ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 75. Вып. 5, 2011
УДК 539.3
© 2011 г. Е. А. Лопаницын, Е. А. Матвеев
О ВОЗМОЖНОСТИ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ПОДТВЕРЖДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВНЕШНЕГО КРИТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
В геометрически нелинейной постановке решается задача об устойчивости упругих, изотропных, тонкостенных цилиндрических оболочек с малыми начальными неправильностями формы, находящихся под действием внешнего давления. В постановке задачи используются уравнения, идентичные уравнениям Маргерра для пологой цилиндрической оболочки. Решение строится методом Релея—Ритца с аппроксимацией перемещений точек срединной поверхности оболочки двойными функциональными суммами по тригонометрическим и балочным функциям. Получающаяся при этом система нелинейных алгебраических уравнений решается методами продолжения. Рассматриваются случаи заделки и опирания оболочки при ее нагружении боковым и всесторонним равномерным давлением. В качестве начальных неправильностей оболочки используются ее прогибы из предельных точек закритических ветвей ее траектории нагружения. Перебор разных форм начальных неправильностей при их максимальных величинах до 30% толщины оболочки позволил получить практически весь диапазон ее экспериментально найденных критических давлений.
1. Введение. Один из важнейших результатов полуторавекового развития теории устойчивости тонкостенных упругих цилиндрических оболочек под действием внешнего равномерно распределенного давления — формула Саусвелла—Папковича (1913— 1929 гг.) для наименьшего критического давления
Здесь — безразмерное внешнее давление, ц — параметр тонкостенности, V — коэффициент Пуассона, Е — модуль упругости, q — внешнее поперечное давление, Я — радиус оболочки, к — ее толщина, Ь — ее длина.
Эта формула была получена для свободно опертой цилиндрической оболочки с использованием предположения о безмоментности ее напряженно-деформированного состояния (НДС) перед потерей устойчивости. Она дает удовлетворительную согласованность с экспериментальными данными в смысле их средних наблюдаемых значений. Это можно видеть на фиг. 1, заимствованной из книги Э.И. Григолюка и В.В. Кабанова ([1] с. 153, рис. 8.13), где точками показаны экспериментальные значения критического давления, а прямая 2 соответствует формуле Саусвэлла—Папковича. С поправочным коэффициентом 1.5, который был получен при исследовании потери устойчивости заделанной цилиндрической оболочки, формула Саусвэлла—Папковича дает верхнюю грань (прямая 1) экспериментальных значений критического давления.
д** = _ЗП_. д* =
СГ >/3(31/4 ц-П)
Фиг. 1
Нижняя грань (кривая 3) описывается зависимостью нижнего критического давления оболочки от параметра тонкостенности оболочки.
Последний факт заслуживает отдельного обсуждения. Нижнее критическое давление не является для оболочки критическим. При этом значении давления упругая оболочка при первоначальном нагружении устойчива. Если же оболочка ранее потеряла устойчивость, то при уменьшении давления при нижнем критическом давлении она выщелкивает и приобретает осесимметричную форму. Естественно предположить, что одной из причин появления в экспериментах у реальных оболочек значений критического давления, близких к нижнему критическому давлению их идеализированных аналогов в расчетах, являются свойства оболочек, присущие их идеализированным аналогам в момент выщелкивания. Наиболее очевидное из них — малые несовершенства формы, близкие по виду к прогибам идеализированных оболочек в момент выщелкивания.
Изучением явления потери цилиндрической оболочкой устойчивости занимались многие исследователи (см., например, соответствующие обзоры в книгах [1—4]). В период с конца XIX века по 1970-е годы проводились расчеты по линейной теории при учете моментного НДС оболочки перед потерей устойчивости, учитывались различные граничные условия, использовалась геометрически нелинейная постановка задачи, предпринимались попытки объяснить рассогласование теоретических и экспериментальных данных по критическим нагрузкам начальными неправильностями оболочки как в линейной, так и в геометрически нелинейной постановках. Однако, несмотря на массу полученных результатов, проблема рассогласования теоретических и экспериментальных данных по критическим нагрузкам осталась открытой. В 1970-е годы интерес к этой проблеме практически угас; одна из причин — отсутствие на тот момент математического аппарата численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений большого порядка с особенностями в виде предельных точек и точек бифуркации. По этой причине упомянутые решения в основном были получены методами Бубнова, Бубнова— Папковича и Релея—Ритца в низших приближениях, а начальный прогиб, как правило, принимался подобным форме выпучивания.
В настоящее время наличие такого математического инструмента, как методы продолжения [5—7], позволяет устойчиво, с заранее заданной погрешностью решать подобные задачи. Цель работы, во-первых, исследование в рамках единого подхода процесса деформирования цилиндрических оболочек под действием внешнего давления при учете потери ею устойчивости и закритического поведения, а во-вторых, совершенствование методов непрерывного и дискретного продолжения, являющихся основой применяемого единого подхода.
2. Постановка задачи. Для описания процесса деформирования цилиндрической оболочки под действием внешнего давления используются соотношения
теории пологих оболочек, основанные на квадратичном законе описания ее деформаций:
Ц,х )2
ехх = и,х +-—+ ц,х ц,х , кхх = -ц,хх
XX ,х 2 хх 'хх
ехв = и, х + ^ + + + ^8, кх0 =-Цха (2.1)
Я Я Я Я Я
е и,е ц, (ц,е)2 , ц,е ц,е ^ ц,ее
еее +-Т +-2—, кее =--2
Я Я 2Я1 Я2 Я2
где x — продольная координата точек оболочки (0 < x < Ь), 9 — ее окружная координата (0 < 9 < 2п), u — продольные перемещения точек срединной поверхности оболочки, и — их окружные перемещения, w — прогиб оболочки, Ц — ее начальный прогиб.
