ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ И МЕТАЛЛОВЕДЕНИЕ, 2014, том 115, № 5, с. 451-454
ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
УДК 537.226.2.001
О ВЛИЯНИИ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫХ ЭФФЕКТОВ НА ОПТИЧЕСКОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ МЕТАЛЛИЧЕСКОГО КОМПОЗИТА
© 2014 г. А. В. Коротун
Запорожский национальный технический университет, 69063 Запорожье, ул. Жуковского, 64, Украина
e-mail: andko@zntu.edu.ua Поступила в редакцию 15.03.2013 г.
В рамках классической теории Максвелл—Гарнетт исследованы оптические свойства ансамбля металлических наночастиц в диэлектрической матрице. Для оценки квантовых эффектов использовано аналитическое выражении для диэлектрической функции металлической частицы-параллелепипеда, полученное в модели свободных электронов и потенциальной ямы бесконечной глубины. Рассчитан коэффициент поглощения для композитов с частицами разных металлов в различных матрицах.
Ключевые слова: композит, наночастица, диэлектрическая функция, поглощение. DOI: 10.7868/S0015323014020120
ВВЕДЕНИЕ
При создании композитных материалов используется несущая среда и внедренные в нее металлические частицы [2].
Ранее был проведен ряд экспериментальных исследований [3—12], направленных на определение электромагнитных свойств сред, содержащих малые проводящие частицы. В работах [4, 8] измерены коэффициенты поглощения ряда монодисперсных систем частиц А1, А1203, Л§, Рё и Аи в диэлектрических матрицах (нанокомпозитов) с различным значением коэффициента заполнения. Поскольку частицы были достаточно большими, то для объяснения экспериментальных результатов использовалась классическая электродинамика и полуэмпирические модели с применением подгоночных параметров [4, 8, 13]. Однако при описании взаимодействия излучения с нанодисперсными системами необходимо учитывать дискретность энергетических уровней электронов проводимости в металлических включениях [14].
Целью данной работы является теоретическое исследование роли эффектов размерного квантования в оптическом поглощении ансамбля металлических наночастиц, находящемся в немагнитной диэлектрической матрице.
ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
Исходной точкой наших расчетов является хорошо известный результат Максвелл—Гарнетт [15] для диэлектрической е с и магнитной ц с постоянных разреженной системы проводящих частиц:
где
1 + 2Zel
1 - Zel
Цо =
1 + 2Zm
1 - Zm
(1)
Zel =ß ^ • Zmag =ß ^ ( - 1) e + 2 30
(2)
и в — коэффициент заполнения объема ^ частицами числом N так что 3Ze1E/4п и 3ZmagH/4п — это, соответственно, электрический и магнитный ди-польный моменты металлических частиц в единице объема "композита" (р = (И/0)(4яД3/з) ^ 1, к — эффективный радиус частицы; Е и Н — напряженности электрического и магнитного полей).
Диэлектрические свойства немагнитной матрицы для разреженной системы частиц могут быть представлены [16] с помощью соотношения:
3 (е - ет ) е.
eC = em +■
Lß-
(3)
2е т + е
После алгебраических преобразований с учетом частотной дисперсии (замене диэлектрической постоянной частицы ее комплексной диэлектрической функцией е = Яе е + /1т е = е1 + /е 2) выражения для действительной и мнимой частей диэлектрической и магнитной функций композита принимают вид:
Re er = e„
3ße1em (2em + e1) + eme2
(2em + e1)2 + e2
O
; (4)
Im e = 3ße2em [(2em + e1) - eme2 ] C (2em + e^2 + e2
■O (ß2 ). (5)
При расчетах будем считать, что диэлектрическая проницаемость среды е т является действительной величиной и не зависит от частоты. Это справедливо для дальней инфракрасной области спектра.
п (ю) = — Т^л/ёСЙС
(6)
Коэффициент поглощения
2ю1 с
определяет ослабление интенсивности 10 электромагнитной волны (I = 10е-^), которая проходит через слой композита толщиной й.
КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ ЭФФЕКТЫ
Для оценки роли квантово-размерных эффектов в оптическом поглощении композита, как и в работе [17], рассмотрим модельный случай частиц-параллелепипедов. Будем считать, что электроны проводимости заключены в потенциальном ящике, форма которого совпадает с формой частицы. Меньший размер Ь ящика по порядку величины сравним с фермиевской длиной волны в полубесконечном металле (X Р = 0.5 нм), а два других размера ящика намного больше Ь. Размерно-зависящую энергию Ферми частицы бр (Ь) определяем путем подсчета числа занятых электронных состояний в частице с учетом размерного квантования [17—19].
В работе [18, 19] исследован отклик 2Б- и 1.0-электронных систем на падающую плоскую монохроматическую волну Е = Е0 е'(ч'г-ш'), которая рассматривается как возмущение, и рассчитаны соответствующие диэлектрические функции.
Упрощая полученный в [18] результат, для случая бесконечно глубокого потенциального ящика, получаем:
«, = 1 + (4)'Ь,2 = (4ГЬ(7)
П а0
П а0 х
= X- :
т=1
X
=1+-1,
где т 0 — время свободного пробега в 3.0-металле; т ^ — время релаксации, обусловленное рассеянием на поверхности.
