АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2015, том 49, № 3, с. 195-207
УДК 521.14-524.47
О ТОЧКАХ ПЕРЕГИБА ПОТЕНЦИАЛА И ПОЛЯРНЫХ МОМЕНТАХ ИНЕРЦИИ СФЕРИЧЕСКИХ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ © 2015 г. Б. П. Кондратьев1, 2, Н. Г. Трубицына3
Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова 2Главная (Пулковская) Астрономическая обсерватория РАН, Санкт-Петербург 3Удмуртский государственный университет, Ижевск e-mail: work@boris-kondratyev.ru Поступила в редакцию 22.05.2014 г.
Сформулирован простой критерий существования точек перегиба потенциала внутри сферических тел. Он гласит: геометрические места точек перегиба потенциала появляются не только на разрывах
плотности, но и там, где плотность p(r) составляет две трети от средней плотности материи р (r) внутри шара указанного радиуса. Критерий универсален и выполняется для тел как с непрерывным распределением плотности, так и состоящих из слоев конечной толщины и в смешанных моделях. Дан способ разделения точек экстремума. Критерий тестирован на многих моделях, в том числе на изотермических, политропных и изохронных шарах. Указано семейство моделей, внутри которых точек перегиба нет. Проверка метода на модели Земли подтвердило его адекватность. С помощью критерия "трех вторых" получен также нижний предел для осевого (полярного) момента инерции
сферического тела 1 cr. ® 0.360, разделяющий планеты и спутники Солнечной системы на две груп-MR
пы. К первой, самой многочисленной группе, относятся небесные тела, имеющие внутренние точки экстремума силы притяжения. Ко второй группе относятся планеты и спутники, не имеющие внутренних точек экстремума: это Луна, Ио, Фобос и, что показательно, Марс.
Ключевые слова: ньютоновский потенциал, неоднородные гравитирующие шары, точки перегиба потенциала, полярный момент инерции, модели планет.
БО1: 10.7868/80320930X15020036
ВВЕДЕНИЕ
В первой части работы исследуется задача о точках перегиба гравитационного потенциала внутри планет и спутников с формой эквиденсит, близкой к сферической. Согласно теории, в точках перегиба потенциала гравитационное притяжение имеет локальный экстремум (максимум или минимум), что делает нахождение этих точек актуальной задачей для геофизики, планетологии и астрофизики. Мы уделяем много внимания проверке критерия на самых разных моделях небесных тел. Во второй части работы показано, что с проблемой существования (или отсутствия) точек перегиба потенциала тесно связан вопрос о величине осевого (полярного) момента инерции сферического тела. Действительно, профиль потенциала и величина полярного момента инерции определяются строением тела. Нахождение осевых моментов инерции у планет и их спутников представляет важную задачу в планетологии, что также говорит об актуальности поставленной задачи.
Оригинальный метод изучения точек перегиба потенциала внутри шаров, основанный на использовании уравнения Пуассона, был развит в статье (Кондратьев и др., 2013). Найденный критерий является универсальным и выполняется не только для моделей с непрерывным распределением плотности, но и в шарах, состоящих из слоев конечной толщины, а также в смешанных моделях. В данной работе задача о точках экстремума внутри сферических тел изучается более строго и на более широком спектре моделей. На предмет существования точек перегиба впервые изучены изотермические, политропные и изохронные шары. Дан удобный на практике способ отделения точек максимума от точек минимума. Найдено семейство сферических моделей, внутри которых точек перегиба не существует. Упрощен вывод нижнего предела для осевого (полярного) момента инерции сферического тела
1" ~ 0.360, разделяющий планеты и спутники ИЯ2
Солнечной системы на две группы. На примерах
195
3*
мы убедимся в эффективности данного критерия. Подчеркнем, что целью работы является анализ внутреннего гравитационного поля сферических тел и здесь мы не касаемся вопросов строения и физики планет и спутников. Частично эти вопросы можно восполнить по книгам Буллен (1978), Жарков и Трубицын (1980), Маров (1986), см. также Хаббард (1987).
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВЫВОД ОСНОВНОГО КРИТЕРИЯ
Рассмотрим неоднородный гравитирующий шар радиусом Я с законом распределения объемной плотности р(г). Функция плотности р(г) может быть непрерывной или иметь конечное число точек разрыва первого рода. Полный потенциал во внутренней точке шара г складывается из потенциала ф! (г) шара-подсистемы радиуса г, для которого пробная точка не является внутренней
ф1 (r) = 4nG fр (r')r'2dr
Г »
(1)
и вклада ф2 (г) от сферической оболочки, для которой пробная точка не является внешней,
ф2 (r) = 4nG Jp (r') r 'dr'.
(2)
В итоге, полный потенциал во внутренней точке шара дается известной формулой, см., например, Дубошин (1961):
Ф (r) = 4nG
- Jp (r')r'2dr' + Jp (r') rdr'
r
V 0
(3)
Далее понадобятся производные от потенциала (3): это первая производная
dф dr
M (r) G
где
M (r) = 4nJp (r') r '2dr'
(4)
(5)
есть масса шара-подсистемы радиуса г, и вторая производная
^ = 2Щг)0 - 4пСр(г). (6)
Аг г
Фактически выражение (6) есть уравнение Пуассона, обычно записываемое в виде
2
ф" + - ф' = -4nGp (r). r
Нас интересуют точки перегиба кривой потенциала ф(г) внутри шара. Напомним (Корн Г., Корн Т., 1973), что функция ф(г) имеет точку перегиба г (точку локального экстремума производной —!-), если слева от этой точки касательная ле-А г
жит под графиком, а справа — над графиком (или наоборот). Необходимым условием существования точки перегиба является равенство нулю второй производной
л 2 d ф _
d r
= 0.
