Письма в ЖЭТФ, том 98, вып. 7, с. 466-471 © 2013 г. 10 октября
О симметрийно-топологической классификации краевых состояний в кристаллических спин-холловских изоляторах с инверсией времени1)
С. Н. Молотков Институт физики твердого тела РАН, 142432 Черноголовка, Россия
Академия криптографии РФ Факультет вычислительной математики и кибернетики, МГУ им. Ломоносова, 119992 Москва, Россия
Поступила в редакцию 18 июля 2013 г.
После переработки 28 августа 2013 г.
Симметрийный анализ дает все типы особенностей краевых состояний в 2D кристаллических системах с границей (2D^1D-системы), которые инвариантны относительно инверсии времени. Симметрия также дает условие сшивки материальных функций, параметризующих гамильтониан, в разных точках зоны Бриллюэна (ЗБ). Единая параметризация гамильтониана позволяет построить отображение замкнутых по квазиимпульсу к траекторий в ЗБ в топологическую группу SU(2). Имеется только два класса эквивалентности гамильтонианов, которые даются элементами первой фундаментальной группы ni(SO(3)) = n\(SU (2) / Z2) = Z2. Первый тип поверхностных состояний отвечает обычному изолятору, второй - топологическому спин-холловскому изолятору. Проводится сравнение с ¿^-классификацией, основанной на методе пфаффиана (Supplemental material).
DOI: 10.7868/S0370274X13190119
Введение. Известно, что в перпендикулярном магнитном поле в 2Б-системах возможен целочисленный эффект Холла: холловская проводимость принимает квантованные значения. После работы [1] было осознано, что квантование холловской проводимости имеет, по-существу, топологическую природу. Позднее в работе [2] было показано, что квантование холловской проводимости возможно в системах без однородного магнитного поля: эффективно магнитное поле меняет знак от одной кристаллической ячейки к соседней ячейке. Инвариантность системы относительно инверсии времени потеряна. Поэтому нарушается и условие симметричности для спектра при k и —k: £f (k) = е^(—k). В этом случае возникает одна ветвь безмассового фермионного спектра. Аналогичная аномалия (parity anomaly) возникает в полевых моделях (2 + 1). Из-за специфической структуры параметра порядка в тонких пленках 3He-A также может возникать явление, аналогичное квантовому эффекту Холла [3]. Справедливости ради нужно отметить, что в работе [3] была использована классификация состояний системы, основанная на гомотопической группе П2 (об использовании топологической классификации в (2 + 1) полевых моделях см., например, в [4, 5]). Отметим, что в системах без цен-
1)1 См. дополнительные материалы к данной статье на сайте нашего журнала www.jetpletters.as.ru том 98, вып. 7.
тра инверсии с потерей инвариантности относительно инверсии времени возможны и другие экзотические типы упорядочения, например тороидный (см. обзор [6] и ссылки в нем). В таких системах из-за электрон-электронного взаимодействия может спонтанно нарушаться условие симметричности спектра: £|(к) = £|(-к).
В последнее десятилетие были открыты системы (см. обзоры [7,8] и ссылки в них), которые обладают инвариантностью относительно инверсии времени (условие симметричности спектра сохраняется: е^(к) = £|(-к), но обнаруживают явление, аналогичное квантовому эффекту Холла. Данные системы были названы спин-холловскими изоляторами. Такие системы имеют устойчивые к рассеянию на немагнитных примесях краевые состояния, по которым при низких температурах возможен квантованный баллистический транспорт. При этом спектр краевых состояний имеет безмассовый дираковский вид и вырождение по проекциям момента отсутствует. Ниже речь пойдет о симметрийно-топологической классификации краевых состояний в таких системах.
2В^1В-системы — 2В-системы с границей и инверсией времени. На поверхности (границе) 2Б-систем возможно возникновение поверхностных (краевых) состояний, локализованных вблизи границы и распространяющихся вдоль нее. Как известно
еще с работы Тамма [9], причиной появления поверхностных состояний является нарушение периодичности. В бесконечной периодической 2Б-системе "объемный" спектр одночастичных возбуждений представляет собой набор зон £„,,(&) (где т - зонный индекс, k = (кх, ку) - двумерный вектор квазиимпульса в плоскости). Значения энергии £„,,(&) - набор двумерных зон являются собственными значениями гамильтониана 7^20^), который инвариантен относительно элементов симметрии одной из 17 допустимых в природе пространственных 2Б кристаллических групп и операции инверсии времени:
ШоШ«^)) = £т ^Ж^)). (1)
Здесь «т^)) - блоховская функция, отвечающая собственным значениям энергии £т
Если 2Б бесконечный кристалл разрезать на две половины вдоль произвольного направления, например вдоль направления х, то возникнет полубесконечный кристалл с границей вдоль оси х. Из бесконечного кристалла можно также вырезать ленту с границами вдоль оси х. Если лента достаточно широкая и волновые функции состояний, локализованных на границах, не перекрываются, то состояния на границах ленты будут эквивалентны состояниям на границе полубесконечного 2Б-кристалла. Принципиально важно, что физически разрезание бесконечного кристалла означает введение потенциала, который разрывает кристалл на две половины. Разрыв кристалла на две половины приводит к понижению симметрии бесконечного 2Б-кристалла. Симметрия допускает только 7 пространственных кристаллических групп полубесконечного кристалла. Электронные состояния 2Б-кристалла с границей должны классифицироваться по неприводимым представлениям семи групп бордюров с учетом инвариантности относительно инверсии времени. Пусть спектр исходного бесконечного 2Б-кристалла отвечает изолятору, т.е. имеются два множества зон. Первое из них - множество валентных зон {£^(^1, второе - множество зон проводимости {£^„(^1. При этом два набора зон отделены энергетической щелью, т.е. при любых значениях двумерных квазиимпульсов k и ^ и зонных индексов т и т' валентные зоны и зоны проводимости не перекрываются по энергии:
£о = шт
кМ'
К« - С'^0] > о.
