научная статья по теме O СВОЙСТВАХ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ТЕЛА, НЕСУЩЕГО СИСТЕМУ ДВУХСТЕПЕННЫХ СИЛОВЫХ ГИРОСКОПОВ Математика

Текст научной статьи на тему «O СВОЙСТВАХ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ТЕЛА, НЕСУЩЕГО СИСТЕМУ ДВУХСТЕПЕННЫХ СИЛОВЫХ ГИРОСКОПОВ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 75. Вып. 3, 2011

УДК 531.38

© 2011 г. Н. И. Амелькин

О СВОЙСТВАХ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ТЕЛА, НЕСУЩЕГО СИСТЕМУ ДВУХСТЕПЕННЫХ СИЛОВЫХ ГИРОСКОПОВ

Исследуются стационарные движения твердого тела, несущего несколько двухстепенных силовых гироскопов, в однородном внешнем поле. Показано, что при коллинеарной схеме установки гироскопов в несущем теле задача определения стационарных движений системы и анализа их вековой устойчивости сводится в основной части к решенной ранее аналогичной задаче для системы с одним гироскопом. Установлено, что при наличии диссипации в осях рамок гироскопов система асимптотически стремится к состоянию покоя, если значение модуля суммарного кинетического момента системы принадлежит отрезку возможных значений модуля суммарного кинетического момента роторов гироскопов. Приводятся результаты анализа стационарных движений системы, несущей два гироскопа при не-коллинеарной схеме установки.

1. Введение. Был изложен [1, 2] метод исследования стационарных движений твердого тела, несущего двухстепенные силовые гироскопы, в однородном внешнем поле. Проведен детальный анализ стационарных движений системы с одним гироскопом [2-4].

Данная работа посвящена исследованию свойств стационарных движений тела, несущего два или более силовых гироскопов. Предполагается, что роторы гироскопов статически уравновешены и динамически симметричны относительно осей их вращения, а каждый гироскоп статически уравновешен и динамически симметричен относительно оси рамки. Вследствие этого система "несущее тело — гироскопы" является гиростатом, т.е. ее геометрия масс не меняется при вращениях роторов и поворотах рамок.

Обозначим через e1, e2, e3 базис главных центральных осей инерции системы, через J — тензор инерции системы в этом базисе, а через A, B, C — соответствующие главные моменты инерции. Направления осей подвеса рамок гироскопов в базисе e1, e2, e3 будем обозначать единичными векторами s к, а текущие положения осей роторов — единичными векторами hk, которые ортогональны векторам sк и зависят от углов поворота рамок xk. Предполагается, что скорости вращения роторов относительно рамок постоянны, так что кинетические моменты собственного вращения роторов определяются выражениями Hк = Hkhк, Ик = const > 0.

Стационарные движения системы (движения, при которых вектор угловой скорости несущего тела ш постоянен, а рамки гироскопов неподвижны относительно корпуса) определяются [1] как стационарные точки "усеченной" кинетической энергии

системы V = юTJ ю/2 на многообразии f = (Jш + H)2 = K2 = const, где K = Jш + H —

N

"усеченный" кинетический момент системы, Н = ^ Н к (хк) — вектор суммарного ки-

к=1

нетического момента роторов, N — число гироскопов. С помощью функции Лагранжа

Ь = V + Х //2 = гат Л га/2 + Х (Л га + Н)2/2 (1.1) уравнения, определяющие стационарные движения, записываются в виде

д Ь/дга = 0 ^ Л га + Х Л(Лга + Н) = 0 ^ га + Х (Лга + Н) = 0 (1.2)

дЬ/дхк = 0 ^ЦЛю + Н) • (8к х Нк) = 0; к = 1,...,N (1.3)

Из этих уравнений следует, что для стационарных движений вектор угловой скорости корпуса ю параллелен вектору кинетического момента системы К и ортогонален всем векторам п к = 8 к х И к.

