МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2011
УДК 531.38
© 2011 г. Н.И. АМЕЛЬКИН
О СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЯХ ТВЕРДОГО ТЕЛА, НЕСУЩЕГО ТРЕХСТЕПЕННЫЕ СИЛОВЫЕ ГИРОСКОПЫ, И ИХ УСТОЙЧИВОСТИ
Для твердого тела, несущего N трехстепенных силовых гироскопов в кардановых подвесах, получены уравнения движения и определено все множество стационарных движений в однородном внешнем поле. Исследована зависимость стационарных движений от модуля кинетического момента системы и проведен детальный анализ их вековой устойчивости.
Для случая, когда в осях рамок гироскопов действуют диссипативные силы, с помощью теоремы Барбашина—Красовского проведено исследование устойчивости по Ляпунову. Показано, что в зависимости от модуля кинетического момента асимптотической устойчивостью обладают либо неподвижные состояния системы, либо два движения, соответствующие вращениям несущего тела вокруг оси наибольшего момента инерции, а все другие стационарные движения неустойчивы по Ляпунову.
Ключевые слова: Твердое тело, силовой гироскоп, стационарные движения, вековая устойчивость, устойчивость по Ляпунову.
1. Постановка задачи. Рассматривается система, состоящая из свободного твердого тела (корпуса), на котором установлены N трехстепенных силовых гироскопов в кардановых подвесах (фиг. 1). Обозначим через iк, sк и hk единичные векторы, указывающие направления осей внешних рамок, внутренних рамок и роторов соответственно. Оси внешних рамок iк фиксированы относительно несущего тела, положения осей внутренних рамок sк определяются углами прецессии у к, а положения осей роторов hk — углами прецессии у к и нутации 9к.
Будем полагать, что для каждого гироскопа ось внутренней рамки ортогональна к оси внешней рамки и к оси ротора
iк ■ sк = 0, sк ■ hк = 0 (1.1)
а угловые скорости вращения роторов фк поддерживаются постоянными. Тогда, считая, что оси hк направлены в сторону вращения роторов, для кинетических моментов собственного вращения роторов будем иметь Hк = Окhк, где Ок = |Нк| = const > 0.
Будем считать также, что система "несущее тело—гироскопы" обладает свойством гиростата. Указанное свойство можно обеспечить соответствующим подбором моментов инерции роторов и рамок и имеет место при выполнении следующих условий:
ротор каждого гироскопа статически уравновешен и динамически симметричен относительно оси ^;
Фиг. 1
система "внутренняя рамка—ротор" статически уравновешена и динамически симметрична относительно оси 8 к. Момент инерции этой системы относительно оси 8 к обозначим через Бк;
весь гироскоп статически уравновешен и динамически симметричен относительно оси внешней рамки 1 к. Момент инерции гироскопа относительно оси 1 к обозначим через Ак.
При выполнении перечисленных условий тензор инерции системы "несущее тело-гироскопы" в любом базисе, связанном с корпусом, не будет меняться при поворотах рамок гироскопов, т.е. система будет гиростатом. Этот тензор, вычисленный в базисе главных центральных осей системы е1; ез будем обозначать через .1, а соответствующие главные моменты инерции — через А, Б, С.
Предполагается, что система движется в однородном внешнем поле, а в осях рамок гироскопов могут действовать только моменты внутренних диссипативных сил. Под однородностью поля здесь понимается допущение, что для любой части системы момент внешних сил относительно ее центра масс равен нулю. В задаче о движении спутника в центральном гравитационном поле такое допущение эквивалентно игнорированию действующих на каждый элемент спутника гравитационных и других внешних моментов.
Ниже будут исследоваться стационарные движения системы — движения, для которых угловая скорость корпуса ю постоянна, а рамки гироскопов неподвижны относительно корпуса (у к = 9 к = 0).
2. Уравнения движения. Уравнения движения системы можно получить из теоремы об изменении кинетического момента, применяя ее для всей системы и для отдельных элементов.
Суммарный кинетический момент системы относительно ее центра масс при оговоренных выше условиях на геометрию масс записывается в виде
N N
К = + н + X (Ак у к 1 к + Вкв к8 к); Н = X Нк (2.1)
к=1 к=1
где ю — вектор угловой скорости корпуса, заданный своими проекциями на оси e1; e3, Н — суммарный кинетический момент роторов гироскопов.
Кинетический момент k-го гироскопа относительно его центра масс Ck определяется выражением
К к = J к» + АкЧ кi к + Вк® ^ к + Н к (2.2)
где J к — тензор инерции этого гироскопа в базисе Ске1е 2e3, параллельном базису главных центральных осей инерции системы.
Кинетический момент части гироскопа, состоящей из внутренней рамки и ротора, записывается в виде
К к = J к (ю + V к i к) + Вк 0 kS к + Нк (2.3)
где J к — тензор инерции внутренней рамки вместе с ротором в базисе C^e 2e3.
Поскольку в принятых выше предположениях внешние силы не создают моментов, то из теоремы об изменении кинетического момента всей системы следует уравнение
N
J( + £ (Ак у к i к + Вк (6 к s к + У к 6 к i к х s к) + (У к i к + 6 к s к)х Н к) +
^ n (2.4)
X (J я + Н + £ (АкУ к i к + Вк 6 кs к)) = 0
к=1
Применяя эту же теорему для каждого отдельного гироскопа в проекции на ось прецессии i к, получим уравнения
Ак(ю • iк + <|>к) + 0кiк ■ (sк х Нк + Вк& х sк) + iк ■ (ю х Нк) = Мъ к = 1, N (2.5)
где Ж1 к — моменты диссипативных сил в осях прецессии гироскопов.