Для сферических частиц в литературе [20, 21] для определения второго слагаемого, как правило, используют выражение
1 = , Я
(10)
т,
т 2 {1 - (-1)т+т} {{ - т2)2 + х2 + Г2} (8)
^^ »2 2 3 (/ »2 2 2 2 2\2 2 2)
>'=1(т - т ) <((т - т ) - х +Г ) + 4х Г }
где а0 — боровский радиус; х = ю/юЬ; ©Ь = = п2Й(2теЬ)-1; = = Ь(2теб р )1/2/(пй); Г = (©¿Тещ-1-ширина линии; т ей- — эффективное время релаксации; тР — номер верхнего заполненного уровня размерного квантования, соответствующий поверхности Ферми; т и т' — номера уровней, между которыми происходят переходы.
В рамках диффузионного приближения эффективная частота столкновений электронов в частице может быть записана как
где V Р — скорость фермиевских электронов в 3Б-металле; . — эффективный параметр, описывающий степень потери когерентности.
Используя выражения (4)—(8), оценим поглощение ансамбля монодисперсных металлических наночастиц в диэлектрической матрице. В полидисперсных системах за счет усреднения по размерам частиц квантовые эффекты могут не проявляться.
РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Для оценки роли размерных эффектов в поглощении нанокомпозита использовались формулы (4)—(8). Предполагалось, что частицы включения имеют форму параллелепипеда с меньшим характерным размером Ь = Я (здесь Я — радиус "эквивалентной" сферической частицы, для которой справедлива теория МГ*). Поскольку форма частиц несферическая, расчеты в этой комбинированной модели следует рассматривать как оценку роли квантования на поглощения в композитах.
Согласно экспериментальным данным для А§ [22, 23] значения 0.1 < . < 0.7. Поэтому целесообразно рассмотреть влияние этого параметра на поглощение электромагнитного излучения композитом. На рис. 1 приведены рассчитанные частотные зависимости п для системы монодисперсных частиц Ре и Си в полиэтилене для различных значений параметра потери когерентности . в формуле (10). Так, для частиц Ре осцилляции коэффициента поглощения не проявляются для любого тогда как для частиц Си осцилляции имеют место при . < 0.1. С увеличением . размерные осцилляции подавляются. Интересно отметить, что учет размерной зависимости скорости Ферми не приводит до существенных изменений в зависимости п (ю) при характерном размере Ь = 4 нм.
На рис. 2 приведены результаты вычислений для системы малых частиц А§ в тефлоне (ет = 2.1). Характерной особенностью зависимости п (ю) является наличие пиков, обусловленных переходами электронов между уровнями размерного квантования. В частотной зависимости следует отметить наличие максимума на частоте
(9)
* Максвелл, Гарнет.
О ВЛИЯНИИ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫХ ЭФФЕКТОВ
453
10
(а)
0 20
15
Т %
° 10
(б)
Йю, эВ
Рис. 1. Частотные зависимости коэффициента поглощения п для частиц Fe (а) и Си (б) в полиэтиленовой
матрице при различных значениях потери когерентности.
параметра
100
50
0 0.5 1.0
Йю, эВ
Рис. 2. Частотные зависимости коэффициента поглощения п композитов с различным размером включений Ag в тефлоне (ет = 2.1).
2 -
Йютах = ЙюЬ (2тР - 1). Размерный эффект проявляется в изменении количества пиков, расстояний между ними и их положения. С увеличением размера частиц пики смещаются влево, расстояние между ними уменьшается, и они сливаются друг с другом. Так, при Ь = 3 нм величина расстояние между пиками значительно меньше, чем при Ь = 2 нм, а для Ь = 4 нм пики практически сливаются.
Влияние матрицы сводится к сдвигу всей кривой п (ю) в ет2 раз при сохранении характера частотной зависимости.
Согласно с недавними исследованиями [24, 25] было установлено, что параметр М является раз-мернозависящим. В частности, в работе [25] для эллипсоидальных и сферических частиц в вакууме было получено точное выражение для определения
Йю, эВ
Рис. 3. Частотные зависимости коэффициента поглощения для частиц Си в полиэтилене с размернозави-сящим
коэффициента М. Используя это выражение второе слагаемое в (9) может быть представлено в виде:
1 = Хе т, " 4Я
(
ю „
/1 о Ч ' (И)
V (1 + 2ет )ю)
где юр = 4тсле2/те — квадрат плазменной частоты;
п = (4лг//3)-1 — концентрация электронов; г, — среднее расстояние между электронами (для трехвалентного А1, одновалентных Ag и Ли в боровских радиусах г, = 2.03, 3.02 и 3.01 соответственно).
На рис. 3 приведены расчетные частотные зависимости коэффициента поглощения малых частиц Си в полиэтилене с использованием формулы (11). Фактически ее применение соответствует кривой
5
1
2
6
4
5
0
1
2
0
1
2
на рис. 1б для M= 0.5. Характерным отличием в этих зависимостях п (ш) на рис. 3 и 1б является проявление слабых осцилляций при больших частотах. На рис. 1б эти осцилляции появляются только при M < 0.1. Несмотря на это следует отметить достаточно хорошую работоспособность формулы (10).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе в рамках теории Максвелл—Гарнетт исследовано влияние размерного квантования на поглощение электромагнитного излучения разреженным ансамблем металлических наночастиц в диэлектрической среде. Для этого в расчетах коэффициента поглощения была использована диэлектрическая функция частицы в форме параллелепипеда, одно из ребер которого порядка фер-миевской длины волны электронов. Исследована роль параметра потери когерентности в поглощении электромагнитного излучения нанокомпози-том. Установлено, что с уменьшением его величины на частотных зависимостях поглощения
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.