Каждое стационарное движение можно характеризовать либо N + 3)-мерным вектором {га, х}, либо N + 3)-мерным вектором {К, х}, где х — вектор, составленный из углов поворота рамок гироскопов хк, определяющих значения кинетических моментов роторов Н к. Поскольку для рассматриваемых систем модуль суммарного кинетического момента |К является первым интегралом движения [1], исследуемые ниже стационарные движения будем описывать вектором {К, х}. Такое описание более удобно для нахождения числа стационарных движений в зависимости от величины |К, а также точек ветвления, в которых меняется характер устойчивости.

Анализ устойчивости стационарных движений сводится к исследованию квадратичной формы (КФ) [2]

NN N

d2Ь = \ТЛУ + X\тЛ2у + 2Х\т X Л(Бк х Нк)*к + X X (81 х Н])(вк х Нк)1]1к - XX К • Н^к2

к=1 =1 к=1 (1.4)

на множестве вариаций \ = dю, 1к = dxk, связанных уравнением

N

d/|2 = Л • К\ + К • X 8к х Нк^к = 0 (1.5)

к=1

При этом, если КФ (1.4) на множестве (1.5) является строго положительно определенной, то функция V = гатЛ га/2 имеет строгий условный минимум, а соответствующее стационарное движение удовлетворяет достаточным условиям устойчивости (по терминологии Кельвина устойчиво в вековом смысле). Если же КФ (1.4) принимает отрицательные значения на некотором подмножестве множества (1.5), то функция

V = гатЛ га/2 не имеет условного минимума, а соответствующее стационарное движение неустойчиво в вековом смысле.

Будет исследоваться вековая устойчивость стационарных движений. Объясняется такой подход тем, что при наличии диссипации в осях рамок гироскопов с помощью теоремы Барбашина—Красовского во многих случаях по характеру вековой устойчивости удается определить характер устойчивости по Ляпунову [2, 5].

Отметим, что в силу уравнений (1.3) для стационарных движений с ненулевой угловой скоростью ю уравнение связи (1.5) принимает вид

d/|2 = Л • К\ = 0 (1.6)

т.е. вариации zk в КФ (1.4) независимы.

2. Необходимые условия вековой устойчивости. Рассмотрим общий случай, когда оси sk рамок гироскопов ориентированы произвольным образом в несущем теле, и определим некоторые необходимые условия вековой устойчивости стационарных движений с ненулевой угловой скоростью.

Теорема 1. Для всех устойчивых в вековом смысле стационарных движений выполняется условие

К ■ Н > 0 (2.1)

т.е. проекция суммарного кинетического момента роторов на суммарный кинетический момент системы неотрицательна.

Доказательство. Уравнение (1.2) можно записать в следующем эквивалентном виде: К - Н + X ЛК = 0. Из него имеем

Х = (Н • К - К2)/(Ктл • К) (2.2)

В силу независимости вариаций zk в КФ (2.4) необходимые условия вековой устойчивости описываются неравенствами

Ькк =Х (ы2к - К • Н к) > 0; к = 1,..., N (2.3)

Предположим, что существуют устойчивые в вековом смысле стационарные движения, удовлетворяющие условию К ■ Н < 0. Тогда из равенства (2.2) будем иметь А < 0 и необходимые условия (2.3) примут вид

К • Нк > И2к > 0; к = 1, ..., N (2.4)

Отсюда следует неравенство K • H > 0, противоречащее принятому предположению.

Теорема 2. Для стационарных движений, удовлетворяющих неравенству |К| > |Н|, необходимые условия вековой устойчивости имеют вид

К • Нк > 0; к = 1, ..., N (2.5)

Доказательство. Из неравенства |К| > |Н следует К2 — H • K > 0. Отсюда в силу (2.2) имеем А < 0, вследствие чего необходимые условия (2.3) приводятся к виду (2.4), совпадающему с (2.5).

3. Стационарные движения системы с кол линеарной схемой установки гироскопов.

