ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2013, том 39, № 12, с. 934-941
УДК 524.3-17,3-43
О ВЛИЯНИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА АККРЕЦИРУЮЩЕГО ВЕЩЕСТВА НА СТРУКТУРУ ТЕЧЕНИЯ В РЕЖИМЕ МЕДЛЕННОГО ОСЕДАНИЯ И ПРИ АККРЕЦИИ БОНДИ-ХОЙЛА
(© 2013 г. Л. И. Арзамасский*, В. С. Бескин**
Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, Москва Московский физико-технический институт, Долгопрудный Поступила в редакцию 15.07.2013 г.
В рамках идеальной гидродинамики рассмотрены ранее не исследованные режимы аккреции, связанные с вращением аккрецирующего вещества, а именно возмущения квазисферического течения в режиме медленного оседания, а также аккреция Бонди—Хойла при наличии осевого вращения. Для аккреции в режиме медленного оседания показано, что возмущения достаточно быстро растут при приближении к гравитирующему центру, так что во внутренних областях течение уже нельзя считать квазисферическим. Для аккреции же Бонди—Хойла показано, что на больших расстояниях от гравитирующего центра вблизи оси течения образуется вакуумная цилиндрическая полость. При этом скорость течения вне этой полости практически не зависит от расстояния до оси вращения.
Ключевые слова: аккреция, идеальная гидродинамика.
DOI: 10.7868/80320010813120012
ВВЕДЕНИЕ
Вопрос об аккреции вещества на компактный объект (нейтронную звезду, на которую происходит перетекание газа со звезды-компаньона в рентгеновских источниках; черную дыру, представляющую собой "центральную машину" в активных галактических ядрах и квазарах) является классической задачей современной астрофизики (см., Шапиро, Тьюколски, 1985; Липунов, 1987; Бисноватый-Коган, 1989, и указанную там литературу). При этом аналитический подход, фундамент которого был заложен еще в середине двадцатого века (Бонди, Хойл, 1944; Бонди, 1952), начиная с восьмидесятых годов начал по естественным причинам вытесняться работами по численному моделированию (Хант, 1979; Петрич и др., 1989; Руфферт, Арнет, 1994; Торопин и др., 1999; То-ропина и др., 2012). Аналитические же решения были найдены лишь в исключительных случаях (Бисноватый-Коган и др., 1979; Петрич и др., 1988; Андерсон, 1989; Бескин, Пидопрыгора, 1995; Бескин, Малышкин, 1996; Парьев, 1996).
Необходимо подчеркнуть, что в последнее время центр тяжести работ сместился в область магнитной гидродинамики, в рамках которой стано-
Электронный адрес: lev.arzamasskiy@phystech.edu
Электронный адрес: beskin@lpi.ru
вится возможным адекватно учитывать турбулентные процессы, связанные с магнитным пересоединением, магниторотационной неустойчивостью и т.д. (Бальбус, Холи, 1991; Бранденбург, Соколов, 2002; Кролик, Холи, 2002). Однако, по нашему мнению, до сих пор недостаточно исследованными остаются некоторые важные режимы аккреции, которые при этом достаточно просты, чтобы их основные свойства можно было описывать аналитически в рамках идеальной гидродинамики. Сюда можно отнести эффекты, связанные с наличием углового момента в режиме медленного оседания, а также для аккреции Бонди—Хойла. Такое дополнительное вращение естественно возникает в двойных системах, когда, например, нейтронная звезда взаимодействует со звездным ветром своего компаньона, а также при движении гравитирую-щего центра в турбулентной среде, обладающей значительной завихренностью. Исследованию подобных течений и посвящена настоящая статья.
