научная статья по теме О ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕКУРСИВНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ НЕОСНОВНЫХ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ДВУХСЛОЙНОМ ПОЛУПРОВОДНИКОВОМ МАТЕРИАЛЕ Физика

Текст научной статьи на тему «О ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕКУРСИВНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ НЕОСНОВНЫХ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ДВУХСЛОЙНОМ ПОЛУПРОВОДНИКОВОМ МАТЕРИАЛЕ»

ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СИНХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2015, № 9, с. 70-74

УДК 517.983:519.2.6

О ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕКУРСИВНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ НЕОСНОВНЫХ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ДВУХСЛОЙНОМ ПОЛУПРОВОДНИКОВОМ МАТЕРИАЛЕ © 2015 г. Е. В. Серегина1, 2, *, М. А. Степович2, 3, **, А. М. Макаренков1, М. Н. Филиппов4

1Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана,

248000 Калуга, Россия 2Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского, 248023 Калуга, Россия 3Ивановский филиал Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова,

153025 Иваново, Россия 4Институт общей и неорганической химии им. Н.С. Курнакова РАН, 119991 Москва, Россия *Е-таИ: evfs@yandex.ru, **Е-тай: m.stepovich@rambler.ru Поступила в редакцию 16.01.2015 г.

Рассмотрены некоторые возможности использования нового метода непрерывной аппроксимации ступенчатых функций, основанного на использования тригонометрических выражений в виде рекурсивных функций. Для модели независимых источников построена разностная схема второго порядка аппроксимации на равномерной сетке, позволяющая проводить расчеты распределения неосновных носителей заряда, генерированных широким электронным пучком в двухслойном полупроводниковом материале.

Ключевые слова: двухслойный полупроводник, электронный пучок, распределение неосновных носителей заряда, диффузия, рекурсивные функции.

БО1: 10.7868/80207352815090164

ВВЕДЕНИЕ

Для количественного описания явления диффузии неравновесных неосновных носителей заряда (ННЗ), генерированных в полупроводниковом материале внешним энергетическим воздействием, обычно используется так называемая модель независимых источников, согласно которой на диффузию неравновесных ННЗ из любого микрообъема полупроводника не оказывают влияния другие электроны или дырки из других микрообластей материала. Математически это выражается в том, что сначала решается уравнение диффузии для каждого из точечных источников ННЗ, после чего посредством интегрирования по объему, занимаемому источниками ННЗ, находится распределение носителей заряда в полупроводнике в результате их диффузии. Идея такого подхода заимствована из классической работы [1]. Эта модель ранее использовалась для количественного описания процессов одномерной диффузии неосновных носителей заряда в неоднородных и многослойных планарных структурах,

для которых распределение электрофизических параметров материалов по глубине имеет точки разрыва первого рода [2, 3]. Так, в [2] при использовании модели независимых источников было получено аналитическое выражение для расчета распределения ННЗ, генерированных широким электронным пучком в структуре типа "эпитак-сиальная пленка—подложка", созданной на базе одного и того же полупроводникового материала. Расчеты в [2] проводились для параметров, характерных для полупроводниковой структуры "эпи-таксиальная пленка ОаАз—монокристаллическая подложка ОаАз" с разным (но одинаковым внутри каждого из материалов) уровнем легирования примесями — в этом случае электрофизические параметры в каждом материале различны, а на границе раздела "пленка—подложка" имеют разрыв первого рода. Аналогичные расчеты проведены в [3] для более сложной трехслойной структуры. Модель независимых источников была использована в задачах математического моделирования стоха-

стического явления диффузии ННЗ в однородных полупроводниковых материалах [4, 5].

В настоящей работе предложена модификация такой модели, позволяющая использовать ее для моделирования диффузии неосновных носителей заряда в двухслойном полупроводниковом материале. Возможность использования этой модели для решения такой задачи появляется, если вместо кусочно-постоянных коэффициентов дифференциального уравнения диффузии ННЗ (электрофизических параметров полупроводника) использовать их новые аппроксимации, основанные на тригонометрических выражениях в виде рекурсивных функций [6]. Отметим, что аппроксимирующие функции являются непрерывными и аналитическими, и потому на границе слоев они в большей степени, чем ступенчатые функции, соответствуют зависимости значений реальных электрофизических параметров от координаты [7].

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим упрощенную математическую модель диффузии неосновных носителей заряда в двумерной полупроводниковой структуре, параметры слоев которой (средний заряд атомного ядра и средняя атомная масса) отличаются незначительно. Такой подход позволяет описывать процесс рассеяния энергии электронами пучка как в однородном материале и не учитывать изменение энергии первичных электронов при прохождении ими твердого тела [8]. Не будем также учитывать влияние области пространственного заряда [9—11] на диффузию генерированных электронным пучком неравновесных ННЗ, как в известных классических [12—14] и развитых моделях [15—17], в том числе описывающих процесс диффузии генерированных ННЗ [2, 3, 15, 18], а также их последующую излучательную рекомбинацию, позволяющую идентифицировать электрофизические параметры полупроводниковой мишени [15, 19—21].

В рамках рассматриваемой математической модели в случае одномерной диффузии в конечный полупроводник распределение ННЗ по глубине находится как решение дифференциального уравнения

íiD(z-(z)

(1)

с граничными условиями

D

d Ap (z)

D

dz d Ap (z)

z=0

dz

= v SlAp (0), -v ,2 Ap (l).