Схему установки гироскопов в несущем теле будем называть коллинеарной, если оси подвесов всех рамок гироскопов параллельны друг другу, т.е. 8 к = 8 (к = 1,..., Ж). Положим для определенности, что модули кинетических моментов роторов удовлетворяют неравенствам

Н1 > Н2 > ... > НЖ (3.1)

В рассматриваемом случае все векторы Нк ортогональны оси s. Поэтому область возможных значений суммарного кинетического момента роторов Н представляет собой расположенное ортогонально к оси 8 кольцо с внешним радиусом Я и внутренним радиусом р, где

N N

К = I Нк , р = Н1 - X Нк (3.2)

к=1 к=2

При этом возможные значения модуля суммарного кинетического момента роторов будут принадлежать диапазону

р< Н < К (3.3)

Отметим, что для рассматриваемой системы р > 0 только в том случае, когда в системе есть гироскоп, для которого модуль кинетического момента ротора превышает сумму модулей кинетических моментов роторов всех остальных гироскопов. В противном случае множество всевозможных значений вектора Н представляет собой круг радиуса Я, а неравенство (3.3) принимает вид |Н| < Я.

Система допускает стационарные движения с нулевой угловой скоростью несущего тела т = 0 (неподвижные состояния). Им соответствуют решения системы (1.2), (1.3) при X = 0, для которых кинетический момент системы равен суммарному кинетическому моменту роторов: К = Н. Отсюда следует, что неподвижные состояния определены для следующих значений кинетического момента системы:

р < |К| < Я (3.4)

При р < 0 неравенство (3.4) принимает вид К ^ Я.

Определим стационарные движения с ненулевой угловой скоростью. Найдем сначала такие из них, для которых найдутся векторы, Н 1 и Нк, не параллельные друг другу. В таком случае в силу уравнений (1.3) векторы т и К должны быть параллельны оси 8, т.е. т = ю я, К = К8. При этом уравнение (1.2) примет вид

ю я + ЦЛ ю я + Н) = 0 (3.5)

Отсюда, учитывая взаимную ортогональность векторов Н и 8, получим следующее решение:

т = ю 8, Х = - 1/(8 тЛ8), Н = ю[(8тЛ8)8 - Л8] (3.6)

Из неравенств (3.3) следует, что при р > 0 стационарные движения (3.6) определены для следующих значений ш:

р/я <Н< ЯЕ; Я = У!(Л8)2 -(8тЛ8)2 (3.7)

При р < 0 решения (3.6) определены в диапазоне

М< ЯЕ (3.8)

Стационарные движения (3.6) можно записать и через кинетический момент системы К = К8. Учитывая вытекающее из уравнения (1.2) равенство ю = -X К, получим

К = К8, Н = К (Л 8 - (8тЛ8)8)/(8тЛ8) (3.9)

8тЛ8рЯ < К< 8тЛ8я1я при р> 0; К < 8тЛ8я1я при р< 0 (3.10)

Из приведенных соотношений следует, что каждому значению модуля кинетического момента системы |К| из области определения (3.10) соответствует два решения (3.9): ТК

К = ±|К|8, Н = - к (3.11)

8 Л 8

При этом для внутренних точек области определения величины К каждое значение вектора Н (3.11) реализуется для случая N = 2 двумя комбинациями значений Н:, Н2, а в случае N > 3 решения Н1, Н2,..., Н^ уравнения

N

X Нк = К (Л 8 - (8тЛ8)8^(8тЛ8) (3.12)

к=1

образуют N — 2)-мерное множество.

Отметим, что если ось s параллельна главной оси инерции системы, то для вектора Н (3.9) получаем значение Н = 0. В этом случае при р < 0 стационарные движения (3.9) определены для любых значений К, а при р > 0 таких стационарных движений не существует.

Рассмотрим теперь стационарные движения, для которых все векторы Нк параллельны друг другу. Для таких движений всевозможные значения век

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком