ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2008, том 422, № 2, с. 182-184
МЕХАНИКА
УДК 539.3
О ВАРИАЦИОННОЙ ПОСТАНОВКЕ ОБРАТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРУГИХ ТЕЛ
© 2008 г. А. О. Ватульян
Представлено академиком В.А. Бабешко 05.02.2008 г. Поступило 17.04.2008 г.
Модель линейной изотропной теории упругости благодаря простому измерению двух упругих постоянных (модуля Юнга и коэффициента Пуассона) на основе макроэкспериментов стала эффективным средством анализа многих проблем не только в механике деформируемого твердого тела, но и в смежных областях (акустике, геофизике) [1]. При исследовании ряда новых проблем поведение деформируемых твердых тел не вписывается в рамки этой модели, что влечет за собой отказ от гипотезы однородности. Отметим, что для практического использования модели неоднородной теории упругости [2] необходимы две функции координат, которые должны быть предварительно определены из некоторых экспериментов или наблюдений, как правило, связанных с измерением граничных полей смещений. Наиболее часто такие функции предполагаются одномерными (особенно при использовании моделей слоя, полупространства или слоистого полупространства), а наиболее распространенным способом их определения является анализ колебаний исследуемого объекта при варьировании способа нагружения, приводящий к исследованию обратных задач теории упругости [3-6]. Заметим, что к коэффициентным обратным задачам теории упругости, в которых требуется определить коэффициенты дифференциальных операторов по информации о граничных полях смещений, приводят несколько различных постановок, что отмечено в обзорной статье [7].
Первый тип - это собственно коэффициентные задачи, в которых необходимо найти модули Ляме (или один из них в рамках моделей несжимаемой среды) и плотность как функции координат по измерению поля смещений на границе [8-11]. Второй тип коэффициентных задач решает проблемы, к которым приводятся геометрические обратные задачи об определении форм полостей или включений. Этот тип задач можно тракто-
Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону
вать как частный случай задач первого типа с кусочно-постоянными модулями и плотностью [4-6, 12-14]. В случае малого характерного размера полостей или включений в стержнях и пластинах коэффициенты дифференциальных операторов отличны от постоянных значений лишь в некоторой малой подобласти исследуемого тела и задачи сводятся к обратным коэффициентным задачам для дифференциальных уравнений второго и четвертого порядка [6]. К третьему типу задач относятся задачи об определении структуры существенно неоднородного предварительного напряженного состояния, которые стали предметом исследования относительно недавно [7, 15].
В настоящей работе предлагается единообразный подход к решению задач первого и второго типа для конечной области на основе некоторого вариационного уравнения.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим установившиеся колебания с частотой ю ограниченной области V с кусочно-гладкой границей 5 = Яи и причем п^ - компоненты единичного вектора внешней нормали к Сформулируем общую постановку коэффициентной обратной задачи об определении неоднородно-стей различного вида в упругом теле по данным частотного зондирования. Требуется определить напряженно-деформированное состояние, модули упругости и плотность как функции координат, удовлетворяющие следующей краевой задаче:
Cj j + рю Ui = 0,
i = 1, 2, 3,
l> \s„
Cij = CijklUk, l, = Cj = Pi,
"■i\Sr
= fi( х,ю), юе[а>1,о>2 ].
(1) (2)
(3)
(4)
Здесь Сщ - компоненты тензора упругих модулей, являющиеся кусочно-непрерывными функциями координат и удовлетворяющие обычным условиям симметрии и положительной определенности, р - плотность. Функции пространствен-
О ВАРИАЦИОННОЙ ПОСТАНОВКЕ
183
ных координат, характеризующие законы изменения модулей упругости и плотности, могут иметь конечное число разрывов первого рода на некоторых поверхностях внутри области V, которые разбивают ее на конечное число подобластей Vm; внутри каждой из этих подобластей функции бесконечно дифференцируемы. В частности, эти функции могут быть кусочно-постоянными (включение) или равны нулю (полость) на некоторых из этих подобластей. Далее такой класс функций будем обозначать Нт(Т).
Отметим, что система (1)-(3) есть постановка смешанной задачи теории упругости для тела известной геометрии с заданными физическими свойствами и достаточно подробно изучена. Дополнительная информация, по которой осуществляется реконструкция неизвестных физических характеристик как функций координат, представляет собой общую информацию о граничных полях смещений, доступных для непосредственного измерения в некотором частотном диапазоне.
Замечание. Отметим, что граничное условие (4) может быть сформулировано на части 5а0 с £а, которая является носителем нагрузки р.
ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНОГО ТОЖДЕСТВА
Ранее в [6, 9] сформулировано соотношение взаимности, которое связывает два различных состояния упругого тела (напряжения, смещения, модули упругости и плотность) при одинаковых условиях нагружения. Осуществим иной подход к проблеме и сформулируем основное тождество, которому удовлетворяют искомые функции.
Введем понятие возможного поля. Возможным полем назовем любое непрерывное в V поле смещений, поле компонент тензора модулей упругости и плотности из Ит(У), которые удовлетворяют уравнениям (1), (2) и граничным условиям (3).
