ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2008, том 42, № 5, с. 550-555
УДК 628.353.153:519.67
О СКОРОСТИ БИОХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ В ОБТЕКАЕМОЙ БИОПЛЕНКЕ
© 2008 г. И. Г. Дик, С. В. Пыльник*
Университет Эрланген-Нюрнберг, Германия *Томский государственный университет Sergey825@yandex.ru Поступила в редакцию 20.11.2006 г.
Проанализирован учет вляния обтекания биопленки на скорость подвода субстрата к поверхности биопленки. Описана немонотонная зависимость скорости переработки субстрата биопленкой от объемного расхода раствора субстрата. Дано приближенное аналитическое выражение для описания потока субстрата в биопленку в зависимости от объемного расхода раствора субстрата.
ВВЕДЕНИЕ
Протекание биохимических реакций в биопленочных реакторах различного назначения происходит обычно в условиях обтекания зерен, покрытых биопленками [1, 2]. Поток жидкости, подаваемой в реактор, как правило, представляет собой водный раствор питательных веществ для микроорганизмов, обитающих на матрице из созданных ими же внеклеточных полимерных материалов (полисахариды, протеины и т.д.). Доставка субстрата внутрь биопленки к микроорганизмам происходит в общем случае гетерогенных реакций последовательно через две среды: пограничный слой обтекающего потока и гелеобразное межматричное пространство биопленки. Механизм переноса вещества в пограничном слое воды может быть описан методами массопереноса в гетерогенной среде [2, 3, 4], а внутри биопленки главную роль играет диффузия. В [2, 5-9] проанализирована диффузионная кинетика переработки субстрата в предположении протекания простой реакции превращения по Михаэлису-Мен-тен [10] и при заданной концентрации субстрата на поверхности биопленки (математически - граничное условие 1-го рода). Это в условиях потока выполняется, если диффузионное сопротивление в пограничном слое жидкости пренебрежимо мало по сравнению с таковым в биопленке, либо концентрация субстрата на поверхности биопленки является известной величиной. Измеренные значения коэффициента массотдачи от воды к биопленке [11] составляют по порядку величины в = 10-4 см/с ~ = 10 см/сут. При типичной толщине биопленки порядка Ц = 10^-Ю-1 см и = 0.6 см2/сут отношение диффузионных сопротивлений биопленки и погра-
ничного слоя воды
D
лежит между 0.16 и 1.6. Та-
/
Анализ различных режимов протекания биохимической реакции в отличие от случая простой реакции 1-го порядка [12] при различных условиях обтекания осложнен нелинейной зависимостью скорости реакции от концентрации субстрата, зависимостью ее от концентрации активной биомассы и зависимостью толщины биопленки от характеристик потока [2, 7].
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТАЦИОНАРНОЙ БИОПЛЕНКИ
Баланс между поступлением и потреблением субстрата в биопленке с учетом кинетики Миха-элиса-Ментен [10] дается уравнением
D
d 2s f f , 2 dz
= q
Sf
J у
K + S f Af
V
с граничными условиями
dSf
z = 0, -г1 = 0,
dz
z = Lf, P( Si — Sf|z = Lf) = D^Z
(1)
(2) (3)
Скорость производства биомассы пропорциональна скорости биохимической реакции и равна скорости отмирания микроорганизмов, которая взята, как и в [6-8], пропорциональной квадрату концентрации активной биомассы:
S f 2
YqK+S-fXf = 2
Объединяя уравнения (1) и (4), получим
ким образом, учет внешней по отношению к биопленке массоотдачи может быть существенным.
D
d2 Sf
f2 dz
q Y.