(2)

z=l

Для двухслойной структуры введем обозначения: z1 — координата границы раздела двух слоев; Б1,

Б2, Ь]_, Ь2, т1, т2 — коэффициенты диффузии, диффузионные длины и времена жизни ННЗ; и Б2 — приведенные скорости поверхностной рекомбинации, соответственно, на поверхностях первого (при z = 0) и второго (при z = I) материалов. При

этом Ц = ТДТ, Ц = VАт2, а ^ = ¿VД , S2 = Ь2у^1 Д2, где ^ и — скорости поверхностной рекомбинации ННЗ в пленке и подложке соответственно. Функция Ар (^) описывает распределение по глубине ННЗ, генерированных внешним энергетическим воздействием; z — координата, отсчитываемая от плоской поверхности в глубь полупроводника. В уравнении (1) функция р (^) определяется плотностью потерь энергии электронами пучка в полупроводниковой мишени р* (^). Значения р (^) могут быть определены при делении р* (^) на энергию образования электронно-дырочной пары. Для широкого электронного пучка справедлива полуэмпирическая формула [15—17]:

Р*(z) =

1.085 (1 -n) E0 ^nzms(l - n + n zss/zms)

x < exp

z zm

n

+--— exp

i-n

z - zs:

Здесь E0 — энергия первичных электронов (электронов пучка); zms — глубина максимальных потерь энергии первичными электронами, испытавшими малоугловое рассеяние; zss — глубина максимальных потерь энергии обратно рассеянными электронами; п — коэффициент обратного рассеяния первичных электронов.

В уравнении (1) вместо кусочно-постоянных коэффициентов (электрофизических параметров полупроводниковых слоев) используются их новые аппроксимации, основанные на тригонометрических выражениях в виде рекурсивных функций [6]. В работе [6] для ступенчатой функции

f í7 ) = z ^ (z2, z3 ) ,

nz) [0, z i (z2,z3), в качестве начальной функции выбирается функция в виде f1 (z) = exp(1 - (az + b)2) - 1. Из условия f1 (z2) = f1 (z3) = 0 находятся a = 2/(z2 - z3); b =

= (z2 + z3)/(z3 - z2). При этих значениях коэффициентов a и b последовательность

{fn (z)|f (z) = (H/2)(1 + sin(ф„ (z))),

Фп (z) = (П 2) sin (фп_1 (z)), Ф1 (z) = (П2)f1 (z), n -1 6 N} сходится к ступенчатой функции f(z).

72

СЕРЕГИНА и др.

Тогда ступенчатые функции Ь(£) и D(z) со значениями Ьъ D1 в промежутке [0,г^ и Ь2, D2 в промежутке [г^ /\ можно аппроксимировать суммой аналогичных последовательностей: =

, „ „ „ , ч 12

{ (z)}, D„(z) = YjJfn (z )}

т(z), т.е. ||D(z) - Dn (z)||

->0,

0 и ||т (z) -Tn (z)||

j-D(z) -

dz

-> 0.

- (г) аг

Опираясь на этот результат и переходя от задачи (1), (2) к равносильному интегральному уравнению второго рода, легко установить, что ||Др (г) -Арп (г )||—^

В настоящей работе с использованием так называемой модели независимых источников для рассматриваемой конечной двухслойной полупроводниковой структуры получено аналитическое выражение для функции Ар (г), и оно оказалось более громоздким, чем для решения той же задачи (1), (2) для полубесконечного полупроводника [2]. Запишем выражение для распределения ННЗ Ар (г, г0), генерированных плоским беско-

нечно тонким источником, находящимся в первом слое на глубине г0 < г1:

В [22] была построена модифицированная модель независимых источников для расчета распределения ННЗ по глубине однородного полупроводника, основанная на использовании аппроксимации узкого источника малой ширины рекурсивными тригонометрическими функциями. Настоящая работа продолжает такие исследования и ставит перед собой задачу найти численное решение уравнений (1), (2) с использованием аппроксимации ступенчатых функций =

= (г^ = (г)} входящих в

уравнение (1), и провести практические расчеты распределений ННЗ, генерированных широким электронным пучком в двухслойном полупроводниковом материале. Решение этого уравнения находится с использованием метода конечных разностей [23].

ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Перейдем к обоснованию метода. В работах С.В. Алюкова [6, 24] было установлено, что в гильбертовых пространствах измеримых функций Ь1 и Ь2 последовательности аппроксимирующих функций Бп (г), — Бп (г) и тп (г) сходятся по

аг

норме к исходным функциям Б (г), — Б (г) и

аг

Ap (z, z 0) =

С exp I — I + C, exp I -—

1 1 j J 2 l j

C3 exp | Lj + C4 exp j-

C5 exp I fJ + Сб exp í-f

j

j

V z e [0,z0],

V z e [z0,z,], , V z e [z,,l).

Получены аналитические выражения для констант С,- = С,-(z0,z1, ©), i = 1,6, где © = {L1, L2, D1, D2, S1, S2} — вектор электрофизических параметров полупроводника. Например,

Сб = р (z0) exp (2l/j )(1 + S, V(1 - S,) x x (L1 exp (j + zj j )/2D )((1 + ^)/(1 - S1) + + exp(-2z„/j))((1 + S1 )(1 - S1 )exp(zj j) + + exp (- zj j)) - (exp (-2 z„/j) + (1 + S )(1 - S1)) x

x ((1 + S1 )(1 - S1 )exp (zjL, ) - exp (-zjL,)) x x ((exp (zj L2) + (1 + S2 )/(1 - S2) exp (2l/L -

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком