МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 4 • 2009
УДК 539.3:534.1
© 2009 г. Н.С. КОРЕШКОВА, В.Е. ХРОМАТОВ
О ВЛИЯНИИ ПОПЕРЕЧНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА СПЕКТРЫ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
При проектировании электрических машин, аппаратов, несущих конструкций плазменных генераторов возникает необходимость исследования влияния магнитных полей на спектры частот колебаний тонкостенных элементов. Основные уравнения магнитоупругих колебаний пластин и оболочек приведены в [1], где также исследовано и влияние магнитного поля на основные частоты и формы колебаний. Для исследования высших частот и форм колебаний пластин и оболочек весьма эффективным является асимптотический метод Болотина (АМБ) [2—4]. Обзор исследований по применению АМБ к задачам колебаний и устойчивости упругих систем дан в [5, 6]. На основе АМБ были получены оценки для плотности собственных частот колебаний пологих оболочек [3] и исследовано влияние безмоментно-го напряженного состояния на распределение частот колебаний цилиндрических и сферических оболочек [7, 8]. Аналогично и влияние продольного магнитного поля на распределение частот колебаний пластин и оболочек [9, 10]. Установлено снижение частот колебаний цилиндрических оболочек под действием продольного магнитного поля и смещение точки сгущения собственных частот в область более низких частот [10]. В данной работе исследовано влияние поперечного магнитного поля на распределение собственных частот пологих цилиндрических и сферических оболочек, получены асимптотические оценки для плотности собственных частот колебаний оболочек, проведено сопоставление с эмпирическими результатами численного эксперимента.
Ключевые слова: колебания оболочек, магнитоупругость, распределение собственных частот.
1. Основные уравнения. Рассмотрим колебания пологой оболочки в поперечном магнитном поле. Отнесем срединную поверхность оболочки к криволинейной ортогональной системе координат х1, х2. Оболочка изготовлена из материала с конечной электропроводностью и находится в стационарном магнитном поле с заданным вектором напряженности Н(0, 0, Н3).
Упругие и электромагнитные свойства материала оболочки характеризуются модулем упругости Е, коэффициентом Пуассона V, плостностью р, магнитной проницаемостью ц, диэлектрической проницаемостью е. Считается, что все приведенные выше величины не зависят от координат, времени и электромагнитного поля [1].
Примем следующие предположения. Справедлива гипотеза Кирхгофа о недефор-мируемых нормалях. Тангенциальные компоненты вектора напряженности возбуждаемого электрического поля и нормальная компонента вектора напряженности возбуждаемого магнитного поля по толщине оболочки остаются неизменными. Нормальными напряжениями на площадках, параллельных срединной поверхности
оболочки, можно пренебречь. В силу принятых предположений уравнения колебаний оболочки, записанные для преимущественно изгибных форм колебаний, будут иметь вид [1]
DAAw - Akx + h ( Ц 1 ) H]Dw - ph Q2w = 0 8 яц
Ak = 1 ^ + 1 ^
k л . 1 л 2
x2
2
— AAX + AkW = 0, Eh
(1.1)
R2 d*2 Ri dx2
Здесь и далее А — оператор Лапласа на срединной поверхности, м? — форма нормального прогиба, х — форма функции усилий в срединной поверхности оболочки, В — цилиндрическая жесткость, к — толщина оболочки, Н3 — соответствующая компонента вектора напряженности в поперечном направлении, О — частота собственных колебаний оболочки, Ак — оператор Власова, Я1 и Я2 — радиусы кривизны срединной поверхности оболочки в направлениях х1 и х2 соответственно.
Введем характерное волновое число к0 и характерную частоту О.Я, а также безраз-
мерные параметры:
4 Eh k0 = —2, DR2 О2 = qr = E p r2 ' £i = k0 xi > £2 = k0 x2, u = k 0 w
Ri k0 ф = lu 0 X, Eh ю= О qr ' e = N 1 N* |' N= h( ц - i)h], n 8 яц
Eh
rJ3 (1 - V2)
X = R2,
Ri
Ak =
5_ + X
d £2 d£
где Ak — оператор Власова в безразмерном виде.
