ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2013, том 49, № 5, с. 523-529
УДК 551.511:551.515.2:551.515.3
О СПИРАЛЬНЫХ ВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЯХ ВЛАЖНОГО ВОЗДУХА
© 2013 г. М. В. Курганский
Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН 119017Москва, Пыжевский пер. 3 E-mail: kurgansk@ifaran.ru Поступила в редакцию 23.10.2012 г., после доработки 13.03.2013 г.
Для адиабатических движений ненасыщенного влагой воздуха получены два результата, принципиально отличающиеся от того, что имеет место в сухой атмосфере: 1) установившееся винтовое движение влажного воздуха со всюду коллинеарными векторами скорости и завихренности динамически невозможно; 2) спонтанное усиление (генерация) спиральности во влажном воздухе за счет баро-клинности динамически и термодинамически осуществимо. При отсутствии потоков спиральности через границу области, занятой воздушными потоками, разность значений интегральной спиральности Hв момент времени t, отстающий на малый промежуток времени от начального t0 (в котором мгновенное состояние движения воздуха изоморфно либо установившемуся винтовому движению, либо безвихревому потоку) и начального значения H растет пропорционально (t — t0)4. Ненулевое значение коэффициента пропорциональности обеспечивается различием в значениях показателя адиабаты сухого воздуха и водяного пара соответственно.
Ключевые слова: влажный воздух, водяной пар, спиральность, потенциальная завихренность, винтовые движения, торнадо, водяные смерчи.
Б01: 10.7868/80002351513050064
1. Закономерности движения влажного и соответственно сухого воздуха могут отличаться друг от друга, даже если не учитываются фазовые переходы влаги, т.е. влажный воздух не достигает состояния насыщения (см., например, аналитический обзор специфических эффектов динамики двухкомпонентных сред в [1]). В данной работе эти различия рассмотрены в контексте вихревых движений с отличной от нуля спиральностью поля скорости (так называемых спиральных вихревых движений), в частности винтовых течений (по Громеке; в зарубежной литературе они известны также как течения Бельтрами). Винтовые движения используются в динамике атмосферы как полезная идеализация при описании интенсивных вихрей: торнадо (смерчей), водяных смерчей и др. (см. статью Д.К. Лилли в [2]). Помимо этого винтовые течения играют важную роль в общей гидродинамике, и им было уделено большое внимание на Симпозиуме "Топологическая гидродинамика" Международного Союза теоретической и прикладной механики, прошедшем 23—27 июля 2012 г. в г. Кембридже (Великобритания). В развитие теории таких течений в данной работе будет показано, что установившееся адиабатическое винтовое течение ненасыщенного влажного воздуха динамически невозможно, в отличие от случая сухого воздуха. Будет произведен анализ эво-
люции (генерации) спиральности поля скорости в ненасыщенном влажном воздухе, когда в начальный момент времени атмосфера находится в одном из двух состояний. Во-первых, это состояние с нулевой завихренностью и, во-вторых, состояние мгновенного винтового движения воздуха. В указанном смысле учет притоков тепла за счет конденсации водяного пара не является необходимым, но эти притоки чрезвычайно ускоряют рост спиральности во времени [3]. Отметим, что генерация спиральности бароклинностью как таковой в сухой атмосфере в принципе невозможна [3, 4].
Статья построена следующим образом. В п. 2 приведены выражения для термодинамических потенциалов идеальной смеси сухого воздуха и водяного пара, которые используются далее в работе. В п. 3. выписаны общие уравнения движения сжимаемой двухкомпонентной среды, в данном случае ненасыщенного влажного воздуха, и сформулировано общее уравнение баланса спи-ральности поля скорости в такой среде. Исходя из общей теоремы Эртеля о вихрях [5], в п. 4 доказывается невозможность установившегося адиабатического винтового движения влажного воздуха. В п. 5 рассматривается интегральный инвариант адиабатического движения влажного воздуха I с плотностью, равной скалярному произведению
вектора скорости на характеристическим вектор, который обладает свойством "вмороженности" в движение воздуха. Для определенного класса начальных условий инвариант I может быть выбран равным полной спиральности поля скорости H, которая, однако, не является сохраняющейся величиной, так что начальное равенство I и H неминуемо нарушается. Эта аргументация, во-первых, подтверждает выводы п. 4, а во-вторых, служит в п. 6 основой для расчета скорости расходимости во времени значений I и H. Основные результаты работы просуммированы в п. 7.
2. Исходим из выражения для удельного потенциала Гиббса для идеальной смеси сухого воздуха и водяного пара
Z = (RT ln pd - cpdT ln T + cpdT) (1 - q) + + (RVT ln pv - CpVT lnT + CpVT)q.
Несущественный аддитивный член CT, C = = const, опущен. Здесь q — удельная влажность, T — температура, pd и pv — парциальные давления сухого воздуха и водяного пара, которые подчиняются закону Дальтона, pd + pv = p, где p — полное давление во влажном воздухе. Нижние индексы "d" и "v" в обозначениях для удельной теплоемкости при постоянном давлении cp и газовой постоянной R относятся к сухому воздуху и водяному пару соответственно. Очевидно,
p _ рг(1 - q) p _
pd _ ч , pv _
pq
6 (1 - q) + q' v е (1 - q) + q,
Е = = I8 » 0.622.
