ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2013, том 53, № 8, с. 1356-1359
УДК 519.634+517.958
О ВКЛЮЧЕНИИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В СИСТЕМЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ^
© 2013 г. С. К. Годунов
(630090 Новосибирск, ул. Коптюга, 4, Ин-т матем. СО РАН) e-mail: godunov@math.nsc.ru Поступила в редакцию 18.03.2013 г.
Уравнения Максвелла, релятивистские инвариантные уравнения, основы разностных схем.
Библ. 6.
Ключевые слова: закон сохранения, термодинамика, инварианты Лоренца, гиперболические
уравнения, моделирование гравитации.
DOI: 10.7868/S0044466913080073
Настоящая заметка посвящена изложению соображений, возникших у автора после публикации его статьи (см. [1]) и ее сравнении с лекцией (см. [2]), прочитанной на конференции в Лионе. Эта лекция была основана на моей с соавторами работе [3].
Работа [1] была посвящена дополнению уравнений релятивистской гидродинамики заряженного жидкого диэлектрика уравнениями Максвелла для вызванного этим зарядом электромагнитного поля. При этом основное внимание было уделено преодолению трудностей, связанных с релятивистски инвариантным включением параметров ц, б, зависящих от гидродинамических величин, в частности от скорости. Исследование состояло в развитии классической работы [4] Минковского и основывалось на использовании квадратичного по Bi, Ek лоренцинварианта W(E, B, ц, б), с помощью которого система Максвелла записывается в виде
dFik + dFja + Щ, = 0
I I k 9
dx dx dx
—и + J = 0
xk
через элементы следующих матриц (i, k = 0, 1, 2, 3):
( \ (
Fik =
0 —Ei —E2 —E3 E1 0 B3 -B2 E2 -B3 0 B1 E3 B2 -B1 0
, Gk =
-WE3
Wb3 -WB2
0 WBi
-Wb, 0
При этом элементы Ы'к тензора максвелловских натяжений оказываются следующими билинейными формами от Е, Вк и , Жв :
М00 = 2 [ВкЖБк - ЕкЖБк],
Работа выполнена по плану фундаментальных исследований Отделения Математики РАН на 2013 г.
2
О ВКЛЮЧЕНИИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В СИСТЕМЫ
1357
Ми = 1 [В^ - В2ЖЩ - Вз - Е^ + Е^ + Е3ЖЕ}], И22 = 2[-В1ЖВ1 + В2Жв2 - ВзЖвг + Е^е, - Е^ + Е,^], ИП = 2 [-В1 WBi - В2 Жв2 + Вз ЖВъ + Е^е, + Е^ - Е, ^ ],
И)к = В;Жв, - В^в,, И10 = Е;Жв, - В1ЖЕ,,
И = ВкЖЕ, - Е ¡ЖВк, I Ф к Ф I ф I, и к, I = 1, 2, 3.
Очевидно, что если в описанной конструкции мы заменим квадратичную форму Ж любой гладкой функцией /(Ж) от нее, то вся наша конструкция не изменится, если не считать того, что
вместо ЖЕ , Жв , мы должны будем писать ЖЕ , , также как вместо максвелловских натя-
жений М'к использовать /№Ик. Конечно, от выбора той или иной функции /(Ж) будет зависеть корректность задачи Коши для написанной системы уравнений. Использование при написании уравнений Максвелла функции /(Ж) совершенно аналогично использованию уравнения состояния Е = Е( V, в уравнениях гидродинамики. Я не настаиваю на необходимости использования предлагаемого здесь обобщения уравнений Максвелла в каких-либо современных задачах математической физики. Возможно, эти обобщения окажутся полезными при моделировании ферромагнетизма, пара- и диамагнетиков, если включить в число аргументов функции / не только квадратичную форму Ж, но еще и некоторые другие скалярные параметры.
Для меня изложенные соображения разъяснили причину ситуации, показавшейся мне парадоксальной. У меня вызвало удивление, что в размышлениях, приведших к конструкции, описанной в [1], пришлось ограничиться только квадратичными инвариантами Ж Это обстоятельство не согласовывалось с моим предыдущим опытом конструирования расчетных моделей для уравнений механики сплошных сред (гидродинамика, теория упругости).
После публикации статьи [1], я продолжал обдумывать поднятые в ней вопросы и у меня возникли некоторые сомнения в рекомендациях, которым посвящены заключительные две страницы. Там была выписана симметрическая гиперболическая система (3.16) для неизвестных Е, Нк = ]¥Вк, которую предлагалось рассматривать одновременно с симметрическими
гиперболическими уравнениями гидродинамики. После этого была отмечена необходимость после решения этих уравнений убедиться в справедливости некоторых дополнительных равенств, совместных с решаемыми уравнениями. Среди этих равенств, в частности, находится равенство ёгу В = 0. В большом числе современных расчетов уравнений Максвелла и упрощающих их уравнений магнитной гидродинамики на соблюдение указанного равенства приходится обращать серьезное внимание, использовать дополнительные корректировки (см. [5]). В частности, такой коррекции была посвящена и работа [3] о наших расчетных экспериментах по уравнениям Максвелла (наши соавторы экспериментировали с уравнениями акустики и теории упругости). Основываясь на этой работе и на ряде других аналогичных предложений, описанных в [4, с. 416—418], мне показалось естественным рекомендовать разработку численных методов не на упомянутых выше уравнениях (3.16) из [1], а на следующем классическом варианте уравнений Максвелла:
— + grad Ф = Е,
дг ё
ддФ + div А = 0,
дг (1)
В = гЛА,
—Е + гс1Жв = ].
