Автоматика и телемеханика, Л- 8, 2007
PACS 45.40.-f
© 2007 г. A.A. ЗОВОВА
(Московский государственный университет)
О СОПРЯЖЕНИИ РЕШЕНИЙ ДВУХ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ЗАДАЧ: КАЧЕНИЕ ТЕЛА С ОСТРИЕМ ПО ПЛОСКОСТИ1
Рассматривается задача о движении тяжелого абсолютно твердого тела по шероховатой плоскости. Поверхность тела такова, что па оси вращения есть два "острия", в которых пе определена касательная к поверхности плоскость. Движение описывается двумя системами уравнений, каждая из которых верпа в своей части фазового пространства. Одна из них это система уравнений, описывающая качепие тела по плоскости без проскальзывания (тело касается плоскости выпуклой частью), вторая система уравнений, описывающая движение тела с неподвижной точкой в случае Лаграпжа (тело опирается острием па плоскость). Исследуются вопросы существования глобальных первых интегралов и потенциал приведенной одномерной системы.
1. Введение
Задача о качении тола вращения по шероховатой плоскости классическая задача ноголономной механики. Именно при ее рассмотрении С.А. Чаплыгин впервые вывел уравнения движения систем с ноинтогрируомыми связями, не содержащие множители Лагранжа [1]. Далее в этой же статье из общих теорем динамики автор составил уравнения движения динамически симметричного тела вращения с гироскопом и показал, что задача сводится к интегрированию системы двух линейных дифференциальных уравнений и квадратурам. В явном виде задачу о качении тела можно проинтегрировать лишь для небольшого числа случаев Чаплыгин указал диск и шар со смещенным центром масс. В [2] Х.М. Муштари получил явные интегралы еще в двух случаях это параболоид вращения и тело, ограниченное поверхностью вращения дуги параболы вокруг прямой, проходящей через фокус и параллельной директрисе. Однако в последнем случае на оси вращения тела появляются точки, в которых нормаль к поверхности тела не определена ("острия"). Поэтому интегралы, указанные Муштари. имеют место в ограниченной области фазового пространства. В данной работе сделана попытка исследовать движение тела по плоскости, приняв во внимание возможность опоры тела на острие. Предполагается. что проскальзывания при опоре на плоскость острием не происходит.
2. Постановка задачи, уравнения движения
Рассматривается задача о качении без проскальзывания динамически симметричного тела, ограниченного поверхностью вращения, по горизонтальной ноподвиж-
1 Работа выполнена ири финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 04-01-00398. № 06-08-01574а) и программы "Ведущие научные школы" (грант № НШ-6667.2006.1.).
г
Рисупок.
ной плоскости. На тело действует сила тяжести. Введем обозначения: пусть О -центр тяжести тела, лежащий на его оси симметрии О£, М - точка касания тела с плоскостью, т - масса тела, Л\ - его момент инерции относительно осей, перпендикулярных О£, а Л3 - момент инерции относительно оси симметрии. Для описания движения необходимо ввести неподвижную систему координат Охух Оху - опорная плоскость, ось Ох направлена вертикально вверх. Пусть в € [0, п] - угол между осью симметрии тела и вертикалью, в € [0, 2п] — угол между меридианом М£ тела и какой-либо фиксированной меридианной плоскостью, а € [0, 2п] - угол между горизонтальной касательной Мф меридиана М( и осью Ох. Положение тела будет вполне определено углами а, в> в и координатами х и у точки М (угловые координаты вырождаются при в = 0 в = п). Введем также систему координат О^^С, подвижную как в теле, так и в абсолютном пространстве, следующим образом: О£ -ось симметрии тела, ось О£ все время лежит в плоскости вертикального меридиана М£, а ось Оп перпендикулярна ей (см. рисунок). Пусть р, д, г - компоненты угловой скорости тела в системе координат
Конкретизируем форму тела: в системе координат О£пС поверхность задается уравнением:
(1)
с2 =4А(£ + Л).
Здесь А - параметр задачи, равный половине расстояния от центра масс О (находящегося в геометрическом центре тела) до острия. Тогда при в € [0, п/4]и[3п/4, п] тело опирается па плоскость острием, а при в € (п/4, 3п/4) происходит качение по плоскости. В первом случае движение описывается уравнениями движения тела с неподвижной точкой в случае Лагранжа:
1р
(2)
3(1 + 46) <д 2
+ р2 в — <г =0.
Л
гд — рд в = 0,
2
1
гр
3(1 + 46) (1 +46)
—2эт в, 2 бЬ в,
в € (0, п/4), в € (3п/4,п),
Эти уравнения получены из закона об изменении кинетического момента, 6 = тА2Л-х - безразмерный параметр задачи, размерно независимые параметры
A, m, g были выбраны равными 1. Соотношение между осевым и экваториальным моментами инерции задачи таково: А3/А1 = 2/3 (оно позволяет выписать интегралы уравнений движения, описывающих качение, в явном виде) [2]. При в £ (п/4, 3п/4) движение описывается следующими уравнениями [3]:
[1 + не2 + z2)] dt = f '(в) + (3г - pctg в) p - ьр(с ctg в+e)(pz - re) + + bq2 (ee' + zz'),
(3) dp / ^, 2z(e+z') \ 2(2 + зье2 + 3be'z)
dt ^ ctg ö + 2 + 3bC2 + 2bZV 3(2 + 36e2 + 36C2) rq' dr = 36g(g + Z') bg(2C - 3Q
dt 2 + 3b£2 + 2bC2 2 + 3b£2 + 2bC2 ^
Здесь £ и C - координаты точки касания M, a f (ö) - высота центра масс над опорной плоскостью:
С = -Д--2А,
4 sin2 ö ' /л \ » 2 А cos ö
(4) C =--^т",
sin ö
f (ö) = -Л,
sin ö
штрих ' означает производную по ö.
dö
Уравнения (2), (3) замыкаются кинематическим соотношением q = — — • После интегрирования этих уравнений зависимости остальных координат от времени
ö( t)
пересекает границу ö = п/4 или ö = 3п/4, то функции dp/dt и dr/dt терпят разрыв первого рода (но функции p(t), r(t) непрерывны).
3. Первые интегралы, стационарные движения
Уравнения движения допускают следующие первые интегралы: интеграл энергии H = const
' (1+4b)q2 + (1+4b)p2 + 2r2 +4 cos в, в G (0,n/4], (5) 2H p2 + (1 + 6(e2 + Z2))q2 + 3r2 + b(pZ - re)2 +2/(в), в G (п/4, 3п/4), (1 + 4b)q2 + (1 + 4b)p2 + 2r2 - 4 cos в, в G [3n/4, n),
и два линейных по псевдоскоростям интеграла. Для той области фазового пространства, где движение описывается уравнениями (2), имеем:
r = ki = const, 2
3 cos ör + (1 + 4
ö G (0,n/4]U[3n/4,n).
2
(6) 3 cos ör + (1 + 4b) sin öp = k2 = const,
Во время качения остаются постоянными следующие линейные интегралы:
Г - р2$(в) = Pi,
\J2(2b + 1) sin4 в - 4b sin2 в + 3b
(7)
sin
-(3р sin в + 2r cos в) = р2,
и
Ф(в)= J
n/2
b(1 - 2 sin2 в)(3 - 2 sin2 в) sin в de (2(2b + 1) sin4 в - 2b sin2 в + 3b)3/2 ;
в G (n/4, 3n/4),
где pi = const, p2 = const. Удобно от интегралов (6) перейти к такой их линейной комбинации, чтобы на траектории системы с переходом через в = п/4 и в = 3п/4 константы интегралов качения и интегралы волчка Лагранжа совпадали (это можно сделать, исходя из непрерывности p(t), r(t) - выразить из (6) и (7) p и г, приравнять эти выражения при в = п/4 и в = 3п/4 и из получившейся линейной системы алгебраических уравнений выразить постоянные интегралов p1, p2 через ki, k2:
Pi = - Ф(п/4)
(8) 8b
8b
V1 + 4b 1
г - Ф(п/4)
1
V1 + 4b
(2 cos вг + 3(1+4b) sini
P2
а/Г+46 a/T+46 в G (0,п/4]У[3п/4,п).