(2)
Если все валентные зоны заполнены, то 2Б-система является изолятором. Спроектируем объемные зоны бесконечного 2Б-кристалла £т (^ на воображаемую поверхность (границу). В этом случае возникнут проекции объемных зон £т,ъи\к(кх) = Пку£ст
Если в объеме 2Б-система была изолятором, то энергетическая щель £о останется и между проекциями зон:
£а = шт щн[сто^) - С'(к^] =
k,k ,т,т'
,Ш1П , КъиМ - £Уш',Ъи\к(к'х ^ > 0.
£•* ' 'ГУ! 'ГУ! ' ' '
кх ,к.
(3)
Для дальнейшего принципиально важно, что проекции объемных зон в (3) не содержат никакой информации о реальной поверхности, поскольку в (3) используется только спектр 20 бесконечного кристалла, который описывается невозмущенным образованием поверхности, гамильтонианом Н2о При таком проектировании никакие поверхностные состояния в щели объемного спектра не возникают. (Естественно, поверхностные состояния "набираются" из объемных, поскольку полное число состояний в полубесконечном кристалле не может измениться. Однако появление поверхностных состояний обязано исключительно реальному нарушению периодичности кристалла потенциалом, а не мысленному проектированию зон.)
Поверхностные (краевые) состояния в 20^10-системах. Гамильтониан, описывающий полубесконечный кристалл, может быть представлен в виде Т7ю(кх,у) = 772о(кх,у) + V(кх,у) (далее к = кх). Спектр полубесконечного кристалла дается собственными числами:
Т7ю(к, у)\ип(к, у)) = £п(к)\«п(к,у)),
(4)
где V(кх, у) - потенциал, разрывающий бесконечный 2Б-кристалл, Т^20(кх,у) = /Лкуе1кууН2о(кх,ку). На границе в зависимости от потенциала на поверхности могут возникать или не возникать поверхностные состояния, которые не принадлежат систематике объемного спектра.
Спектр £п(к) представляет собой набор зон в одномерной зоне Бриллюэна (ЗБ). Среди решений (4) могут оказаться состояния, которые при некоторых значениях кх находятся в запрещенной зоне, т.е. вне проекций объемных зон (3), £пу(кх) € £о. Переменная у описывает поведение состояний \ип(к,у)) в направлении, нормальном к границе. Если энергия £п(к) попадает в проекции объемных зон, то состояния \ип(к, у)) не локализованы вблизи поверхности, а размазаны на весь кристалл. Если уровень Ферми лежит в запрещенной зоне (3) и пересекает поверхностные зоны, то система, являясь в объеме изолятором, оказывается проводящей по поверхностным состояниям.
Поскольку поверхностные состояния описываются гамильтонианом полубесконечного 2Б-кристалла
или ленты, с точки зрения симметрии данные состояния должны классифицироваться по неприводимым представлениям семи пространственных кристаллических групп бордюров с учетом инвариантности к инверсии времени.
Строго говоря, даже объемный спектр полубесконечного 2Б-кристалла должен классифицироваться по представлениям семи групп бордюров и также представляет собой набор одномерных зон еп(к). В реальной ситуации из-за локализованности потенциала, разрывающего бесконечный кристалл на две половины, основная масса исходных объемных состояний не возмущается. Поверхностные состояния формируются из небольшой группы объемных состояний вблизи краев валентной зоны и зоны проводимости. Масштаб возмущения объемных зон при образовании поверхностных состояний, находящихся в щели объемного спектра, имеет порядок ес/Де^к, где Де^к - ширина зоны проводимости и валентной зоны в щели ес, между которыми возникают поверхностные состояния.
Отношение числа состояний полубесконечного кристалла, участвующих в формировании поверхностных состояний, к полному числу состояний в полубесконечном кристалле есть отношение длины границы к "объему" полуплоскости. Следовательно, оно стремится к нулю. Это означает, что основная масса объемных состояний не возмущается поверхностью. Поэтому принято изображать проекции объемных зон на поверхность, используя объемный спектр ет,Ъи1к(кх) = Пку е^ (к).
Еще раз подчеркнем, что проекции объемных зон, полученные из спектра бесконечного 2Б-кристалла, никаких поверхностных состояний не содержат.
Типы гамильтонианов и особенностей спектра краевых состояний в 2В^1-системах в симметричных точках 10 ЗБ. Существуют
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.