КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2015, том 53, № 4, с. 345-352
УДК 521.13
О ВЛИЯНИИ В ПЛАНЕТНОМ ВАРИАНТЕ РЕЗОНАНСНОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ РЭЛЕЕВСКОЙ ДИССИПАЦИИ НА ПАРАМЕТРЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ © 2015 г. Б. Р. Мушаилов, В. С. Теплицкая
Государственный астрономический институт имени П.К. Штернберга МГУ
verateplic@yandex.ru Поступила в редакцию 28.12.2012 г.
Получены некоторые качественные оценки параметров стохастического слоя, обусловленного диссипацией рэлеевского типа в случае орбитальных линдбладовских резонансов в планетном варианте задачи трех тел.
Б01: 10.7868/80023420615040068
ВВЕДЕНИЕ
В предшествующих работах авторов [17, 18] были получены аналитические решения и проведены некоторые качественные исследования, интерпретирующие динамическую эволюцию орбитальных элементов гравитирующих тел (материальных точек) в планетном резонансном варианте задачи трех тел в случае рэлеевской диссипации. Как известно, аналитическая модель орбитальной эволюции в динамических системах, учитывающая лишь гравитационные эффекты, в определенной степени является вырожденной моделью. В связи с этим учет влияния диссипативных эффектов взаимодействий способствует появлению более адекватной модели описания орбитальной эволюции динамических систем.
Наличие в реальных динамических системах диссипативных факторов и связанных с ними асимптотических предельных траекторий приводит к меньшей чувствительности системы к различного рода слабым возмущениям. Так, в частности, в консервативных системах движение около сепаратрисы всегда хаотическое, в то время как для диссипативных систем это утверждение в общем случае оказывается неверным [10, 13]. Несмотря на даже малые априори величины рассеяния энергии в гравитирующих динамических системах (например, в экзопланетных системах или кратных звездных системах при перетекании вещества при аккреции) учет диссипативных факторов может существенно отразиться на динамической эволюции "гравитационно активных" компонент системы. Следовательно, появление диссипации в динамической системе приводит к новым эффектам, не проявляющимся в чисто гравитационных динамических системах.
Орбитальными резонансами связаны движения некоторых больших планет, спутников, астероидов, комет, метеорных потоков Солнечной системы. Исследование в рамках концепции частичной детерминированности динамической эволюции планетных систем, движущихся в орбитальных резонансах, при учете диссипативных факторов позволяет предсказать эволюцию орбитальных параметров экзопланетных систем.
Как было установлено в [17], получение аналитического решения, интерпретирующего динамическую эволюцию орбитальных элементов гравитирующих тел (материальных точек) в рамках планетного варианта задачи трех тел для орбитального резонанса первого порядка при наличии в системе диссипативных факторов, моделируемых функцией Рэлея, формально сводится к интегрированию автономной канонической системы с двумя степенями свободы.
Появление дополнительных размерностей, как известно, может приводить к принципиально новым типам решений и конфигурациям фазовых траекторий системы [10].
В то же время эволюция решений (изменение с течением времени получаемых функциональных переменных) в нелинейной динамической системе при наличии зависящего от времени возмущающего фактора в ряде случаев может представляться хаотической (т.е. характеризоваться высокой чувствительностью к начальным условиям и разрушением "невозмущенных сепаратрис"), оставаясь при этом полностью детерминированной [5]. Особый интерес представляют случаи, когда возмущающий фактор имеет периодический характер воздействия.
Если для регулярных траекторий в динамической системе характерно линейное расхождение двух соседних фазовых траекторий, то при хаотическом движении близко расположенные траектории "разбегаются во времени" экспоненциально [20]. Количественной оценкой меры средней скорости экспоненциального разбегания траекторий являются так называемые показатели Ляпунова. Для канонической системы с двумя степенями свободы, ввиду сохранения фазового объема (теорема Лиувилля), можно вычислить два независимых показателя Ляпунова, так как любое расхождение (растяжение) траекторий в одном направлении компенсируется соответствующим сжатием в другом [13].
Наряду с исследованием локальных особенностей хаотического поведения отдельных траекторий нелинейной динамической системы, значительный интерес представляют аналитические методы, позволяющие на основании вычисления вариации энергии (или какого-либо иного нелинейного параметра связи) оценивать появление хаотичности целых областей в фазовом пространстве, то есть — возникновение "глобального хаоса" [9, 13].
В рамках планетного варианта задачи трех тел, ввиду заданной планетной конфигурации, не возникает проблемы "перекрытия резонансов" [2].
Исследование в окрестности сепаратрисы "невозмущенной динамической системы" размеров области хаотичности, обусловленной наличием возмущений, как и анализ устойчивости замкнутых траекторий системы [22], также может свидетельствовать о наличии в рассматриваемой динамической системе зон сплошной стохастичности.