После перехода к безразмерным переменным уравнения (1.1) примут вид
— 2
AAu - Akф + 2pAu - ю u = 0
AA9 + Aku = 0
Решение системы уравнений (1.2) ищем в виде u = Usin (Ki^i) sin (K2 £2 ) , ф = Ф sin (к^) sin (к 2 £,2 )
(1.2)
(1.3)
где к1, к2 — безразмерные волновые числа.
Подставляя (1.3) в (1.2), получим выражение для безразмерных собственных частот колебаний пологой оболочки
ю2 = (к2 + к2)2 - 2р« + к2) +
2 . ..2) , (К? + Хк2)2
г 2 2^2 (к! + к2)
(1.4)
2. Колебания цилиндрической и сферической оболочки. В случае цилиндрической оболочки Я1 = да, Я2 = Я (к = 0) выражение для безразмерных собственных частот колебаний (1.4) принимает следующий вид:
2 í 2 2Ч2 2 2Ч 4 и 2 2Ч2
ю = (к + к 2 ) - 2 р(к i + к 2 ) + к i / (к + к 2 )
(2.1)
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
1 ■ 104 2 ■ 104 3 ■ 104 4 ■ 104 И,
Фиг. 1
Для шарнирно опертой цилиндрической оболочки имеем
1 m п
Ki =--,
ko I
1 n
K2 ---,
2 ko R
где m и n — числа полуволн в продольном и окружном направлениях соответственно.
Расчет собственных частот производился для шарнирно опертой по торцам цилиндрической оболочки с параметрами h/R = 4 • 10-3, l/R = 2, р = 7.8 • 103 кг/м3, E = 2 • 1011 И/м2. На фиг. 1 представлены зависимости безразмерных частот rnmn круговой цилиндрической оболочки от значения напряженности магнитного поля И3 для различных форм колебаний оболочки. Кривая 1 соответствует форме колебаний с образованием одной полуволны (m = 1) вдоль образующей оболочки по x1 и пяти полуволн (n = 5) в окружном направлении. Кривые 2—5 соответственно n = 6—9 — полуволн по окружной координате. Для цилиндрической оболочки с вышеприведенными параметрами ю17 — минимальная частота при m = 1, n = 7. Как видно из построенных графиков, магнитное поле понижает собственные частоты колебаний круговой цилиндрической оболочки.
Установлено, что при определенных значениях напряженности магнитного поля И3 собственные частоты колебаний оболочки с определенными длинами полуволн равны нулю. В выражении для собственных частот (2.1), приняв ю = 0, получим соотношение для напряженности поперечного магнитного поля, при котором оболочка теряет статическую устойчивость
4 п [ Eh
^h(j - 1) Rj 3 (1 - v2)
22 (K1 + K2) +
K
, 2 2.3
(K1 + K2) .
(2.2)
w
4
Для сферической оболочки Я1 = Я2 = Я (к = 1) выражение для безразмерных собственных частот колебаний (1.4) принимает следующий вид:
ю2 = (к2 + к2)2 - 2р(к1 + к2) + 1
(2.3)
Приняв в (2.3) ю = 0, можно также получить выражение для напряженности поперечного магнитного поля, при котором оболочка теряет статическую устойчивость
H30 =
4 п [i Eh
lh([ - 1)Rj3(1 - v2)
22 (к1 + к2) +
1
22 (к1 + к2>
(2.4)
3. Плотность собственных частот колебаний. Пусть средняя плотность собственных частот достаточно высока, а частоты собственных колебаний пологой оболочки могут быть определены по формуле (1.4). Будем оценивать число частот, меньших некоторого заданного значения, по формуле [3, 4]
N(ю)
1
Ак1 Дк2
J J йк1йк2
(3.1)
22
Введем новые координаты г2 = к1 + к2 , tg0 = к2/к1 и преобразуем формулу (1.4) к
следующему виду
ю2 = г - 2рr2 + (cos20 + Xsin20)2 После интегрирования по r из (3.1) получаем
N(ю) =
1
Ак1 Ак2
■е220) 2 012(®) 2
r2 (0)
d0 -
rí(0)
d0
L021(®)
0И(®)
r2 1 (0) = p ± Vp2 + ю2 - (cos20 + Xsin20)2
(3.2)
(3.3)
(3.4)
Дифференцируя М(ю) по параметру ю, получаем выражение для асимптотической плотности собственных частот колебаний пологой оболочки
n (ю) =
1
2Ак1 Дк2
■022(®) 2 Г ^ d0 - Г
J dю J
012(®) 2
dr2(0)d0 + d^ií^)r2 ( 022) -
dю
dю
L021(®)
0U(®)
(3.5)
d021(ю)r2(021) - r1(021) + r2(011)
d ю
d ю
d ю
Пределы интегрирования 921(ю), 922(ю) и 9п(ю), 912(ю) определяются из условия неотрицательности для rx 2(0) > 0 и подкоренного выражения в (3.4). Вид области интегрирования на плоскости волновых чисел кь к2 зависит от соотношения между параметрами в и ю. Заметим, что внеинтегральные члены либо обращаются в нуль, либо сокращаются.
