ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2012, № 1, с. 3-23
УПРАВЛЕНИЕ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ^^^^^^^^ СИСТЕМАХ
УДК 681.511.3
О ТОЧНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ РЕГУЛИРУЕМЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
© 2012 г. Л. С. Гноенский, Е. А. Шишкин
Москва, МГУПИ Поступила в редакцию 19.05.11 г., после доработки 01.07.11 г.
Для линейной стационарной системы с отклоняющимся аргументом получена гарантированная оценка максимальной возможной ошибки воспроизведения входного сигнала и максимального возможного отклонения под влиянием возмущения при неполной информации об их поведении. Используется "комбинированный" подход к анализу точности систем автоматического управления с запаздыванием.
Введение. Линейные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом широко используются как математические модели управляемых систем. В ряде случаев они дают адекватное описание протекающих процессов. В других ситуациях применяются как компактные феноменологические модели. Свойства таких уравнений интенсивно исследовались в течение ряда десятилетий вплоть до настоящего времени [1—4].
Установление асимптотической устойчивости или неустойчивости линейных стационарных систем с постоянным запаздыванием можно произвести [5] с помощью известных частотных критериев, вытекающих из принципа аргумента [6]. Исследование динамических свойств таких систем на заданном конечном интервале времени приближенными вычислительными методами, например разностной схемой Эйлера, не связано [7, 8] с особыми, дополнительными (по сравнению с обыкновенными дифференциальными уравнениями) трудностями. Проблемы возникают при попытке определения или оценки динамических характеристик на "большом" или полубесконечном интервале времени и выяснения характера их зависимости от параметров системы. Существенные трудности имеются и в определении закона управления как линейной комбинации текущих значений сигнала ошибки и некоторого числа производных выходного сигнала, т.е. при решении задачи синтеза. Именно этим вопросам в некоторой конкретной ситуации посвящена работа.
1. Математическая модель. Рассматривается система автоматического управления со структурной схемой на рис. 1. Здесь
п
Ь (р) = X ар а1 = 1, к1 > 0, квки = к > 0, т > 0, х(), уЦ), /(), и()
1 = 1
— соответственно входной сигнал, выходной сигнал, возмущение, управление; кЕ (а значит, и к) — свободные параметры, находящиеся в распоряжении разработчика. Изучается, таким образом, часто встречающаяся в технике замкнутая астатическая система с форсирующей [9] и запаздывающей обратной связью. Схеме на рис. 1 соответствует дифференциальное уравнение
п
к-1 Xа1У1 (0 + ЬУ'(* - т) + У (! - т) = х(/) + /(/). (1.1)
1 = 1
В работе большое внимание уделяется частному случаю, когда Ь (р) = 1. Уравнение (1.1) имеет при этом вид
ау'() + Ьу'( -т) + у ( -т) = х() + /~1/(), а = 1/к.
Далее предполагается, что изучаемые системы до начального момента функционирования t = 0 находятся в состоянии покоя, т.е.
у (!) = 0 при ! < 0. (1.2)
f
'kf/pL(p)
u
ke ku/pL(p)
(bp + 1)e-px
Рис. 1
Поведение входного сигнала х (?) и возмущения / (?) заранее неизвестно. Заданы лишь ограничения
f (t) < /с, X (0) = 0, |x • (t) <
(1.3)
Здесь / (?), х'(?) — кусочно-непрерывные функции, имеющие конечное число точек разрыва на любом конечном интервале времени. Гипотеза неполноты информации о поведении внешних воздействий делает естественным использование следующих точностных показателей качества (ТПК) поведения системы [10, 11]. В режиме стабилизации, когда в (1.3) х(?) = 0 — это интервальный ТПК: максимальное возможное отклонение
у(¿0) = шах|у(?) при ? е [0, д, /(?) < /о (1.4)
?,/(•)
и "глобальный" ТПК
у = lim y( to).
to ^
(1.5)
В режиме слежения, когда в (1.3) / (?) = 0 — интервальный ТПК: максимальная возможная ошибка воспроизведения входного сигнала
6(t0) = max|x(t) - y(t)| при t e [0, t0], x(0) = 0, \x'(t)| < xx
t, X(•)
и "глобальный" ТПК 6 = lim s (t0).
