научная статья по теме О ВОЗМОЖНОСТИ ОТРАЖЕНИЯ АЛЬФВЕНОВСКИХ ВОЛН В КРИВОЛИНЕЙНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ Физика

Текст научной статьи на тему «О ВОЗМОЖНОСТИ ОТРАЖЕНИЯ АЛЬФВЕНОВСКИХ ВОЛН В КРИВОЛИНЕЙНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 5, с. 450-458

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ

УДК 533.951

О ВОЗМОЖНОСТИ ОТРАЖЕНИЯ АЛЬФВЕНОВСКИХ ВОЛН В КРИВОЛИНЕЙНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

© 2004 г. Н. Г. Мазур, Е. Н. Федоров, В. А. Пилипенко

Институт физики Земли им. О. Ю. Шмидта РАН Поступила в редакцию 25.04.2003 г.

Окончательный вариант получен 08.10.2003 г.

Исследовано распространение альфвеновских волн в двумерно неоднородной плазме, находящейся в криволинейном магнитном поле. Эти волны описываются одномерным уравнением, формально совпадающим с уравнением для случая квазиоднородного прямого поля с модифицированной альф-веновской скоростью, учитывающей продольную зависимость коэффициентов Ламе. Влияние геометрии магнитного поля по-разному проявляется для тороидальной и полоидальной мод альфвеновских волн. В случае двумерной плоско-параллельной конфигурации магнитного поля полои-дальная мода эффективно отражается от областей сгущения/разрежения силовых линий. Этот эффект может обеспечивать образование альфвеновских квазирезонаторов на незамкнутых силовых линиях.

ВВЕДЕНИЕ

Альфвеновские волны являются одним из основных механизмов переноса энергии нестационарных возмущений в околоземной, солнечной и лабораторной плазмах. Крупномасштабные альфвеновские волны, для которых кинетические и дисперсионные эффекты малы, могут распространяться вдоль магнитных силовых линий на большие расстояния без геометрического затухания. Волновое уравнение для альфвеновских колебаний показывает, что эти волны не имеют точки отражения, поэтому, казалось бы, для этих колебаний невозможно образование резонаторов вдоль силовых линий, в которых бы происходило накопление волновой энергии. Однако в плазме с резким изменением альфвеновской скорости вдоль поля возможно частичное отражение альфвеновских волн [1]. Для возмущений с длиной волны, сопоставимой с размером неоднородности, для которых нарушается приближение геометрической оптики, отражение может быть значительным. Это отражение может ограничивать поток волновой энергии в солнечную корону [2] и магнитосферу Юпитера [3]. Кроме того, появляется возможность образования квазирезонаторов, примерами которых являются ионосферный альфвеновский резонатор в верхней ионосфере [4-7], резонаторы в области магнитосферного ка-спа [8] и корональной солнечной петли [2]. Альфвеновские колебания могут возбуждаться как непосредственно энергичными частицами с неравновесным распределением [9, 10], так и при резонансной трансформации возмущений магни-тозвукового типа, когда частота внешнего источника близка к частоте альфвеновского резонатора [11, 12]. Накопление волновой энергии в альф-

веновских резонаторах может заметно влиять на крупномасштабную динамику плазменной конфигурации.

Однако во всех перечисленных работах распространение альфвеновских волн описывалось в рамках моделей с прямыми силовыми линиями. В данной работе будет показано, что при определенных условиях резкое локальное изменение геометрии магнитных силовых линий, сопровождающееся сгущением или разрежением силовых линий, также вызывает отражение альфвеновских волн, что может приводить к образованию квазирезонаторов на незамкнутых силовых линиях, даже без проводящих торцов или резких градиентов плотности плазмы.