В свою очередь, записывая теорему об изменении кинетического момента для внутренней рамки вместе с ротором в проекции на ось s к, и учитывая симметрию тензора Jк относительно этой оси, будем иметь
Вк[ю • s к + У к s к • (ю х i к) + 0 к ] + s к • [ (ю + V к i к)х Н к ] = M; к = 1, N (2.6)
где M2 к — моменты диссипативных сил в осях нутации гироскопов.
Уравнения (2.4)—(2.6) описывают движение рассматриваемой системы в фазовых переменных ю, у, 0, у, 0, где у и 9 — N-мерные векторы, составленные из углов прецессии и нутации соответственно. Эти уравнения имеют первый интеграл
К 2(ю, 0, у, 0) = K2 = const (2.7)
который является следствием сохранения вектора кинетического момента (2.1) в инерциальном базисе. Кроме того, на движениях системы обобщенная энергия E, которая, как и в задаче с двухстепенными гироскопами [1], совпадает с кинетической энергией движения относительно базиса Кенига, вычисленной при "замороженных" роторах гироскопов, удовлетворяет условию
N
E(ю, Y, е, Y, 9) = X (Mw к + M2к0к) < 0 (2.8)
к=1
Уравнения для стационарных движений получаются из уравнений (2.4)—(2.6) приравниванием к нулю производных ю, у, 0, у,ё. Учитывая, что при равных нулю скоростях vj/, 6 моменты диссипативных сил также равны нулю, получим для стационарных движений следующую систему уравнений:
ю х J + H) = 0 (2.9)
ik • (ю х Hk) = 0; k = 1N (2.10)
sk • (ю x Hk) = 0; k = 1N (2.11)
Наличие первого интеграла (2.7) и функции, удовлетворяющей условию (2.8), позволяет применить для исследования стационарных движений прямой метод Ляпунова. Такой подход использовался ранее в аналогичной задаче с двухстепенными гироскопами. Доказанные в работах [1, 2] утверждения справедливы и для рассматриваемой системы с трехстепенными гироскопами. Первое из них [1] состоит в том, что стационарные движения соответствуют условно-стационарным точкам "усеченной"
кинетической энергии системы V = гат J га/2 на многообразии
f (ю, 0) = K2 = (Jra + H)2 = const (2.12)
где K = J га + H — усеченный кинетический момент системы. При этом, как показано в [2], точки строгого условного минимума функции V удовлетворяют достаточным условиям устойчивости (по терминологии Кельвина обладают вековой устойчивостью). Если же функция V не имеет условного минимума, то такие точки неустойчивы в вековом смысле.
Анализ вековой устойчивости стационарных движений представляет интерес по той причине, что во многих случаях при наличии в системе внутренней диссипации с помощью теоремы Барбашина—Красовского по характеру вековой устойчивости удается определить характер устойчивости по Ляпунову [2, 3].
3. Стационарные движения. Условно-стационарные точки функции V на многообразии (2.12) могут быть найдены как стационарные точки функции Лагранжа с множителем
L = V + Х f/ 2 = гат J га/2 + Х (J га + H)2/2 (3.1)
Отсюда, учитывая равенства дН/дуk = ik х Hk, 5H/d6k = sk x Hk получим для стационарных движений следующую систему уравнений:
DL/d ra = J га + X J(J ra + H) = 0 ^ га = -X K (3.2)
dL/dyk = XK • (ik x Hk) = 0; k = 1,..., N (3.3)
5L/59k =XK ■ (sk x Hk) = 0; k = 1,., N (3.4)
Используя эти уравнения, будем исследовать зависимость стационарных движений системы от модуля ее кинетического момента |K|. Такая постановка обусловлена тем, что в силу (2.7) модуль кинетического момента является первым интегралом, т.е. его можно рассматривать как параметр системы, зависящий от начальных условий движения.
Найдем сначала стационарные движения с нулевой угловой скоростью m = 0 (неподвижные состояния). Им соответствуют решения системы (3.2)—(3.4) при X = 0 и для
них кинетическим момент системы равен суммарному кинетическому моменту роторов: К = Н. Для определенности положим, что модули кинетических моментов роторов удовлетворяют неравенствам
в1 > 02 > ... > Ом (3.5)
Тогда, учитывая, что каждый вектор Нк может быть направлен произвольным образом, получим, что множество всевозможных значений вектора Н представляет собой шаровую полость, заключенную между двумя сферами с радиусами
N N
нтах = £ ок, Нт1п = ^ - £ ок (3.6)
к=1 к=2
При этом Нт1п > 0 только в том случае, когда в системе есть гироскоп, для которого модуль кинетического момента ротора превышает сумму модулей кинетических моментов роторов всех остальных гироскопов. В противном случае множество всевозможных значений вектора Н представляет собой шар радиуса Вшах.
Таким образом, стационарные движения, соответствующие неподвижным состояниям, определены для следующих значений кинетического момента системы:
Нт1п < |К| < Нтах (3.7)
При Н™п < 0 неравенство (3.7) принимает вид |К| < Нтах.
Исследуем стационарные движения с ненулевой угловой скоростью (А ф 0). Из уравнения (3.2) следует, что для всех стационарных движений вектор угловой скорости корпуса параллелен вектору кинетического
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.