ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2008, том 44, № 5, с. 695-709
УДК 532. 517.4
О СВОЙСТВАХ ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ ДВУМЕРНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ: ОСОБЕННОСТИ СПЕКТРОВ
И КОГЕРЕНТНЫЕ СТРУКТУРЫ
© 2008 г. A. Л. Цескис
Am Weidenbusch 29,51381 Leverkusen, Germany Поступила в редакцию 02.10.2007 г.
В работе приводятся основные результаты теории двумерной турбулентности. В рамках традиционного подхода, опирающегося на уравнение Кармана-Ховарта, описаны аномальные (резко отличающиеся от присущих обычной - трехмерной турбулентности) свойства двумерного турбулентного движения несжимаемой жидкости, в частности, передача энергии по спектру в направлении от больших к меньшим волновым числам и образование когерентных структур; происхождение последних оказывается связанным с достижением спектром формы 5-функции. Показано, как единообразным способом получаются автомодельные спектры двумерной турбулентности в инерционных интервалах. Рассматривается также проблема турбулентной диффузии пассивной примеси в двумерном случае; при этом оказывается, что соответствующие величины, как и относящиеся к динамическим характеристикам движения, могут при некоторых условиях обнаруживать аномальные свойства. Обсуждается связь излагаемых результатов с экспериментальными данными. В частности, находит свое объяснение наблюдаемая экспериментально "инверсия" спектров двумерной турбулентности в атмосфере.
1. ВВЕДЕНИЕ
Описание двумерного турбулентного движения относится к классу тех физических задач, решение которых не упрощается с уменьшением размерности пространства. Это в особенности очевидно применительно к соответствующим экспериментам, так как необходимость использования специальных средств для достижения двумерности движения ясна заранее. Оказывается, однако, что, несмотря на доказанность существования и единственности решений гидродинамических уравнений в двумерном случае [1], [2], теоретическое описание двумерного турбулентного движения не является более простым, чем описание трехмерного. Действительно, поскольку соответствующие решения (существование которых обеспечивается известными теоремами) в явном виде не получены, приходится и в случае двумерной турбулентности обращаться к тому же набору теоретических средств, которые применяются для исследования трехмерного турбулентного движения: корреляционных функций, спектров и связывающих их уравнений [3]. Уравнение для корреляционных функций поля скорости изотропной турбулентности в несжимаемой жидкости - уравнение Кармана-Ховарта - и уравнение для спектральных величин в совокупности с гипотезами об ав-томодельности явились средством получения всех известных результатов, относящихся к теории изотропной трехмерной турбулентности. Соответствующий математический аппарат и представляет собой как раз то, что принято связывать
с теорией турбулентности как таковой. Оказывается, что в случае двумерной турбулентности как кинематические (следствия уравнения неразрывности) соотношения для корреляционных функций, так и динамическое уравнение (Кармана-Ховарта) не являются более простыми, чем для трехмерной [4], - и очевидно, что именно это обстоятельство не позволяет рассчитывать на упрощение соответствующих задач, более того, в двумерном случае они становятся даже несколько более сложными.
Поскольку долгое время потребностей в каком бы то ни было приложении представлений о двумерной турбулентности к реальной физической ситуации не возникало, одна из первых, относящихся к ней работа [5], появилась уже тогда, когда в теории трехмерной изотропной турбулентности были получены важнейшие результаты и было продемонстрировано их согласие с экспериментальными данными. В этой работе двумерное турбулентное движение ассоциировалось со стохастической динамикой системы точечных вихрей; в силу того, что последние буквально соответствуют прямолинейным вихревым нитям в сверхтекучей жидкости, со времени появления этой работы принято указывать на физику конденсированного состояния и некоторые родственные проблемы физики плазмы (см. обзор [6]) как на поле приложения теории двумерной турбулентности. Другим объектом таких приложений предположительно является крупномасштабная динамика атмосферы [7].
В указанной работе [5], а также в последующих, посвященных двумерной турбулентности (см., например, [8], [9]), было обнаружено ее важное аномальное (отсутствующее в трехмерном случае) свойство - передача энергии от мелкомасштабных к крупномасштабным движениям. На языке динамики точечных вихрей это соответствует взаимному притяжению вихрей одного знака с образованием групп, состоящих из большого числа вихрей. Эту аномалию иногда принято связывать с представлениями о некоторых процессах в атмосфере и океане, обусловленных так называемой отрицательной турбулентной вязкостью [10], а также с образованием наблюдаемых экспериментально (см. далее) когерентных вихревых структур.