д г
Эти уравнения должны решаться одновременно с гидродинамическими уравнениями (см. [1, с. 799]), так как ЖЕ, ЖВ выражаются не только через Е, Вк, но и через переменные из гид-
1358 ГОДУНОВ
родинамических уравнений. Надо, правда, отметить, что в [3] при написании системы (4) была
допущена некоторая вольность — единичный коэффициент при — во второй строчке был заме-
д?
нен на т. Тогда мы не обратили внимания на то, что при этом система (4) перестает быть Лорен-ца-инвариантной и надеялись, что при конструировании расчетного алгоритма его можно сделать более эффективным за счет подбора т (в оригинальной публикации [2] текста доклада этой вольности с коэффициентом т нет).
Мне представляется интересным экспериментальное изучение алгоритмов для систем, составленных из уравнений (1) и из гидродинамических уравнений, в которых определяется ток 5, стоящий в правой части последней строки из (1). При этом пристальное внимание следует уделить анализу скорости сходимости результата к некоторому пределу при переходе к более детальным дискретизациям. Мой возраст не дает мне права надеяться на то, что мне удастся осуществить такую экспериментальную проверку и сделать из нее выводы, в том числе и о корректности постановки соответствующей задачи Коши.
Остановлюсь еще на одном соображении. возникшем во время конструирования расширенной системы из [1].
Гидродинамические уравнения в [1] основаны на использовании термодинамического потенциала Ь = г, 0), где q = (и0)2 — (и1)2 — (и2)2 — (и3)2 — релятивистский инвариант, моделирующий квадрат скорости, г — заряд, 0 — температура. Через Ь и q выражаются давление и внутренняя энергия:
р = Ь, е+р = 2.
К классическим скоростям V1, V2, V3 трехмерного пространства мы переходим с помощью формул
0 1 1 и 11
^-иаиа л/1 - ( V1 )2 - ( V2)2 - ( V3)2 л/1 - IV2
,]-иаиа л/1 - IV2
V I = 1, 2, 3.
Полагая Та = (иаЬ)ив, мы конструируем тензор энергии импульса, удовлетворяющий уравнениям
д Та _
дхв ' ,
в правой части которых стоят компоненты вектора-силы Лоренца, которым описывается влияние на гидродинамику электромагнитного поля.
Законы сохранения заряда и энтропии
д ( и^Ьг) _ 0 д ( иЬ) _ 0
ли, ли
дх дх
и закон сохранения инертной массы
д
и (2дЬ„ + гЬг + 0Ь0) = 0,
ли. ^
дх
после введения естественных обозначений принимает вид
рЛ^ + _5
(
р У Я
дХ 71 - IV дх V1 - м
_ 0,
О ВКЛЮЧЕНИИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В СИСТЕМЫ
1359
Р S
dx
p vk S
•Vi - iv2
= 0,
dx° л/т^ъ
+
dx
_pv_
•Vi - iv2
= 0.
Входящие в закон сохранения заряда выражения
J = pr , jk =
Vi - iv2
p vk R
Vi - iv2
являются компонентами вектора тока, входящими в правую часть уравнений Максвелла, по решениям которых строится лоренцева сила с компонентами/а, сила, управляющая гидродинамическим потоком.
Мне представляется естественным сконструировать еще один вектор тока •/" по закону сохранения инертной массы:
J =
Vi - iv2
k
J = ~ev.
Л-
v
и использовать его в качестве правой части в еще одном (дополнительном) варианте уравнений
Максвелла. Вектор же /а силы Лоренца, сконструированный по решению этих дополнительных уравнений, естественно добавить к силе Лоренца, вызванной электромагнитным полем, и представить закон сохранения энергии импульса в виде
дТв _ /
а = /а + /а.
д/
Мне представляется, что схематически описанная здесь конструкция может быть использована для моделирования гравитационного взаимодействия, моделирования совершенно аналогичного моделированию взаимодействий электродинамических. К сожалению, я сейчас не имею возможности углубиться в детальный анализ поставленной здесь задачи. Я рассказал об этой постановке на одном из семинаров в ИПМ РАН им. М.В. Келдыша, после чего Ю.Н. Орлов обратил мое внимание на работу [6], где описывается аналогичная, хотя и несколько более сложная конструкция. В этой работе обсуждается гипотеза, что источником гравитационного поля является универсальный сохраняющийся тензор энергии импульса материи. Схема, предлагаемая в описанной выше конструкции, основана на использовании источника в виде потока массы, который через аналог уравнений Максвелла приводит к аналогичному силам Лоренца воздействию на тензор энергии импульса.
2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Годунов С.К. Термодинамическая формализация уравнений гидродинамики заряженного диэлектрика в электромагнитном поле // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т. 52. № 5. С. 916—929.
2. Godunov S.K. On approximation for overdetermined hyperbolic equations. Hyperbolic problems: Theory. Muerics. Applications. 2008. Springer, D. Serre, S. Benzoni — Gavade — ed. P. 19—33.
3. Бабий Д.П., Годунов С.Л., Жуков В.Г., Феодоритова О.Б. О разностных аппроксимациях переопределенных классических уравнениях классической физики // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 3. С. 445-459.
4. MinkovwskiH. Die Grundgltichungen fur die elektronignetischen Vorgange in bewegten Körpern (1902). Nachrichten von den Gasellshaft der Wissenschuften zu Gottigen. Math. — Phys. Klasse. 1908. P. 53-111.
5. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболического уравнен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.