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ АЛЬФВЕНОВСКИХ ВОЛН В КРИВОЛИНЕЙНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Распространение МГД-волн в криволинейном магнитном поле будем изучать в приближении линеаризованной идеальной магнитной гидродинамики. В этом приближении поперечный поляризационный ток ^ = (ц0 VА )-1Э,Е±. Полагая проводимость вдоль силовых линий основного магнитного поля Б0(г) бесконечной Стц = ^ (при этом продольная компонента электрического поля Ец = 0), запишем уравнения Максвелла в виде

Э,В + V х Е± = 0, Э,Е± - VA2 [V х В]± = 0, (1) где Е± - компонента электрического поля волны поперек Б0, VA = Б0^ц0 р - альфвеновская скорость.

Для исследования МГД-возмущений в плазме, находящейся в криволинейном магнитном поле, будем использовать криволинейную систему координат (СК), связанную с геометрией самого поля B0(r). Предположим, что в рассматриваемой области можно выразить магнитное поле через скалярный потенциал Т: B0 = -W. Введем СК следующим образом. Положим x1 = Фх(х, y, z), x2 = Ф2(х, y, z), x3 = T(x, y, z), причем линии пересечения поверхностей Ф1(x, y, z) = const и Ф2^, y, z) = = const c эквипотенциальной поверхностью S3(x3 = T(x, y, z) = const) являются линиями кривизны на поверхности S3, т. е. линиями на S3, касательные к которым в каждой точке принадлежат одной из двух ортогональных плоскостей главных нормальных сечений. Локальный базис этой СК образован векторами e1 = УФ1, e2 = УФ2, e3 = = -B0. Коэффициенты Ламе hn = |en |-1 связаны с диагональными элементами метрического тензора: h -2 =

hn = gnn.

В силу бездивергентности магнитного поля B0 элемент магнитного потока d% = B0 ■ dS3 в силовой трубке dx 1dx2 сохраняется вдоль трубки. Учитывая, что B0 = -e3 и элемент площади сечения силовой трубки dS3 = h1dx 1h2dx 2h3e3, получаем выражение для элемента магнитного потока

dX = --"rh dx1 dx2.

h3

Из сохранения магнитного потока вытекает, что отношение h1h2/h3 постоянно вдоль силовой трубки. Пусть на какой-нибудь эквипотенциальной поверхности h1h2/h3 = 1, тогда во всем рассматриваемом объеме имеет место равенство

-з = hih2.

(2)

ными уравнениями по продольной координате х3, играющими роль нелокальных дисперсионных соотношений. При этом каждый из этих двух случаев характеризуется различной поперечной структурой колебаний. Для определенности предполагаем более резкое изменение альвеновской скорости вдоль координатной линии х1 по сравнению с изменением по х2. Один класс возмущений соответствует случаю, когда изменение поля колебаний по координате х1 (Э1 = 1к1) происходит намного быстрее, чем по координате х2 (Э2 = гк2) (т.е. |к11 > |к21), в другом, - наоборот, возмущение быстро меняется вдоль координатных линий х2 (т.е. |к21 > |к11).

Покажем, как в этих важных предельных случаях от полной системы (3) отщепляется система уравнений, описывающая колебания альфвеновского типа, в которых В3 —- 0. Магнитозвуковые колебания, в которых компонента продольного магнитного поля В3 конечна, рассматриваться не будут.

Полагая к1 —► из уравнений (3) получим

E2

0, B3

0 (но k1E2 и k1B3 не обязаны стре-

миться к нулю), при этом, в силу первого уравнения (3), также В1 —► 0. В результате имеем систему уравнений для компонент В2 и Е1 (второе и четвертое уравнения системы (3))

2 2 -2 г юН1 В2-д3Е1 = 0, тН2 УАЕ1- д3В2 = 0,

или, после исключения В2, уравнение второго порядка

2

К К ю

— d3 2 д3 + —

v-2 hi

V

E1 = 0.

(4)

AJ

При учете соотношения (2) в выбранной СК уравнения (1) для отдельной временной гармоники ^ ехр(-гЮ) можно записать покомпонентно в виде

г юН2 В1 + д3 Е2 = 0,

г ю Н1 В2- д3 Е1 = 0,

г'юВ3- д1Е2 + д2Е1 = 0, (3)

2 -2

гюН2 УАЕ1- д3В2 + д2В3 = 0,

2 -2

г юн2 уа е2 + д3В1- д1 В3 = 0,

где дп = д/дхп.

Исследование спектральной задачи для МГД-колебаний в неоднородной замкнутой плазменной системе показало [13, 14], что спектральные свойства колебаний альфвеновского типа определяются двумя обыкновенными дифференциаль-

Альфвеновские колебания, описываемые уравнением (4), будем называть модой 1. Они имеют поляризацию, при которой электрическое поле направлено по х1, а возмущение магнитного поля и смещение плазмы - вдоль координатной линии х2. Эти колебания преимущественно возбуждаются крупномасштабными (с малыми к2) источниками.

В случае возмущений, быстро меняющихся в направлении координаты х2 (к2 —► имеем в уравнениях (3) Е1 —► 0 (но к2Е1 и к2В3 не обязаны стремиться к нулю), при этом, в силу первого уравнения (3), также В2 —► 0. В результате отщепляются первое и пятое уравнения, образуя систему

i ю h2 B1 + д3 E2 = 0,

i ю h2 VA2 E2 + д3 B1 = 0,

эквивалентную уравнению второго порядка

2

1 л 1 л ю —дз 2дз + —

hi h2 Vaj

E2 = 0.

(5)

Уравнение (5) определяет альфвеновские колебания с поляризацией, отличной от поляризации моды 1: электрическое поле направлено по координате х2, а возмущение магнитного поля и смещение плазмы - по х1. Назовем их модой 2. Эти колебания преимущественно возбуждаются локальными (с большими к2) источниками, например кинетическими неустойчивостями горячей компоненты плазмы [9, 10, 15].

В [13, 14] было показано, что дифференциальные уравнения (4) и (5), дополненные необходимыми краевыми условиями, определяют спектр колебаний альфвеновского типа даже в трехмерно неоднородном случае.

Уравнениям (4) и (5) можно придать инвариантную форму [16], в которой явно выделено влияние геометрического фактора - искривления магнитного поля - на распространение альфве-новских волн. Введем наряду с х3 продольную координату ^ - расстояние вдоль силовой линии. Замена переменной ds = Н3ёх3 в уравнениях (4) и (5) приводит их, с учетом соотношения (2), к виду

2 , 3

[dss + (к- k 2 я + ю2 У-2 ] E = 0,

[dss + (K2- K i я + Ю2 У-2 ] E2 = 0,

(6)

+

Ю

У

(1)

Ei = 0,

(7)

а уравнение (5) после замены dn = h2 dx принимает вид

д I — dnn + [ (2)

VA

E2 = 0.

(8)

Модифицированные альфвеновские скорости в уравнениях (7) и (8) определяются соотношениями

vA 1:1 = h VA =

i

Д2)

h2

a 7 уа' = yA =

h2 A hi h2V^0p

Таким образом, распространение альфвеновских волн в криволинейном поле можно описать уравнениями (7) и (8), подобными уравнению в прямом поле, но с заменой УА на модифицированные

альфвеновские скорости У<А1 и VA.

Уравнения (6) наводят на мысль, что наиболее эффективное отражение альфвеновских волн от области искривления магнитного поля будет происходить в случае наибольшего различия главных кривизн K1 и K2. Для кривизн одного знака это имеет место при K2 <§ Kj. Поэтому в следующем разделе изучается предельный случай плоско-параллельного поля B0(r), когда K2 = 0. При этом мода 1 является тороидальной модой, а мода 2 - по-лоидальной, как их принято называть в геофизике.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ АЛЬФВЕНОВСКИХ ВОЛН В ДВУМЕРНОЙ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ КОНФИГУРАЦИИ

Приведем некоторые общие соотношения, описывающие геометрию двумерного плоскопараллельного поля и распространен

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»