Дальнейшие результаты, касающиеся спектров двумерной турбулентности, были получены в [11]. Из соображений подобия, точно так же, как это имеет место в трехмерной ситуации, легко установить, что в дополнение к колмогоров-скому участку спектра с законом "—5/3" при двумерном турбулентном движении, благодаря наличию при равной нулю вязкости еще одной сохраняющейся величины - интеграла от квадрата ротора скорости, — должен существовать участок с законом "—3". В [11] эти результаты получены также как следствие решения динамических уравнений, моделирующих уравнения гидродинамики в "приближении прямых взаимодействий" с помощью ряда предположений. Многочисленные попытки численной реализации как этих модельных уравнений, так и исходных уравнений гидродинамики (см. подробное обсуждение в [3]), позволяют сделать вывод, что оба указанных вида спектров действительно должны были бы наблюдаться на практике в тех случаях, когда турбулентное движение может с удовлетворительной точностью трактоваться как двумерное. В качестве таких практических примеров естественно рассматривать уже упоминавшееся выше крупномасштабное движение атмосферы или турбулентность в специальных — осуществляемых в эксперименте — условиях.
Первые экспериментальные данные, касающиеся двумерной турбулентности, были получены в опытах, в которых двумерность движения проводящей жидкости явилась следствием наложения достаточно сильного магнитного поля. Можно показать, что этот эффект реализуется как при больших [12], так и при малых магнитных числах Рейнольдса [13], последние характерны именно для лабораторных условий. Результаты соответствующих экспериментов [14] указывали как на возможность существования обоих автомодельных спектров, так и на появление когерентных структур — крупномасштабных вихревых образований. Позднее были разработаны и другие экспериментальные методы изучения дву-
мерной турбулентности, важнейший из которых опирается на возможность организации турбулентного движения в тонкой пленке жидкости путем ее пропускания сквозь одномерную решетку — "гребенку" [15]. Не останавливаясь здесь на подробном описании экспериментальных данных, полученных, главным образом, в последнее десятилетие (подробному обзору посвящена статья [16]), отметим, что не все из них укладываются в рамки доминирующих теоретических представлений. В частности, это относится к данным, касающимся поведения корреляционных функций третьего порядка и — соответственно — направления потоков энергии по спектру двумерной турбулентности. Излагаемые ниже результаты, основанные на традиционном аппарате статистической гидромеханики, позволяют не только объяснить указанные аномалии, но и прийти к выводам, гораздо более парадоксальным, чем те, которые являются следствиями общепринятого подхода к проблеме, детали которого разъясняются далее параллельно с результатами настоящей работы.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И СПЕКТРЫ
Основой описания изотропной турбулентности является, как уже было отмечено, уравнение Кармана—Ховарта, которое в случае двух измерений имеет вид [4]
¿Вьь(г, г) (д + 3Л Б (г)Л +
+2 чдИ Бьь( г,г),
(1)
где корреляционные функции БЬ1 и Бьь^ ь определяются обычным путем (ниже для сокращения записи не указывается временной аргумент этих функций; здесь и далее угловые скобки отвечают статистическому усреднению):
Бьь(г) = {ыь(х)ыь(х + г)>,
Бьь,ь(г) = (иь(х)иь(х)ыь(х + г)>,
ыь — проекция скорости на прямую, соединяющую точки х и х + г. Заметим, что уравнение (1) отличается от такового для трехмерной турбулентности всего лишь заменой части стоящего справа 3 4
оператора, - вместо - в случае трех измерений.
Соответствующее (1) уравнение для спектра (спектральный аналог уравнения (1)), получаю-
щееся из (1) путем перехода к фурье-компонентам корреляционных тензоров,
к) = —2 [е",кгВу(г)йг, 4 п •'
(к) = -Ц [е"кгВ^,(г)йг,
Атг •>
имеет один и тот же вид для трехмерной и двумерной турбулентности,
ЭЕ(к, О
дг
= Т(к, г) -2Vк2Е(к, г),
(2)
где Е(к) - спектральная плотность энергии, £ Ейк = <о2)/2, а функция Т(к), связанная с нелинейными членами в уравнениях движения, характеризует поток энергии в к-пространстве так, что
интеграл |Ь Т(к)йк отвечает изменению энергии
в промежутке [а; Ь] в единицу времени, V - кинематическая вязкость жидкости. Следующее непосредственно из уравнений гидродинамики соотношение
| Т( к)йк =
0
(3)
является формой записи закона сохранения энергии турбулентного движения, которая, таким образом, может изменяться лишь под действием вязкой диссипации. Как следует из (1), (2), функции Вьь ь или, что то же, Т, будучи известными, давали бы возможность полного описания турбулентного движения. В свою очередь, однако, они должны определяться из уравнений, содержащих моменты высших порядков (или их фурье-аналогов) и т.д., так что цепочка уравнений, необходимых для такого описания турбулентности, бесконечна. По этой причине для решения соответствующих задач принято, исходя из физических соображений, выписывать дополнительные условия для моментов не слишком высоких порядков или прямо пользоваться соображениями размерности и подобия. Из (3) видно, что функция Т(к) должна менять знак, и как раз п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.