Вблизи сепаратрисы частота осцилляций ю(Т) = = ®(F0), где I — переменная действия, F0 — невозмущенный гамильтониан динамической системы [9, 13], стремится к нулю, а период движения на фазовой плоскости изображающей точки — к бесконечности, так что отношение интервала времени между импульсами, соответствующими движению изображающей точки ("эквивалентного нелинейного осциллятора") к ширине импульсов T0 = 2я/ю0 при приближении к невозмущенной сепаратрисе стремится к бесконечности, т.е. N = = w0/w(I) > 1. Следовательно, на фазовой плоскости изображающая точка долго — порядка T = = 2я/ю(!) находится вблизи "точек поворота эквивалентного осциллятора", где скорость близка к нулю, и быстро ~T0 = 2я/ю0 проходит основную часть потенциальной ямы.
В случае, когда возмущающее воздействие F1 моделируется периодической функцией времени,
2П
можно ввести фазу возмущения ф = — t + const,
тогда, если величины (E = F0(I), ф) являются соответствующими значениями в начале периода коле-
баний изображающей точки ("эквивалентного осциллятора"), а (Е, ф) — значения через полпериода
осцилляций, то отображение Пуанкаре (Т), описывающее динамику системы вблизи невозмущенной сепаратрисы, будет иметь вид
(Е, ф) = Т(Е, ф) или Е = Е + ДЕ, ф = ф + —-,
Т та
где АЕ — изменение энергии, Е = Е0(1), определяется выражением (5), а частота та = ю(I) = = ю(I (Е0)), Е = I(Е0). Приведенное отображение
Т принято называть сепаратрисным [10]. Учитывая, что Е1 ~ vЕ0, где V — малый параметр, очевидно, имеем |ДЕ| = |Е - Щ ~ vE, поэтому на временах I ~ 1/у изменение энергии системы не приводит к инфинитным движениям. Однако приведенное выше уравнение для фазы осцилляций свидетельствует о локальной неустойчивости (перемешивании траекторий: см. [10]), поскольку выражение
Л = |5ф/5ф - 1|
_ 2п5(1/ Ю(Е))
Т 5ф
определяет "растяжение интервала фаз".
Если Л > 1, то возникает локальная неустойчивость по фазе. Следовательно, области стохастич-ности (ширины стохастического слоя) отвечает условие:
8(1/ ш(Е)) > Т_, 5ф 2 п
которое также можно представить в виде 8ф = = ю0А? > Аф0 = 2А?01, где А?01 — начальное, т.е. вдали от сепаратрисы, возмущение фазы, и дает оценку ширине стохастического слоя в функции |АЕ/Е,|тах (см. выражение (26)).
Физическая причина появления локальной неустойчивости состоит в том, что малое изменение энергии приводит к малым изменениям частоты, так что вблизи "дна потенциальной ямы", где частота слабо зависит от энергии (действия), малые ее изменения приводят также и к малому изменению фазы за период колебаний. Однако вблизи сепаратрисы, где период колебаний Т стремится к бесконечности, даже малые изменения частоты приводят к значительным изменениям фазы, что и является причиной локальной неустойчивости, которая возникает и при финитных движениях, и способна приводить к динамической стохастич-ности. Локальная неустойчивость характеризуется наличием таких направлений траекторий в фазовом пространстве (плоскости), при которых расстояние между соседними траекториями экспоненциально растет со временем. Для реализации локальной неустойчивости достаточно существование области конечной меры, в которой ма-
лое возмущение начальных условий приводит к существенному расхождению траекторий. Для финитных движений это означает "запутывание траекторий", характеризуемых скоростью перемешивания, а не абсолютным удалением траекторий [10].
Как было показано в [10], в динамической системе общего вида всегда существует область стохастичности при сколь угодно малом параметре е ~ V, которая локализована в окрестности сепаратрисы.
Хаотические колебания в детерминированных системах, характеризующиеся перемешиванием траекторий в фазовом пространстве (фазовой плоскости), можно интерпретировать, как "непрочность движения по Жуковскому" [8].
Как известно, понятие прочности по Жуковскому является более строгим по сравнению с понятием фазовой устойчивости по Ляпунову и более слабым по сравнению с понятием изохронной устойчивости по Ляпунову в динамической системе, когда при установлении устойчивости сопоставляются траектории, определяемые в один и тот же момент времени [10, 11, 14].
УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ
Как показано в [17], интегрирование эволюционных уравнений рассматриваемого планетного варианта задачи трех тел в случае рэлеевской диссипации, после исключения методом Цейпеля короткопериодических слагаемых, сводится к разрешению системы с двумя степенями свободы вида
áxl = , dyL = _dF = dt dy¡' dt dx¡
(1)
где
F>i =
Р = ^ + ^ ^ = ^01 +
*13 А [(*22 + У22)2 + А(х2 + у 2) + Аз], (2)
¿02 = Х13(^4 + А5Х2), ^ = V(Xl)УlXl,
коэффициенты Ап (п = 1,...,5) — определены в [7, 15, 17], т1 = ца1, т2 = ца2, ц 1, масса центрального тела принята за единицу масс, а1 и а2 — отличные от нуля постоянные.
Функция Рэлея определяется как:
Ф =v(t )T (q).
(3)
Здесь q — вектор обобщенных координат исследуемых тел. В случае регулярного возмущения, ограничиваясь первой гармоникой v(t) в виде
и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.