(1.6)
(1.7)
Используя теорему свертки операционного исчисления, можно получить выражения интервальных ТПК системы (1.1)
и
/0
У(t0) = ff J|g(t)\dt, 6(t0) = X! Jg(t)\dt,
00
g(t) = G(p) = pG(p) -, gE(t) = - - G(p)1, • P • P P
(1.8)
О(р) = О(р)Л О(р) = к £ а/+ (Ьр + 1).
1 = 1
Отсюда видно, что
ё (?) = У* (?), ё 6(0 = 1 - у*(0, (1.9)
где у*(0 — решение уравнения (1.1) при /(?) = 0, у (?) = 0 (? < 0), х(?) = 1.
Таким образом, при "не очень больших" значениях ?0 ТПК у (?0), б(?0) могут быть определены вычислительными методами. Ситуация меняется, если изучаемая система функционирует не-
t0 ^
n
определенно долгое время и становится актуальной задача поиска глобальных ТПК y и £; их вычислительными методами найти нельзя. Важно поэтому уметь оценить разность глобального и интервального ТПК. Такая оценка для уравнения первого порядка получена в теореме 4. Теорема 5 позволяет распространить ее на уравнение произвольного порядка (1.1) в предположении, что время переходного процесса в блоке с передаточной функцией (ПФ) 1/L (p) значительно меньше времени запаздывания т. Таким образом, в этой теореме рассматривается система с "относительно большим запаздыванием".
Оценки величин s - s(t0), y - y (t0) экспоненциально убывают не только с ростом t0, но и степени устойчивости — минимума модуля действительной части корней характеристического уравнения асимптотически устойчивой системы [12]. Определение максимальной достижимой степени устойчивости, установление связи степени устойчивости со значениями коэффициента усиления в системе первого порядка проведено в теоремах 1—3.
2. Формулировка результатов. Изложение полученных результатов начнем с исследования достижимой степени устойчивости (см. разд. 1).
Те о р е м а 1. Если в системе нейтрального [2] типа
ay'(t) + by'(t-т) + y(t-т) = x(t) + kfk(t), a = к_1, т> 0, (2.1)
соответствующей структурной схеме на рис. 1 при L(p) = 1, коэффициенты a, b — ее свободные параметры, то максимальная достижимая степень устойчивости определяется выражением
Птах = 2/ Т (2.2)
и реализуется при
a = к-1 = (e2т)/4 - 1.847т, b = 0.25т. (2.3)
Увеличение коэффициента усиления к в схеме на рис. 1 и системе (2.1) позволяет уменьшить влияние на y (t) возмущения f (t) (по крайней мере, в "установившемся" режиме при f (t) = const или f (t) = f0 sin (®t)). Такого увеличения к по сравнению с (2.3) можно достичь, уменьшая требования к реализуемой степени устойчивости по сравнению с (2.2).
Те о р е м а 2. Для любого заданного (при фиксированном т) положительного значения П < Птах на плоскости Г с безразмерными координатами b, и
b = ць, и = к exp (цт)/ц = exp (Т)/а, где Т = цт, а = ца, (2.4)
существует единственная область Гт, каждой точке M (b, и) которой соответствует система (2.1) со степенью устойчивости, не меньшей п. Эта область определяется совокупностью неравенств
и- b <u<u+ b, lb е [b-, lb+], b- = 1 - b-1, b + = 0.5, u-(b) = u-(b) = 1/(1 - b), (b) — единственный относительно неизвестного и корень уравнения
тh + arctg (i-^ - bh) - п = 0, (2.6)
где
(2.5)
h = . Y 1 - bV
Функция u+ (b) обладает следующими свойствами:
u+(b -) = u-(b ) = T < 2, u+(b+) = u-(b+) = 2, (2.7)
и + = max
u+ (b) = u+b) > 2, lim o+ = o>, lim b = 0, (2.8)
b e [b ~,b +] t ^ 0 t ^ 0
U+ (b) (b), (2.9)
т.е. Гf1 с Гт2 при T2 < Т 1.