(2 cos вг + 3(1 +4b) sin вр).
На фиксированном уровне линейных интегралов система приводится к одномерной с потенциалом следующего вида [4]:
(9)
W (в,р1,р2)
1(1 + 4b)p2 + 3г2 +2 cos в, в G (0, п/4),
1р2 + 3Г2 + 2b(pZ - ГС)2 + f (в), в G (п/4, 3п/4),
2(1 + 4b)p2 + 1 Г2 - 2 cos в, в G [3п/4,п].
В этом выражении вместор и г необходимо подставлять их выраженияр=р(в, рх, р2), г = г(в,рх,р2) из линейных интегралов (7), (8). Заметим, что коэффициенты Ш(0,р!,р2) как суммы квадратичной формы и формы нулевой степени пор, г непрерывны по в, то их производные разрывны в точках в = п/4, в = 3п/4. Однако если учесть зависимость р, г от в, рх, р2 и продифференцировать (9) как сложную функцию, то получим:
(Ю)
F (в,р1 ,P2) = WU (в,р1,р2)
-(1 + 4b) ctg вр2 + -гр - 2 sin в, в G (0, п/4],
1
bZf
cos в в G (п/4,3п/4)
ctg вр2 + (---^^ ) гр + f
3 sin в
2
-(1 + 4b) ctg вр2 + 3гр + 2 sin в, в G [3п/4, п).
Из этого выражения видно, что Ш(в,р1,р2) _ гладкая функция переменной в.
Решениям уравнения ^(р ,р2, в) = 0 соответствуют стационарные движения тела, т.е. такие движения, при которых угол в постоянен, углы а линейные функции времени, а точка касания на опорной плоскости описывает или окружность, или прямую, или неподвижна (последние два случая соответствуют во = п/2). Так как функция ^(р1,р2, в) непрерывна, то множество стационарных движений тела с острием есть объединение множеств стационарных движений волчка Лагранжа и веретена Муштари. Устойчивость стационарных движений исследуется по отношению к позиционной координате в и обобщенным скоростям р, д, г (остальные координаты являются псевдоциклическими, поэтому по отношению к этим переменным стационарные движения неустойчивы [5]). Стационарное движение будет устойчиво, если оно соответствует минимуму по переменной в функции Ш(в,р1,р2) (рь Р2 _ параметры). Так как свойство минимальности локальное, то выводы об устойчивости стационарных движений, при которых во € [0, п/4)и(п/4, 3п/4)и(3п/4, п], можно делать, изучая модели волчка Лагранжа и веретена Муштари независимо друг от друга. Известно, что стационарные движения волчка Лагранжа при в € (0, п) всегда устойчивы, а при в = 0, в = п устойчивы при выполнении условия Маиевского (см., например, [5]). Аналитически доказана устойчивость стационарных движений веретена Муштари для движений, при которых в = п/2 — это равномерное вращение вокруг вертикали и равномерное качение вдоль прямой (см. [6]). В этой же работе численно построена диаграмма Пуанкаре, ее вид указывает на то, что остальные
во = п/4
во = 3п/4
ли веретена Муштари при этих значениях позиционной координаты соответствуют
п
устойчивые стационарные движения, то пределы д2Ш/дв2 щи в, стремящемся к ^ 3п 4
и к — слева и справа, положительны:
д2Ш , д2Ш
115а > 0, 1™ -Ког > 0,
в^п-о дв2 4+0 дв2
д2Ш , д2Ш
Иот > 0, 1™ ~1ШГ > 0,
в^ Зтл-о дв2 в^3п + 0 дв2
и, следовательно, стационарные движения веретена с острием также устойчивы.
Нестационарные движения тела имеют следующий вид: при каждой тройке констант интегралов (Н,р1,р2) происходят нелинейные колебания
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.