В первой части сформулированы основные уравнения идеальной стационарной осесиммет-ричной гидродинамики, сводящиеся, как хорошо известно, к одному уравнению второго порядка на функцию потока. Далее, во второй части рассмотрена аккреция в режиме медленного оседания. Показано, что при наличии углового момента нерадиальные возмущения скорости достаточно быстро растут при приближении к гравитирующему
центру, так что во внутренних областях течение уже нельзя считать квазисферическим. Наконец, третья часть посвящена аккреции Бонди—Хойла. Показано, что при наличии осевого вращения на больших расстояниях от гравитирующего центра вблизи оси течения образуется вакуумная цилиндрическая полость. При этом скорость течения вне этой полости практически не зависит от расстояния до оси вращения.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Как известно (Гудерлей, 1960; Мизес, 1961), для описания осесимметричных стационарных гидродинамических течений в качестве неизвестной величины удобно использовать функцию потока Ф(г, в), связанную с полоидальной скоростью вещества Vp соотношением
УФ х e
Vp
2nnpr± '
-r± Vk
1
2 Чкф) - +
r2 np J p dФ
i a 2 2 d E 22 T ds + 4vr r±np — - 4тг r±np — — = 0.
mp dФ
Здесь mp — масса частиц, а Т — температура. Уравнение (2) представляет собой баланс сил в направлении, перпендикулярном линиям тока вещества.
Далее энергия
ад = у
где ш есть энтальпия, а pg = —СМ/г — гравитационный потенциал, а также угловой момент
Ь(Ф) = r± vv
и энтропия в(Ф) являются интегралами движения, т.е. они постоянны на линиях тока и, следовательно, могут быть рассмотрены как функции потока Ф. Их конкретный вид должен определяться из граничных условий.
Уравнение Грэда—Шафранова (2) должно быть дополнено уравнением Бернулли (3), которое теперь может быть переписано в виде
(УФ)2 8n2n2r2
L2
GM
^ 2r2± г
(5)
Ниже, для простоты, мы будем пользоваться политропным уравнением состояния
P = k(s)nL
(6)
где Г — показатель политропы, а к(в) зависит только от энтропии в. В этом случае скорость звука является функцией концентрации щ и выражается через нее как
1
с2 = -±-Tk(s)nl-\
mp
(7)
(1)
Соответственно, при Г = 1 энтальпия может быть представлена в виде
где np — концентрация частиц, а r± = r sin в — цилиндрический радиус. В настоящее время этот подход обычно называют методом уравнения Грэда— Шафранова (см., например, Бескин, 2005). В рамках этого подхода уравнение Эйлера сводится к одному уравнению второго порядка в частных производных на функцию потока Ф(г, в). В компактной форме (и для нерелятивистских течений, которые везде и будут рассматриваться в дальнейшем) оно может быть записано как
w
Г - 1
(8)
(2)
АККРЕЦИЯ В РЕЖИМЕ МЕДЛЕННОГО ОСЕДАНИЯ
Рассмотрим задачу об аккреции вещества в режиме медленного оседания. Этот режим соответствует дозвуковому течению вплоть до гравитиру-ющего центра. При этом в уравнении Бернулли (3) вклад первого слагаемого, связанного с кинетической энергией вещества, предполагается малым, так что во внутренних областях можно положить
„ СМ /пч
(3)
(4)
Если угловой момент аккрецирующего вещества достаточно мал, так что vv ^ Vp во всей области течения, то естественно предположить, что структура течения будет слабо отличаться от сферически-симметричного случая. Поэтому решение нашей задачи можно искать в виде
ФМ) = Фо[1 - cos в + el f (г, в)], (10)
где последнее слагаемое является поправкой к сферически-симметричному течению. Что же касается малого параметра el, то он будет определен чуть позже.