-1
-0.5
0.5 b
0
Рис. 2
Следствие. Максимальное достижимое в условиях теоремы 2 значение коэффициента усиления к определяется выражением
kmax (П) =Uie(2.10)
и реализуется при b = bT. Для любого п < 2/т
lim kmax (n) = <»• (2.11)
т —^ 0
Если ограничиться лишь требованием асимптотической устойчивости системы (2.1), т.е. считать n ^ 0, то максимальное возможное значение коэффициента усиления
kmax = max к = lim kmax (n) = 1-8197/т• (2.12)
Пе(0.2/т) 0
Оно достигается при
b = 0.2436т. (2.13)
Семейство кривых (5), зависящее от параметра т, и кривая и- (b) представлены на рис. 2.
В табл. 1 также приведены зависимости величины от b и т и, кроме того, зависимости величин и + (b), bT от т.
Те о р е м а 3. Пусть в схеме на рис. 1 L(p) = 1, b = 0, т.е. рассматривается система с "жесткой
запаздывающей" обратной связью
ау' (?) + у (? -т) = х (?) + кгк-/ (?), а = 1/к, (2.14)
где а > 0 — свободный параметр. Тогда максимальная достижимая (при фиксированном т) степень устойчивости
Птах = 1/Т. (2.15)
Таблица 1
х х
и 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
-4 0.201 - - - - - - - -
-3.5 0.228 - - - - - - - -
-3 0.264 - - - - - - - -
-2.5 0.316 - - - - - - - -
-2 0.391 - - - - - - - -
-1.49 0.517 0.402 - - - - - - -
-1 0.748 0.5 - - - - - - -
-0.9 0.822 0.622 - - - - - - -
-0.8 0.915 0.686 - - - - - - -
-0.7 1.03 0.764 - - - - - - -
-0.66 1.084 0.8 0.607 - - - - - -
-0.6 1.178 0.625 0.647 - - - - - -
-0.5 1.374 0.987 0.732 - - - - - -
-0.4 1.649 1.155 0.843 - - - - - -
-0.3 1.652 1.391 0.992 - - - - - -
-0.2 2.428 1.742 1.202 0.876 - - - - -
-0.1 2.746 2.311 1.52 1.075 - - - - -
0 4.072 3.315 2.019 1.379 1.026 - - - -
0.05 7.223 4.025 2.373 1.59 1.14 - - - -
0.1 9.143 4.627 2.783 1.85 1.318 - - - -
0.15 8.053 4.659 3.152 2.154 1.538 1.24 - - -
0.2 6.131 4.21 3.3055 2.454 1.796 1.34 - - -
0.25 4.633 3.674 3.202 2.621 2.054 1.585 - - -
0.3 4.11 3.185 2.957 2.631 2.24 1.838 1.476 - -
0.35 3.413 2.814 2.674 2.513 2.298 2.03 1.74 1.737 -
0.4 2.984 2.515 2.453 2.358 2.247 2.108 1.938 1.933 1.851
0.45 2.483 2.263 2.234 2.201 2.14 2.077 2.016 1.996 1.975
0.49 2.004 2.003 2.003 2.002 2.03 2.019 2.019 1.998 1.997
0.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2
- + и? = тахи 9.1872 4.7283 3.3057 2.6466 2.298 2.1104 2.021 2 2
Ьх 0.0573 0.1262 0.2037 0.2793 0.35 0.4122 0.4667 0.5 0.5
Она реализуется при
а = ет, т.е. к = 0.368/т. (2.16)
Так же, как и в теореме 2, увеличения коэффициента усиления к можно достичь, уменьшая по сравнению с Птах требование к степени устойчивости системы (2.14). Для любого заданного значения п < птах = Vх, т.е. т < 1, при
и? = ехр(х)/а е( 1, и+), т.е. а е (ехр(т)/и+ ,ехр(т)), (2.17)
где — единственный на интервале (1, чД + (п/(2т))2) корень уравнения
и2 - 1) = л/и2 - 1, (2.18)
15 13 11 9 7 5 3 1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.