Составляющие НДС оболочки считаются непрерывными функциями координат x и 9 точек ее срединной поверхности, которые доставляют минимум полной энергии деформации оболочки, равной разности потенциальной энергии деформации П и работы приложенной к оболочке внешней нагрузки A. Здесь
Ь 2п
п=2 и
2
о о
е2 + 2у еххеаа +1—^ еХа + е™
+ДкХх + 2vKxxKee + 2(1 - v)кXe + Ке0]} Яйхй%
Ь 2п 2п (2.2)
А = дЯ 11 wdxd0 +1 дЯ21 [и(0,0) - и(Ь, 0) ]^0
0 0 о
]) - Ек3 в = Ек
12(1 -V 2)' 1 -V2
B — жесткость стенки оболочки на растяжение—сжатие, D — ее цилиндрическая жесткость.
Такая постановка задачи соответствует широко известным уравнениям равновесия Маргерра.
3. Дискретизация задачи методом Релея—Ритца. Для решения задачи о деформировании цилиндрической оболочки перемещения точек ее срединной поверхности и ее малые начальные прогибы представляются двойными функциональными суммами
К- Ка Ка
и = ^и-и (%) + "^иаищ (%)соз и;е, и = '^У1аиат. ©зт и;9,
1=1 1=1 1=1
К- Ка
Ц = (%) + ©С08 п-в (3.1)
1=1 1=1 К- Ка
Ц = ХЖЦ (%) + ©С08 пв % = X 1=1 1=1 Ь
Слагаемые с верхним индексом 5 — осесимметричные составляющие решения, а с верхним индексом а — неосесимметричные, п1 — номера неосесимметричных гармоник, и/, и", V", Ж/ и Ж" — искомые обобщенные перемещения, Ж/ и Ща — задавае-
мые коэффициенты представления малого начального прогиба оболочки, щ (£), u",©,
©, w¡ © и w^.© — базисные функции. В качестве этих функций, вид которых определялся аналогично указанному ранее [8], использованы тригонометрические синусы и косинусы, а также балочные функции
S JS • Sr , T)S StL
u¡ = A¡ sin viq + B¡ cos viq
s j-i S • Sr T^s Sr f-iS (1-H.) ttS 1
w¡ = E¡ sinq + Ft cosq + G¡e y '+ Hte , i = 1,2,...,Ks
a .a • a^ na a? a sia • a^ j^a a?
ui = Ai sin vi q + B¡ cos Vi q, ui = Ci sin цi q + D, cos цi q
a j-^a • a? ra ar s^a -ю"(1-£) TTa -©f£ Л ~ Ts
w¡ = E¡ sinю,q + Fi cosq + G¡e y '+ Hte , i = 1,2,...,Ka
jS r,s т-т-a т-т-a s s a
где Ai, Bt, ... И i, ..., И i — постоянные, которые вместе с параметрами v,, ю,, ..., ю, определяются из граничных условий, если это возможно, или из их упрощенного в соответствии с указанным ранее [8] аналога.
В качестве условий закрепления оболочки рассмотрены классические варианты граничных условий, наиболее близкие к часто встречающимся в экспериментальных работах. Это условия типа S4 (опирание) с возможностью сближения опорных контуров в осевом направлении и нагружением оболочки всесторонним давлением
u(0,9) = Uо, u(L, 9) = -Uо или Nxx(0,9) = NXX(L, 9) = -qR/2 (3.2)
и = w = w, xx = 0 при x = 0 и x = L
условия типа С3 (защемление) с нагружением оболочки давлением только по боковой поверхности
Nxx = и = w = w, x = 0 при x = 0 и x = L (3.3)
и условия типа S3 (опирание) с таким же способом нагружения
Nxx = и = w = w, xx = 0 при x = 0 и x = L (3.4)
Здесь Nxx — удельные нормальные усилия.
Отметим, что случай всестороннего сжатия оболочки внешним давлением при ее защемлении на торцах с возможностью их продольного перемещения был рассмотрен ранее [9].
При реализации процедуры Релея—Ритца перемещения (3.1) точек срединной поверхности оболочки в виде деформаций и кривизн (2.1) сначала подставляются в выражения для потенциальной энергии П деформации оболочки и работы А внешней нагрузки (2.2), а затем для них записывается вариационное уравнение Лагранжа 8(П — А) = 0 с
варьированием обобщенными перемещениями US, U" , Vta, W¡S и W¡a. В результате получается система нелинейных алгебраических уравнений, которая в матричной форме имеет вид
f(x) = 0 (3.5)
Вектор f составлен из частных производных полной потенциальной энергии П — А деформации оболочки по ее обобщенным перемещениям U¡ , U,a, V", WiS и W", а вектор
5 Прикладная математика и механика, № 5
неизвестных х составлен из этих перемещений с добавлением внешнего поперечного давления д:
х = (и№1\..и5кЖ1и1ау1аЩа...иаку1Ж1д)Т
4. Решение системы нелинейных алгебраических уравнений равновесия методами продолжения. Система нелинейных алгебраических уравнений (3.5), порядок которой здесь и далее считается равным п, имеет особенности решения в виде предельных точек и точек
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.