Теорема 1. Для возможного поля выполняется равенство
12Ь(щ, С^к1,р)dV + |рщ^ = 0, иё [ю1,ю2],(5)
V ^
где 2Ь(щ, С т, р) = ри2щщ - СтиК щ] - разность между удвоенными удельными кинетической и потенциальной энергиями.
Теорема 1 легко доказывается путем умножения (1) на и i и интегрированием по V с использованием теоремы Гаусса-Остроградского. В случае и = 0 равенство (5) переходит в известную теорему Клапейрона [1], однако, поскольку работа внешних сил при наличии дополнительного условия (4) известна, то (5) может быть истолковано как некоторое нелинейное операторное уравнение первого рода, связывающее неизвестные и
известные компоненты полей. Это равенство является базовым для формулировки итерационных процессов в обратных задачах различного типа и применимо не только к коэффициентным, но и к геометрическим обратным задачам.
Теорема 2. Для возможных полей справедливо вариационное уравнение
12Ь(щ, 8С^и, 8р)дУ - |р^uidS = 0,
(6)
и ё [и1; и2].
Теорема 2 доказывается путем варьирования уравнения (5) по всем переменным, использованием уравнения (1) и теоремы Гаусса-Остроградского. Отметим попутно, что функционал в (5) не является квадратичным по отношению ко всем полям; он квадратичен относительно полей смещений при фиксированных характеристиках среды и линеен относительно модулей и плотности.
Теорема 3. Компоненты модулей упругости и плотность могут быть найдены из следующего итерационного процесса, основанного на уравнении
\2Ь{Щ"-1), СЦр^-1р(Л - Щ"= 0,
(7)
и ё [и и2].
Теорема (3) следует из теоремы (2); равенство (7) совпадает с приведенным в [7], построенным на основе обобщенной теоремы взаимности. Это равенство служит базовым операторным уравнением первого рода с вполне непрерывным оператором, позволяющим определять поправки к модулям и плотности, начиная с некоторого начального приближения, которое обычно находят на некотором простом подмножестве функций из Hm(V), например, среди линейных [10, 11] или кусочно-постоянных. Отметим, что одного равенства (7) недостаточно для определения всех неизвестных функций. Дополнительные уравнения такого же вида получаются путем изменения места приложения нагрузки и ее структуры.
В случае геометрических обратных задач модули и плотность кусочно-постоянны, что сужает множество поиска. Так, например, при наличии в однородном теле включения V1 с известными характеристиками имеем
| 2Ь(и("-1), р)- |р{(- Щ"-1))dS = 0,
(8)
иё [И1,И2],
где V*""1 = V<l'> / VI" 1); оно легко сводится в интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода в
S
о
V
S
о
S
о
184
ВАТУЛЬЯН
рамках предположения о звездности искомой области [12].
Пример 1. Задача о нахождении закона изменения модуля Юнга и плотности консольного стержня длины I при продольных колебаниях на основании (7) приводит к следующему уравнению:
I
|((и"-1)(х, и))')2Е{"\х)дх-
0
I
-и2|(и"-1)(х, и))2р("\х)дх =
0
= -Р (/ (и) - и"-1)( I, и)) , (9)
и = [И1,И2 ] ,
Пример 2. Задача о нахождении характеристик полости малого характерного размера. Соотношение (7) позволяет оценить его объем V1 и координаты центра на основе равенства
2Ь(и(0), Ст,р) Vi- [Р1 (I - и(0))dS = 0,
1 S (10)
иё [И1,И2 ],
где и(0) - поле смещений в теле без полости.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 05-01-00734.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
2. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд. МГУ, 1976.
3. Яхно В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск: Наука, 1990. 304 с.
4. Bui H.D. Inverse Problems in the Mechanics of Materials: An Introduction. Boca Raton (Fl-a): CRC Press, 1994. 224 p.
5. Isakov V. Inverse Problems for PDE. B.: Springer, 2005. 284 p.
6. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007. 224 с.
7. Ватульян А.О. // Вестн. Самар. гос-та. Естеств. науки. 2007. № 4 (54). С. 93-103.
8. Oberai A.A., Gokhale N.H., Feijoo G.R. // Inverse Problems. 2003. № 19. P. 297-313.
9. Ватульян А.О. // ДАН. 2005. Т. 405. № 3. С. 343345.
10. Ватульян А.О., Сатуновский П С. // ДАН. 2007. Т. 414. № 1. С. 36-38.
11. Ватульян А.О, Соловьев А Н. // Экол. вестн. науч. центров ЧЭС. 2006. № 1. С. 23-29.
12. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987. 311 с.
13. Ватульян А.О., Коренский С.А. // ДАН. 1995. Т. 334. № 6. С. 753-755.
14. Guzina B.B, Nintcheu S.F., Bonnet M. // Intern. J. Solids Struct. 2003. V. 40. № 6. P. 1505-23.
15. Ватульян А.О. Экол. вестн. науч. центров ЧЭС. 2006. № 2. С. 23-25.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.