорошо развита. С другой стороны, роторы с внутренней степенью свободы, впервые упомянутые в [1], рассматривались в простейшей системе. Позднее в работе [2] была поставлена задача для общего случая синхронизации вращающихся тел с внутренними степенями свободы. В этой работе были получены уравнения движения системы, состоящей из двух одинаковых соосных вибровозбудителей, центрально установленных на плоскоколеблющемся твердом теле и имеющих по две дополнительных степени свободы. Особенностью этого случая является возможность получения точного решения для стационарного синхронного режима и исследования его устойчивости в малом. Было установлено, что при помощи дополнительных степеней свободы роторов синфазный режим вращения, неустойчивый в послерезонансной области, может стать устойчивым в малом при выполнении трех условий, ограничивающих параметры системы. Однако устойчивость при этом является временной (или гироскопической). Полученные условия содержали промежуточную величину — радиус подвижной массы в установившемся режиме.
Целью настоящей статьи является анализ результатов работы [2], в частности, полученных в ней условий устойчивости синхронного и синфазного вращения роторов (условий Блехмана—Шперлинга). Показано, что удовлетворение двух условий, при обычных для практики значениях параметров, гарантирует выполнение третьего, а все три условия выполняются в узком диапазоне изменения частоты вращения роторов.
Конкретными устройствами, соответствующими рассматриваемой модели, являются, например, вибрационная мельница и устройство для вибрационной обработки деталей [3].
Описание системы. Схема виброустройства с роторами, имеющими внутренние степени свободы, показана на рисунке, где 1 — носитель — твердое тело, установленное на пружинах с известными характеристиками и совершающее плоское движение. На нем жестко закреплены два соосных дебаланса 2. Внутри каждого дебаланса закреплена на пружине дополнительная масса 3, способная совершать колебательные движе-
ния в радиальном направлении. В отличие от работы [2] предполагается конечность величин жесткостей опорных пружин Сх и Су. Система считается симметричной, так что поворотные колебания тела 1 отсутствуют.
Таким образом, положение носителя определяется координатами х и у, каждого ;-го дебаланса — по одной вращательной ф; и одной поступательной координате, определяющей расстояние р; дополнительной массы от оси ротора.
Система уравнений, описывающих поведение виброустановки с внутренними степенями свободы неуравновешенных роторов. В работе [2] были получены уравнения движения описанной системы. Для случая, когда дополнительные массы могут двигаться только в радиальном направлении (рисунок), уравнения имеют вид
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Рисунок
2
ч2
[I + тб + т(г + р,) ]ф, + К,(ф, - ю) + 2т(г + р,)р,ф,- [т0б + т(г + р^ ] х х (;тпф, + усо8ф,) = К,(ю, - ю), 5 = 1, 2,
22 Мх = ^ [т0Б + т(г + р(-)](ф1ф(- + ф2со8ф(-) - т^ рIсо8ф(- +
I = 1
I = 1
+ 2т^ р{ф{зтф(. - вхХ - СхХ,
(1)
Му = ^ [ т0 б + т (г + р(- )](ф,- со8 ф(- + ф ^т ф(-) + т ^ р 1зт ф(-
I = 1
+ 2т^ рIфIс°5ф;-- РуУ -
5 + Ррр* + ЮРр, = ( г + р, )ф2 - (-ХХсо8 ф, - ^ ф,) ,
где М = + 2т0 + 2т, юр = Ср/т.
Здесь, в отличие от работы [2], учтены слагаемые вххх и вуу, учитывающие сопротивление колебаниям твердого тела, вследствие чего синхронная частота ю отлична от парциальных частот ю: = ю2 = ю*. С физической точки зрения ю < ю*, так как в этом случае часть энергии, потребляемой электродвигателями, расходуется на преодоление потерь при колебаниях тела 3.
В уравнениях (1) М0 — масса носителя; т0 — дополнительная подвижная масса внутри дебаланса; т — масса дебаланса; М — масса всей установки; б — эксцентриситет или величина смещения центра масс дебаланса от его оси вращения; I — момент инерции сплошной части дебаланса; г — длина ненапряженной пружины внутри ротора; р — радиальное смещение подвижной массы от состояния покоя в направлении воз-
2
2
2
2
растания радиуса; x — смещение центра масс носителя по горизонтали; y — смещение центра масс носителя по вертикали; ю — синхронная угловая скорость роторов в установившемся режиме; ф, — угол поворота ротора, отсчитываемый по часовой стрелке от горизонтального направления; вх = ву = в — коэффициенты затухания колебаний носителя вдоль соответствующих осей; Cx = Cy = C — коэффициенты жесткости пружин, на которых установлена платформа, вдоль соответствующих осей; вр — коэффициент линейного сопротивления колебаниям подвижной массы вдоль радиальной направляющей; Cp — коэффициент жесткости пружины внутри ротора; K — суммарный коэффициент демпфирования; ю5 — парциальная скорость возбудителя, т.е. угловая скорость, которую развивает каждый ротор, установленный на неподвижном основании; юр — парциальная частота внутренней массы.
Для стационарного синфазного режима движения системы с одинаковыми возбудителями (pj = ф2 = ю, ф1 = ф2 = ю?, Pi = р2 = р0 = const, ю1 = ю2 = ю* из (1) получается
следующая система уравнений для определения координат x, y, р и угловой скорости синхронного вращения ю:
[m0s + m(r + p°)](xsinюt + ycosюt) = К(ю - ю*),
0 2
Mx = 2[m°s + m(r + р )]ю cosюt- ВхХ- C^x,
° Fx ^ (2)
02
My = 2[m°s + m(r + р )](-ю sinюt) - вуУ - Cyy,
2 0 , 2 ... , .. .
