ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2014, том 50, № 3, с. 317-322
УДК 551.465;532.752:532.51.13.4
О ВОЛНОВОМ СЛЕДЕ ЗА ДВИЖУЩИМСЯ УРАГАНОМ
© 2014 г. М. В. Калашник, П. Н. Свиркунов
Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН 119017Москва, Пыжевский пер., 3 Научно-производственное объединение "Тайфун" 249038 Обнинск, Калужская обл., ул. Победы, 4 E-mails: kalashnik-obn@mail.ru, ps@typhoon.obninsk.ru Поступила в редакцию 24.04.2013 г., после доработки 27.08.2013 г.
С использованием кинематической теории исследована фазовая картина инерционно-гравитационных волн, формирующих след в океане за движущимся ураганом. В рамках модели двухслойного океана получены простые аналитические выражения для фазовых поверхностей (поверхностей гребней и ложбин волновой структуры), определена зависимость угла полураствора волнового конуса от скорости движения урагана. Показано, что наблюдаемая асимметрия волнового следа в горизонтальной плоскости может быть связана с неоднородностью распределения параметра Корио-лиса по широте.
Ключевые слова: Ураган, волновой след, инерционно-гравитационные волны, фазовые картины волн, движущийся источник, бета-эффект.
DOI: 10.7868/S0002351514030067
1. Ветровое воздействие, создаваемое движущимся ураганом, формирует в океане структуру в виде волнового шлейфа или следа [1—3]. Экспериментальное обнаружение этой структуры, сформированной инерционно-гравитационными волнами и аналогичной волновому клину Кельвина за движущимся кораблем, явилось одним из впечатляющих достижений современной океанологии. Теоретические исследования волнового следа, как правило, основаны на аналитическом [4] или численном [2, 5] решении системы гидродинамических уравнений при заданном распределении касательного напряжения ветра на поверхности океана. С использованием кинематической теории волн [6, 7] в настоящей работе исследована фазовая картина волновых движений, формирующих след. В рамках модели двухслойного океана получены простые аналитические выражения для фазовых поверхностей (поверхностей гребней и ложбин волновой структуры), определена зависимость угла полураствора волнового конуса от скорости движения урагана. Показано, что наблюдаемая асимметрия волнового следа в горизонтальной плоскости может быть связана с неоднородностью распределения параметра Корио-лиса по широте.
2. Определение фазовых поверхностей (поверхностей постоянной фазы). Общий подход к описанию фазовой картины волн от движущихся лока-
лизованных источников предложен в работах [8, 9]. Рассмотрим один из вариантов этого подхода для волн в стационарной слабонеоднородной среде с дисперсионным соотношением ю = 0(к, г), где ю — частота, k = (к, I, т) — волновой вектор, г = (х, у, г). Данное соотношение формулируется для неподвижной среды в предположении малости длины волны по сравнению с характерным масштабом неоднородности.
Будем считать, что в среде перемещается равномерно со скоростью V стационарный источник возмущений и частота 0(к, г) не зависит от координаты вдоль траектории источника. В системе отсчета, движущейся с источником, закон дисперсии примет вид [7]: ю = 0(к, г) - (к, V). Для стационарных источников (ю = 0) отсюда следует соотношение 0(к, г) = (к, V), которое запишем в виде
Н(к, г) = 0(к, г) - (к, V) = 0. (1)
В рамках кинематического описания [6, 7] волновой вектор есть пространственный градиент фазы k = V Б. Условие стационарности (1), таким образом, представляет собой нелинейное уравнение в частных производных Н (V Б, г) = 0 для нахождения фазы Б = Б(г). Это уравнение не содержит явно искомой функции и аналогично уравнению эйконала или уравнению Гамильтона—Якоби в аналитической механике. Согласно общей теории [10, 11] решение уравнения сводится к интегриро-
318
КАЛАШНИК, СВИРКУНОВ
ванию характеристическом гамильтоновои системы уравнений Лг/ Лг = дН дк, Лк/ Лг = -д Н/ д г, которую можно записать как
¿г/Л = С. - V, Л = -д^/дг.
(2)
Здесь С^ = дО/дк — групповая скорость волн в неподвижной среде, I — параметр на характеристиках. Изменение фазы вдоль характеристик находится из уравнения [10]
йЩйг = (к, дН/ дк) = (к, Лг/ Л).
(3)
Подчеркнем, что стационарная волновая картина от источника в неоднородной среде формируется только при условии независимости частоты от координаты вдоль направления движения источника (циклической координаты). В системе (2) отвечающий ей компонент волнового вектора не меняется вдоль характеристики.
В задаче о волнах от движущегося источника принципиальную роль играют "начальные" условия для характеристической системы (2). Соответствующие условия имеют вид
г = 0: г = 0, к = к0, Н(к0,0) = 0. (4)
Первое условие требует, чтобы характеристики выходили из места положения источника г = 0 (центрированная волна [6]). Второе условие требует, чтобы при I = 0 волновой вектор k = к0 удовлетворял условию (1). С геометрической точки зрения это условие (далее — условие излучения) определяет некоторое двумерное многообразие (поверхность) в пространстве волновых векторов, которое можно задать в параметрическом виде кд = к0(а, 8), где а, 8 — параметры. Для двумерных волн имеем одномерное многообразие (кривую) к> = к 0(а).