2
Для цилиндрической оболочки (А, = 0) пределы интегрирования для r2(0) при ю > 1 будут 921 = 0, 922 = п/2. При Jl - р2 < ю < 1 пределы для r2(0) будут 911 = 0, 912 = arceos V®. Для r2(0) соответственно имеем 921 = 0, 922 = п/2. При 0 < ю <
< V1 — р2 для г\(0) получаем пределы интегрирования 9И = агеео8Ур
012
2 2 + Ю ,
агеео8 /
агеео8 ^Р2 + ю2 , 022 = я/2.
л/Ю , а для Г2(0) будем иметь 021 = агеео^^ + ш , «22
Выражая интегралы в (3.5) через полные и неполные эллиптические интегралы первого рода, получаем формулу для асимптотической плотности частот колебаний цилиндрической оболочки
п ( О ) =
Пс
2
пТ7р
2 я
Ю
2 2 „2 2 + Ю + в + Ю
Ю
Сл/Тр
2 2 „2 2 + Ю + р + Ю
Ю
л/7р
Д Л), Ю> 1
(2 Д к) - Д к, ф1)), л/1 - р2 <Ю< 1 ( 2 Д к,Ф2) - Д к,Ф1)), 0 <ю^л/^"р"2
2 2 „2 2 + Ю + в + Ю
(3.6)
к =
'1 + л/р
22 +Ю
Ф1 = аге81п
ю( 1 + + Ю2)
Ю + л/р2 + Ю2
Ф2 = агс81п
1 + Ур 2 + ю 2 V 2
где пс — плотность частот колебаний пластины со сторонами al, a2 (плотность Куранта). Для замкнутой оболочки, если кратные частоты засчитываются по одному разу, следует принять, что a1 = I, a2 = пК:
аа
12
1рН
с 4 п V О
Для сферической оболочки (к = 1) пределы интегрирования для г2 (0) при ю > 1 будут 021 = 0, 022 = п/2. При л/ 1 - р2 < ю < 1 пределы для ^(0) будут 9П = 0, 012 = п/2. Для г2(0) соответственно имеем 021 = 0, 022 = п/2. При 0 < ю < дУ 1 - р2 не существует
действительных значений ^(0) и ^(0) .
Для асимптотической плотности частот колебаний сферической оболочки будем иметь: Ю
п ( О ) п
л/р2 + Ю2 - 1
Ю> 1
Ю
л/р2 + Ю2 - 1
, УТ^р
- р < Ю < 1
(3.7)
0, 0 <Ю^ 1 - р2
Результаты вычислений плотности частот колебаний цилиндрической оболочки в поперечном магнитном поле по формуле (3.6) представлены на фиг. 2. Для расчета
Фиг. 2 Фиг. 3
взята шарнирно опертая цилиндрическая оболочка с параметрами h/R = 4 • 10-3, l/R = 2, р = 7.8 • 103 кг/м3, E = 2 • 1011 Н/м2.
При отсутствии магнитного поля цилиндрическая оболочка имеет асимптотическую точку сгущения частот при ю = 1, которая соответствует безмоментной частоте
2
колебаний оболочки Q.R = E/(pR2) (см. кривую I на фиг. 2) [3, 4]. При действии поперечного магнитного поля на оболочку асимптотическая точка сгущения собственных
частот смещается к началу
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.