(8)
Одним из достаточных условий существования точек перегиба является изменение знака второй производной при прохождении этой точки.
Если функция ф (г) — внутренний потенциал тела, из уравнения Пуассона (7) следует
dф dr
= - 2nGp (r) r.
(9)
Здесь есть два варианта. В первом из них ставим условие
ф" = 0, при любом 0 < r < R. (10)
Из (10) вытекает rp (r) = c = const. Получаем неоднородный шар с законом плотности
Р(r) = c, r
(11)
для которого всюду выполняется условие ф" = 0. Такой шар обладает интересными свойствами (в том смысле, что точек перегиба в нем не существует), и мы рассмотрим его подробнее в разделе "Неоднородный шар...".
Введем важную для дальнейшего вспомогательную функцию /(г), представляющую отношение средней плотности вещества внутри шара-подсистемы радиуса г к плотности на его границе
f = , ^ = МЁ = Jp(12)
V (r)
Здесь К(г) — объем подсистемы. Для шара (11), к примеру, функция/не зависит от г и равна
f =
2
(13)
В разделе "Семейство моделей. " мы докажем, что постоянными функциями / обладает целое семейство сферических моделей.
Вернемся к уравнению (9) и заметим, что кроме рассмотренного случая (10) существует второй, ос-
r
0
r
2
r
0
новной для нас вариант, когда (9) рассматривается как уравнение для отдельной точки г, такой, в которой
ф" = 0,
(14)
однако в окрестности этой точки вторая производная от потенциала изменяет свой знак. В этом случае уравнение (9) принимает вид
М (г) в „ ч —= 2пвр (г) г,
(15)
и масса промежуточного шара становится равной
М (г) = 2пр (г) г3. (16)
С учетом выражения М(г) из (16), имеем соотношение
рМ==3 Р (г).
4 з -пг
3
(17)
Согласно (17), внутри неоднородных шаров точки перегиба потенциала ф(г) (точки локального экстремума силы притяжения) могут — за исключением моделей специального семейства из раздела "Семейство специальных..." — существовать в двух случаях: или (а) в точках разрыва плотности, или (б) только на таком расстоянии от центра г, где плотность р(г) составляет две трети от средней плотности материи внутреннего шара с указанным радиусом:
р (г) = з р или / (г) = з
(18)
|р (г')г '2Сг' = 1 р (г) г3
(19)
Критерий (18) для краткости будем называть далее "критерий трех вторых".
СЕМЕЙСТВО МОДЕЛЕЙ БЕЗ ТОЧЕК ПЕРЕГИБА ПОТЕНЦИАЛА
Однородный шар. Как отмечалось выше, однородный шар — это тот случай, который не описывается уравнением (18). Для него внутренний потенциал (Дубошин, 1961) имеет вид
2:
ф (г) = 2 Пвр (3Я2 - г2),
(20)
и вторая производная внутри шара всюду отрицательна,
ф" = -4 пвр < 0,
(21)
и в нуль нигде не обращается. Поэтому для однородного шара точка перегиба существует лишь на его поверхности, где происходит скачок вторых производных
ф" = р < 0 при г < Я;
■■ М (Я)в п ф" = —4 2 > 0 при г > Я г
(22)
Сила притяжения однородного шара имеет экстремум (максимум) только на поверхности (рис. 1), а введенная выше функция относительной плотности всюду равна / = 1.
Подчеркнем, что однородный шар с дополнительной центральной массой Мвн уже будет иметь точку перегиба потенциала. В этом случае для параметров шара (Мс, Яс), критерий (18) дает точку максимума силы притяжения
= 1 2 Мвн
, , (23)
Яс V Мс
Неоднородный шар с законом плотности
р (г) = с. Рассмотрим шар (11), имеющий характе-г
ристики
р (г) = с; М (г) = 2псг2;
(24)
В другом виде, для нахождения точек перегиба имеем из (18) интегральное уравнение
Ф (г) = 2пвс (2Я - г), с = р5Я.
Хотя в центре шара есть сингулярность плотности, однако его масса и потенциал в любой точке являются конечными величинами. Такой шар интересен тем, что в нем притяжение на любом расстоянии от центра г, включая и точку на поверхности, оказывается одинаковым и равным
скр _ Сг
-2пвр 5Я = еош1.
Уравнение Пуассона (7) выполняется
дф = 2 Сф = _ 2пв р Я, г Сг г
но в любой точке/ = 3 и точек перегиба потенциала в этом шаре нет.
Шар с законом плотности р (г) = С. В таком шаре
г
р = 4, М(г) = 4псг, ф(г) = 4пвс 1п—, (25) г г
и функция / внутри модели оказывается постоянной и равной / = 3. Поэтому точек перегиба потенциала здесь нет. Такой шар часто используется в астрофизике при описании галактик, расположенных внутри изотермического гало.
0
Семейство специальных сферических моделей.
Заметим, что все три рассмотренные выше модели являются частными случаями в обширном семействе моделей шаров со степенным распределением плотности
р = сг , к 0. к <
(26)
Именно для такого закона плотности масса подсистемы и средняя плотность будут так
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.