S
f
b {K + S
(4)
(5)
Толщина биопленки определяется равенством скорости образования биомассы по всей толщине и ее уноса, пропорционального толщине биопленки [2, 7, 8, 11], что, с учетом (4), приводит к уравнению
(Yq) 2 ьРв
S
f
K + S
dz = rL
f
(6)
Таким образом, решение уравнения (5) для концентрации субстрата с краевыми условиями (2) и (3) зависит от толщины биопленки, которая должна находиться из интегрального уравнения (6), в котором подынтегральная функция сама зависит от решения (5).
Проинтегрировав (5) от 0 до Ц и воспользовавшись (6), получим
D
dS
f dz
гРв Lf Y '
Введение безразмерных переменных
5 =
s = K
z
Х = L ' Lf
Yqq Lf
bKD
f
и параметров гЬрв
А =
Si
(Yq)
2'
SL = ц, ShB = г-
K
D
в bKDf
Yq
(7)
(8)
(9)
S
d2 S = 5
U +S
x = 0,
(10)
dS
= 0,
x = 1,
dS
dx
dx
= 75 ShB (SL - Sb).
(12)
W =
bDf dSf
(13)
z = Lf
затем следует использовать для определения безразмерной толщины пленки л/Б. Максимальное значе-
( $ }2
ние интеграла в (6) Ы 1 достигается при
■\л +
очень низкой скорости переработки субстрата микроорганизмами. При этом можно определить максимально возможное значение параметра эрозии для
биопленки Alim. При А > Alim =
1 + S,
решения ста-
ционарной задачи (10) - (12) не существует.
Параметры А и БНВ зависимы между собой, так как входящие в них г и в зависят от скорости потока воды через реактор или, иначе, от расхода раствора субстрата 0. Например, согласно [2] г ^ 0058 и в ^ 0025. Вследствие этого г ^ в23.
Запишем соотношения, рекомендуемые в [2], в
( 0 ^ °.58 ( 0 ^ °.25 виде г = го I— , Р„ = во I т;- , где Го и во - зна-
приводит уравнение (5) с граничными условиями (2) и (3) к виду
QJ ' Pw = Ро 1 Qoy
чения, измеренные при некотором Q0.
Проведем некоторые оценки. Возьмем для этого следующие типичные значения для физико-химических величин: b = 5 х 10-3 см3 мг-1 сут-1, Df = 0.5 см2 сут-1, рв = 100 мг см-3, K = 2 х 10-2 мг см-3, Lf = 5 х 10-2 см, q = 10 сут-1, Y = 0.5, S1 = 10-2 мг см-3, Р0 = 100 сут-1. Характерная толщина зоны биохимической реакции будет равна
z* :
bKD
Yq2
f
10 3 см = 10 мкм, что много ниже
типичной толщины биопленки Lf = 5 х 10 2 см.
во
(11) Значение числа БНВ 0 = — г* = 0.04. В инженерной практике обычно используется следующее опре-
деление числа Шервуда: Sh
Здесь обозначена = $(1), концентрация субстрата на поверхности биопленки, определяемая из решения краевой задачи (10) - (12).
Обозначим безразмерный поток субстрата в биопленку
= в D
R, где R - харак-
iKYq2 dz
с учетом чего уравнение (7) предстанет в виде
Т = ATS, (14)
а граничное условие (12) запишется как
Т = ShB (SL - Sb). (15)
Решение уравнения (10) с условиями (11) и (12) можно находить независимо от уравнения (14), которое
терный размер зерна в засыпке, - коэффициент диффузии в воде. Обычно рекомендуют
брать В = 0.8 В [2]. Очевидно, что БН = БНВ— —7.
г* оь
Взяв для оценки Я = 1 см, получим БН ~ 32. Возьмем г0 = 0.01 сут1. При этом А0 = 0.0002. При увеличении потока воды через реактор
Q \ 0.58
А = 0.00021 Q
(16)
или, выраженное через интенсивность массоотдачи
ShB
А = А(
2.3
= А,
Sh
в, 0
2.3
L
0
1
Агг
0.4
3.0
Рис. 1. Предельные значения параметра эрозии Л1г, при которых справедливы решения (20), (21). Пунктирная линия - зависимость ЛИт^ц).
ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
Анализ протекания биохимической реакции в биопленке показывает [2, 8, 9], что можно выделить два различающихся между собой случая. В первом случае биопленка достаточно толста, поэтому реакция фактически идет в приповерхностном слое, обращенном к жидкости (ненасыщенная биопленка) [8, 9]. Область реализации этого режима протекания биохимической реакции в биопленке можно выразить неравенством между параметрами задачи [8]
0 < Л < Лг =
SL + 2
Бь + 4Д1 +БЬ
(18)
8а5 100
-Л'......42.0
- 1.0 ^
0.01
1
Бкв
Рис. 2. Зависимость безразмерной концентрации субстрата на поверхности биопленки Sb (1,2) и ее безразмерной толщины (3, 4) от коэффициента массоотда-чи от воды к биопленке.
(фактически критерий ненасыщенной биопленки 8 > 2SL) в виде [8, 9]
У = 21 1+ Sb
1
21п (1+ Sb)
1+ Sb
и, соответственно, из (12) и (13) следует
1
(19)
8 =
ShR =
21+ Sb -
1 + Sl
- 21п (1 + Sb)
Л2
21 1+ Sb -
1 + SJ
- 21п (1+ Sb)
(S ц - Sb)
(20)
(21)
Во втором достаточно тонкая биопленка полностью насыщается субстратом, и реакция идет по всей толщине биопленки (насыщенная биопленка) [8, 9]. Этот случай реализуется в довольно узкой (здесь не рассматриваемой) области значений параметра эрозии, вблизи критических условий существования биопленки.
В уравнениях (20), (21) переменные Sb и 48 должны находиться в зависимости от параметров интенсивности массоотдачи ShB и эрозии Л, которые, как указывалось выше, связаны между собой. Граничные значения параметра эрозии Агг, при которых еще справедливы решения (20), (21), показаны на рис. 1.
Заметим, что при малых Sb справедливо разложение (19) в ряд
При выполнении этого неравенства можно использовать решения уравнения (10) с краевыми условиями (11) и (12) для асимптотически большого 8
у = з
(22)
В этом приближении можно записать (21) в виде У
или, совершая простую ите-
Shв =
2/3
s ц-[|Г"у2/3
рацию, получить У =
Shв S
1 + 1.3-
Sh
2/3
(23)
Л/3
РЕЗУЛЬТАТЫ
На рис. 2 показаны восходящие с ростом уровня массоотдачи кривые значений концентрации субстрата на поверхности биопленки Sb и нисходящие кривые - для безразмерной толщины биопленки.
Расчеты проведены для значений параметров, указанных выше. Взятые для примера значения SL = = 0.5 и SL = 2 соответствуют при взятых параметрах
концентрации субстрата в воде 10 и 40 мг/л, соответственно. С ростом интенсивности массоотдачи концентрация субстрата на поверхности биопленки растет, стремясь к соответствующему Зь, в то время как толщина биопленки падает. Видно, что можно выделить режим внутреннего диффузионного мас-сопереноса при низких Бкв и конвективного массо-переноса при больших 5кв. Первый характеризуется большой толщиной биопленки, второй - напротив, маленькой.
Предполагая увеличение Бкв происходящим только за счет повышения скорости потока, можем представить результаты в зависимости от Q/Qo (рис. 3). На практике обычно расход воды можно менять в ограниченном пределе. Из рис. 3 видно, что даже меняя величину потока в широком интервале значений, можно лишь незначительно изменить поток субстрата в биопленку.
Увеличение скорости жидкости у поверхности биопленки вызывает рост эрозии биопленки, что, при достаточно высоком Q, приводит к нарушению неравенства (18). Таким образом, вся область изменения Бкв (на рис. 2) реализоваться не может. На рис. 2 на кривых 5ь(5кв) показаны кружками предельные
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.