Определим теперь условия на внешней границе течения. Поскольку течение предполагается дозвуковым, то нам потребуется пять граничных условий. Три из них, а именно две термодинамические функции и радиальную скорость vr можно выбрать из нулевого сферически-симметричного
c
2
приближения. Поэтому на внешней границе r = R мы положим
T (R,0)= TR, (11)
np(R,0)= ur, (12)
Vr (R,e)= VR. (13)
Далее будем считать, что при наличии медленного вращения температура Tr, концентрация ur и меридиональная скорость ve при r = R не изменятся, а газ будет вращаться как единое целое c угловой скоростью Q. В этом случае можно записать
vv(R,d) = QR sin в, (14)
ve(R, в) = 0. (15)
Тогда
L(^) = Rvv sin в = L0 sin2 в,
l
L2 Lo
E(Ф) = EQ + -rripVp = E0 + -^ sin в,
2"* ~0 ' 2Е2
где Ь0 = О.В2, а Е0 есть значение интеграла Бер-нулли при отсутствии вращения. Соответственно полный темп аккреции Ф^ = 2Ф0 будет равен
фш = 4^mpnrvrR .
el
+
dr2 GM df r2c0 dr
d2f sin 9 д
дв \ sin в дв 2l
+
L2 о
r2vo2 r2 R2
sin2 в cos в,
X
f M ) = > ffm(r)Qm(0),
m=o
r
d2gm l dgm ---f-
dг2 (Г - 1) dr
— qmgm = 0, m = 2,
r
d2gm l dgm ---f-
dr2 (Г - 1) dr
+
(23)
- R
+ 6 gm = -f
R2 2-¡r - 1
m = 2.
(16) (17)
(18)
В результате, после линеаризации по малому параметру еь ив пределе малых скоростей ур с5, уравнение (2) можно переписать как
1 дГ
(19)
где vo(r) и с0 (r) суть полоидальная скорость и скорость звука невозмущенного сферически-симметричного течения. Как мы видим, малым параметром нашей задачи будет величина
sl = —• (20)
L vR
Разлагая теперь функцию f (r, в) в ряд по собственным функциям Qm(e) углового оператора Líe = sin вд/дв [(1/ sin в)д/дв]
(21)
где (см. Бескин, 2005) Q0 = (1 — cos в), Qi = = sin2 в, Q2 = sin2 в cos в и т.д., и подставляя этот ряд в уравнение (19), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно радиальных функций gm(r):
(22)
Здесь дт = -т(т + 1) — собственные числа оператора Со и мы использовали также соотношение (9). Воспользовавшись теперь определением (1) и граничными условиями (14)—(15), получаем, что все радиальные функции должны удовлетворять условиям
9т(Я) = 0, (24)
dr
0.
(25)
r=R
В результате отличной от нуля оказывается только радиальная функция д2(г), для которой уравнение (23) приобретает вид
Г292 + - 6^2 =
= 2K
Г — l
r \ а
я) +к
(26)
r \ а+2
RJ
где
K = (Г -
а
2(Г - 2) Г - 1
(27)
(28)
В итоге, решение уравнения (26) с учетом граничных условий (24)—(25) можно представить в виде
/ r \
+ c4r) +
(29)
где
Л1.2 =
r\а / r\а+2
(Г - 2) ± д/(Г - 2)2 + 24(Г - I)2
Cl = K
2(Г — l)
а + 4 — Л1
C2 = —K
(Л1 — Л2)(а — Лl)(а + 2 — Л2)'
а + 4 — Л2
(Л1 — Л2)(а — Л2)(а + 2 — Л1)' 2K
Kl = — К2 =
(а — Л1 )(а — Л2) ' K
(а + 2 — Л1)(а + 2 — Л2)'
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
2
r
r
и
и
Г
Рис. 1. Зависимость степеней Л1, Л2 и а от Г. Выделены ведущие степени, определяющие рост возмущений при приближении к гравитирующему центру.
Зависимость степеней Ai, Л2 и а от Г
Г 1.01 1.1 1.2 4/3 1.366 1.4 1.5 1.6 5/3
Ai 0.06 0.62 1.16 1.65 1.73 1.81 2.00 2.14 2.21
А2 -99.1 -9.62 -5.16 -3.65 -3.46 -3.31 -3.00 -2.81 -2.71
а -198 -18.0 -8.00 -4.00 -3.46 -3.00 -2.00 -1.33 -1.00
На рис. 1 показано изменение степене
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.