юрр = (r + р )ю* - (xcosюt -y^sinюО.
Для стационарного режима колебаний второе и третье уравнения (2) дают выражения для координат x и y
0 2 2 0 3
2(m0s + m(r + р ))ю (C - Mю ) 2(m0s + m(r + р ))ю в - -cosюt +--sinюt,
(Мю2 - C )2 + в2ю2 (Мю2 - C )2 + в2 ю2
0 3 0 2 2
2(m0s + m(r + р ))ю В 2(m0s + m(r + р ))ю (Мю - C) . y = --—0---—--cos юt + --—0---——--- sin ю t
2 2 2 2 929?
(Мю2 - C) + в2 ю2 (Мю2 - C) + в2 ю2
После подстановки полученных выражений в (2) находим
К(ю - ю* )[(Мю2 - C) + в2ю2] + 2ю р(m0s + m(r + р0)) = 0,
[(r + р0)ю^ - юРр0][(Мю2 - C)2 + в2ю2] - 2ю4(m0s + m(r + р0))(Мю2 - C) = 0.
(3)
(4)
Из первого уравнения системы (4) получаем ю - ю* = (-2ю5р(да0Е + т(г + р°))2)(К[(Мю2 - С)2 + р2®2]) 1.
При в > 0 всегда ю < ю*, так как часть подведенной энергии затрачивается на преодоление сопротивления в колебательной части системы, а при в = 0 имеем ю = ю*.
Проверка выполнимости и анализ условий гироскопической устойчивости Блехмана— Шперлинга. В работе [2] полагалось, что в = 0 и С « 0. Таким образом ю = ю*. Проведенная линеаризация исходных уравнений вблизи стационарного режима позволила сформулировать три условия временной (гироскопической) устойчивости синхронного синфазного режима в послерезонансной области ю > 1, т.е. режима, который при отсутствии дополнительных масс неустойчив.
Условия временной устойчивости для рассматриваемой системы
ю > юр, ю<
й„
ю
1 + 2
МА
02
- 4
тЯ
02
/ /
< юл
Здесь е* = 1- 2 т ; Я0 = г + р0; I0 = I + т0Б2 + т(г + р0)2,
Ао = т о Б + т (г + р 0 ) (6)
М ' ()
Первые два условия (5) достаточно просты и представляют собой соотношения между параметрами системы. Рассмотрим только третье условие (5), выразив в нем параметры установившегося режима I0, А0, В0, зависящие от р0, через исходные данные.
Покажем, что это условие обычно всегда выполняется, если выполняются первые два условия. Поскольку параметр q = т/М обычно мал, то в диапазоне значений ю, в котором справедливы первые два условия (5) можно положить
ю2
ю = —= юр( 1 + б1 ), где 0 < б1 < q (малый параметр), ю2/юр = 1 + 2б1. (7)
1 - б1 р р
Тогда можно проверить выполнение третьего условия (5), т.е. неравенства (7), лишь в диапазоне значений ю, определяемом двумя соотношениями (7). Из второго уравнения системы (4) можно получить выражение для координаты р0 дополнительной массы в стационарном синфазном режиме, а при в = 0, С = 0 и ю* — ю, как и принято в работе [2], получится
/ 2 Л-1
о ( 2(т0Б + тг)Л ~
р = I г -
М
ю-р -1 + 2 т
чю2 М
Рассмотрим условия (7) именно для этого случая. При малом б: с точностью до б: включительно, имеем ю/юр = 1 + б:, юр /ю2 = 1 — 2б:. Тогда получаем
р0 = (г - 2тоб - 2дг)(2д - 2б1 ) 1, где 0 < б: < q < 1.
Покажем, что при практически интересных значениях параметров системы имеет место соотношение 2т0/МБ + 2qr г или, учитывая, что
т0 г
б: < q 1, получаем б (8)
2т0
Величина В = —0 б представляет собой амплитуду колебаний носителя в устано-М
вившемся режиме при в « 0, С « 0 и т = 0, что видно из формул (3). Поэтому второе неравенство (8) сводится к условию: В г. Это условие практически всегда выполняется, поскольку обычно - — . Тогда с той же точностью найдем р0 = г/[2^ — б:)].
г 10
Отбрасывая конечные величины по сравнению со слагаемыми, имеющими порядок 1/б: и 1^, получим
0 0 1 г 0 0 2 02 02
Я = г + р = г + г-«- = р , 7 = 7 + т0Б + тЯ = тр . (9)
2д - 2б1 2(^ - б1)
Проверим выполнение третьего (5) условия временной устойчивости Блехмана-Шперлинга. Согласно третьему условию (7), должно быть
.,,02 „02 1 + 2м- - < 1 - 2е1
1о / 1
или, при учете (3), (6) и (9) это неравенство принимает вид
1Т,Г1 I 0ЧЧ2Ч, .г-2 02 „ 02
(м(т0е + т(г + р )) )м + е1 тр < 2тр
а при учете того, что т0Е + тг дар0, получается
2 02 02 02 т
т р + мтр е1 < 2тмр или + е1 < 2д + е1 < 2.
Последнее соотношение в соответствии с первым условием (8) выполняется всегда. Поэтому третье условие (5) первой временной устойчивости (8) при выполне
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.