К 29 Отсюда следует, что
С = (ЪТ 1п р + ерйТ - ерйТ 1п Т) (1 - q) + + ((Т 1п р + е^Т - СрТ 1пТ)q - ТЕ ,
где
2(q) = -Яа (1 - q)Ы ((1 - —q 1п■ б (1 - q) + q б б (1 - q) + q
Удельная энтропия смеси У = -д^/д Т и разность удельных потенциалов Гиббса водяного пара и сухого воздуха ц' = дZ¡дq имеют вид:
у' = (ерй 1п Т - Ял 1п р) (1 - q) + + (1пТ - К 1пp)q + Е(q),
ц' = К - Яа)Т 1пр + + (еpV - ерЛ) (Т - Т 1п Т)- Т <ТЦёд.
Для удельной энтальпии влажного воздуха соответственно имеем к = ^ + = ерёТ (1 - q) + ер,ТТд. Слагаемое Е (у) > 0 в (1) является энтропией смешения Гиббса [6]. В частности, Е(у) ~ lq 1пq при
(1)
(2)
q < 1. В атмосфере q = О (10 2), но нижеследующие рассуждения являются общими и формально
1
не используют малость q . Отметим, что основы термодинамики ненасыщенного влажного воздуха изложены, например, в монографиях [7—9], а также [10].
В метеорологии энтропия смешения Е (q) традиционно не рассматривается, а в качестве энтропии берется сумма ж первых двух слагаемых в правой части (1). При сохраняющейся в каждой воздушной частице удельной влажности q условие адиабатич-ности эквивалентным образом записывается в терминах ж' и у = у' - Е . Фундаментальное уравнение Гиббса в переменных ж' и ц', см. (1) и (2),
-р-1ёр = -Ак + ТАУ + ц 'dq
(р — плотность влажного воздуха и ё — символ произвольного изменения состояния), строгим образом переписывается в терминах у = У - Е (у) и ц = ц' + ТёЪ (у)/dq :
-р 1ёр = -Ак + Тёу + ц dg. Это использовано в настоящей работе.
3. Рассматриваются адиабатические вихревые движения малого пространственного масштаба в пренебрежении силой вязкости и прямым действием силы Кориолиса, связанной с вращением Земли. Исходным является уравнение Эйлера,
(3)
D v = -1 Vp -УФ, Dt р
(4)
где Б/ Б1 — символ материальной производной по времени, V — вектор скорости и Ф — потенциал силы тяжести. С использованием (3) уравнение (4) записывается в виде
D
Dt
v = -Vh + TVs + ^Vq - УФ,
(5)
где к, ж и ц определены в п. 2. Уравнение (5) совместно с уравнением неразрывности
(6)
5 tp + v- (pv) = 0,
уравнением сохранения удельной энтропии s влажного воздуха
dts + v •Vs = 0
(7)
1 Сходный подход применим к обратимым адиабатическим процессам во влажной атмосфере, где либо капельки воды, либо кристаллики льда — в зависимости от того, температура Т выше или ниже температуры тройной точки воды — находятся в термодинамическом равновесии с водяным паром, а также к адиабатическим движениям в сухой, но запыленной атмосфере. При этом, однако, необходимо предполагать малость удельной концентрации влаги (пыли). Сконденсированная влага (пыль) вносят пренебрежимо малый вклад в удельный объем смеси, а полное давление в смеси определяется исключительно ее газовой составляющей.
и уравнением сохранения удельной влажности q воздуха
д # + V ■ Vq = 0 (8)
образуют систему уравнений, которая замыкается уравнением состояния влажного воздуха р = р[Яа (1 - q) + Ял]Г.
Следствием (5), (7) и (8) является общее уравнение баланса спиральности поля скорости X = V - V х V = V • ю (в дальнейшем просто спираль-ности)
дх + У- Б = 2Т (ю • Уя) + 2ц (ю • Vq),
(9)
д_ йг
Н = 12ПТрйт+ ]ш^рМт, Н = (11)
V V V
Здесь и ниже йт — элемент объема. Предполагается, что вектор Ь всюду на граничной поверхности дУ коллинеарен нормали к этой границе, т.е. я и q постоянны на дУ. Требуется обращение в нуль нормальной к границе компоненты вектора ю. В силу сделанных предположений это — инвариантное свойство, поскольку для любого жидкого контура, лежащего на дУ, выполняется теорема Кельвина о сохранении циркуляции скорости. Альтернативное (и в определенном смысле более реалистическое) предположение может состоять в том, что объем У "прокатан" между двумя горизонтальными поверхностями, на которых « и q принимают постоянные (но различающиеся на разных поверхностях) значения, в то время как на удаленных боковых границах скорость жидкости регулярным образом стремится к нулю. Эти условия обеспечивают равенство нулю потока спи-ральности через д V.
4. Начнем с простого доказательства динамической невозможности установившихся адиабатических винтовых движений влажного воздуха, для которых (6)—(8) принимают вид
V • = 0, V • У я = 0, V ■Vq = 0.
В силу выписанных уравнений
pv = ф (я, q)(Vя xVq), (12)
где ф — произвольная функция. Самое общее условие установившегося винтового движения имеет вид ш = X (я, q) pv, поскольку лишь оно обеспечивает соленоидальность поля завихренности ю. Здесь X — еще одна произвольная функция. Поэтому с необходимостью П я = П 9 = 0. С другой стороны, теорема Эртеля [5] приводит в адиабатическом случае к паре сопряженных уравнений
Уц • (Уя х Vq)
где Б = хV - - Ь х V — вектор потока спиральности; здесь 2 = (V2 ¡2) - к - Ф и Ь = ТУ я + цУ q (что касается однокомпонентных б
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.