К условиям (4) присоединяется также естественное условие I = 0: Б = 0. Решение уравнений (2), (3) при этом можно представить в виде г = = г(, а, 5), Б = Б (г, а, 5). Выражая из последнего равенства I через Б, а, 8 и подставляя в первое, получим параметрические уравнения фазовых поверхностей (поверхностей постоянной фазы) г = г(Б, а, 8) в пространственном случае. В двумерном случае г = г(г, а), Б = Б(г, а) и уравнения фазовых кривых г = г(Б, а).
Для однородных сред (с постоянными параметрами) уравнения (2),(3) имеют простое аналитическое решение
г = (С й - V)?, к = к 0(а, 8), Б = (к, г) = (к, С ^ - V)?.
Выразив I через Б из третьего равенства и подставив в первое, найдем параметрические уравнения фазовых поверхностей
С „ - V
впервые сформулированные в работе [8]. Подчеркнем общий характер этих уравнений — они справедливы для волн с произвольным законом дисперсии (отличным от линейного).
Отметим также, что в исследовании фазовой картины волн можно исходить не из уравнения Гамильтона—Якоби (1), а непосредственно из га-мильтоновой системы (2), описывающей в рамках теории Уизема [6] распространение быстроосцил-лирующих волновых пакетов (параметр I при этом играет роль времени). Двойственный характер описания хорошо известен в аналитической механике.
3. Симметричный волновой след. В существующих численных моделях волнового следа за ураганом [1, 2, 5] океан, как правило, представляют системой, состоящей из верхнего перемешанного слоя с плотностью р1 и толщиной Н1 и нижнего слоя с плотностью р2 > р1 и толщиной Н2. В качестве Н2 обычно берут нижнюю границу термоклина. При наличии фонового вращения в подобной двухслойной системе возможно существование лишь двух классов волновых движений — баро-тропная (п = 0) и бароклинная (п = 1) моды инерционно-гравитационных волн, описывающие соответственно колебания свободной поверхности и поверхности раздела. В длинноволновом приближении (длина волны много больше толщины слоя) и выполнении условия 8 = (р2 - р^/р1 1 дисперсионные соотношения для мод имеют вид [5, 7]
ю2 =П2п = /2 + е1(к2 + 12), п = 0,1.
(6)
Здесь / — параметр Кориолиса, сп — фазовые скорости мод в отсутствие вращения:
С0 =4ЁН, С1 =4^ШН/Н, Н = Н1 + Н2. При характерных для океана значениях Н1 = 100— 150 м, Н2 = 4000 м, 8 = 3 х 10-3 эти скорости составляют с0 = 200 м/с, с1 = 2—3 м/с.
Будем рассматривать источник (ураган), движущийся вдоль оси х со скоростью V = (и, 0). Для двумерного волнового вектора к = (к, I) условие излучения (1) преобразуется к виду
и2 - сП)к2 - сП12 = /2.
(к, С.) -од
Б, к = к 0(а, 8),
(5)
(7)
Непосредственно из (7) следует условие формирования волнового следа М2 = и2/сП > 1, где параметр М представляет аналог числа Маха. При выполнении этого условия уравнение (7) определяет гиперболу на плоскости волновых чисел. Важная особенность состоит в том, что характерная скорость перемещения урагана и = 5 м/с превосходит скорость бароклиннй моды, но остается значительно меньше скорости баротропной моды с1 < и < с0. Таким образом, в образовании волно-
y, 103 км
(а)
y, 103 км
2.0 2.5 x, 103 км
2.0 2.5
x, 103 км
Рис. 1. Фазовые линии при постоянном значении параметра Кориолиса (а), в присутствии Р-эффекта (б) для значений параметров/ = 0.8 х 10-4 с-1, Р = 2 х 10-11 м-1 с-1, М = л/2 На рисунках указано положение оси следа — прямой у = 0 (а), параболы (26) (б).
вого следа за движущимся ураганом участвует только бароклинная мода. Далее считаем n = 1.
Для двумерного вектора групповой скорости
из (6) следует выражение C = c^k/ю. С учетом этого выражения и соотношения (7) общие уравнения (5) для фазовых поверхностей (линий) принимают вид
х = (U2 - cl)(S/f 2)к, y = -c2„(S/f 2)l. (8)
В уравнениях (8) волновые числа к, l связаны соотношением (7), причем если U < 0 (источник перемещается на запад), то к < 0, S < 0. Используя параметрические уравнения гиперболы (7) и подставляя их в (8), получим уравнения фазовых линий. Более просто выразить к, l через x, y из (8) и подставить в (7). Таким образом, получим уравнение
У
jjl 2 U - Cn
Г
(9)
описывающее однопараметрическое семейство гипербол с асимптотами y = ± (JU - е2п) х. Эти
асимптоты отделяют клиновидную область, занятую волновыми возмущениями, от покоящейся жидкости (рис. 1а). Тангенс угла полураствора клина составляет
tg0 = cJU~?K = i/VM2 - 1 (10)
(соответственно sin 9 = 1/M). Отметим, что выражение (10), совпадающее с выражением для тан-
генса угла полураствора конуса Маха в газовой динамике [6], было ранее получено в работе [4] путем прямого решения линеаризованной системы гидродинамических уравнений. Выше представлен вывод на основе кинематического подхода.
Представленные результаты хорошо согласуются с результатами численного моделирования волнового шлейфа за движущимся ураганом в рамках полной нелинейной системы уравнений гидродинамики [2, 5]. В качестве примера на рис. 2 представлены полученные в раб
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.