ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 76. Вып. 4, 2012
УДК 531.36:531.539
© 2012 г. А. П. Маркеев
О ВРАЩЕНИЯХ МАЯТНИКА, ВОЗБУЖДАЕМЫХ ВЫСОКОЧАСТОТНЫМ ГАРМОНИЧЕСКИМ ИЗМЕНЕНИЕМ ЕГО ДЛИНЫ
Рассматривается движение математического маятника, длина которого изменяется со временем по заданному гармоническому закону с частотой, которая велика по сравнению с характерной частотой малых колебаний маятника постоянной длины. В основе исследования лежит метод канонических преобразований и полученные ранее результаты по периодическим движениям Пуанкаре в близких к интегрируемым гамильтоновых системах с одной степенью свободы [1]. Показано существование периодических движений маятника, близких к его вращениям с угловой скоростью, среднее значение которой по времени кратно частоте изменения длины маятника. Получено явное выражение периодических движений в первом приближении по малому параметру. Решена нелинейная задача об устойчивости периодических движений по Ляпунову.
Задаче о движении маятника, длина которого изменяется по гармоническому закону, посвящено довольно много исследований (см., например, публикации [2—7] и приведенную в них библиографию). В частности, исследованы некоторые вопросы о существовании и устойчивости периодических вращений маятника [2, 5, 7, 8].
1. Введение. Пусть маятник представляет собой материальную точку веса mg, прикрепленную к концу невесомой нерастяжимой нити, длина которой Щ — заданная функция времени. Движение происходит в фиксированной вертикальной плоскости, ось вращения маятника горизонтальна и неподвижна.
Предполагается, что во все время движения нить не ослабевает. Если через ф обозначить угол, который составляет нить с направлением силы тяжести, то условие натянутости нити может быть задано соотношением
й 21 Ай Ф\2
g cos ф> — -l l-f) (1.1)
dt \dt!
Пусть длина нити меняется по гармоническому закону с частотой ю: l = l0(1 + a cos шt), 0 < a < 1
где l0 > 0 — среднее значение длины нити, a — безразмерный постоянный параметр. Уравнения движения маятника будем записывать в форме канонических уравнений
Гамильтона. Пусть рф — обезразмеренный при помощи множителя ml0 to обобщенный импульс, соответствующий углу ф. Если за независимую переменную принять безразмерную величину т = w t, то функция Гамильтона запишется в виде
2
PL
2(1 + a cos т)2 to2l0
G =-—-^ -^(1 + a cos t)cos ф, ц = -g— (1.2)
Условие (1.1) принимает вид неравенства
(1 + a cos т) ) + Мcos Ф + а cos т> 0 (1.3)
которое для решения ф(т) уравнений движения должно выполняться при любых значениях т.
Уравнения движения
dq = p- dp-
dx (1 + a cos t)2' dт
—- =-ц(1 + a cos t)sin ф (1.4)
допускают два частных решения: ф = п, pv = 0 и ф = 0, pv = 0, соответствующие расположению нити маятника вдоль фиксированной вертикали, пересекающей его ось вращения. Первое решение не удовлетворяет требованию (1.3) и соответствующее ему движение не реализуется в рассматриваемой задаче. Второе же решение, согласно неравенству (1.3), физически возможно, если ^ > a. Задача об устойчивости этого решения в первом (линейном) приближении исследовалась ранее [6, 7]. При построении областей устойчивости и неустойчивости последнее неравенство в расчет не принималось, так как предполагалась физическая реализация маятника переменной длины, отличная от рассматриваемой здесь.
Показано [8], что существуют частные решения уравнений (1.4), удовлетворяющие требованию (1.3) и отвечающие равномерным вращениям маятника, когда ф = ±т. Равномерные вращения существуют, если ц = 2a, 0 < a < 1/4. Решена также нелинейная задача об устойчивости этих равномерных вращений.
В случае 0 < a < 1 и при учете малого вязкого трения было рассмотрено [5, 7] несколько случаев вращений маятника, близких к равномерным.
Цель статьи — решение задачи о существовании и устойчивости периодических вращений маятника в предположении о том, что параметр ^ в функции Гамильтона (1.2) мал. Средняя угловая скорость исследуемых вращений кратна частоте ю, с которой изменяется длина /(() нити маятника.
2. О существовании периодических вращений. При исследовании движения маятника в случае малых значений ^ будем, помимо т, использовать в качестве независимой переменной также величины £ и п, определяемые равенствами
2 3/2
ñ = (1 - a) 2, ^0) = 0; dn = i^ac^, n(0) = 0 (2.1)
dx (1 + a cos t) dx ^ - a 2
Величины т, £ и п — аналоги истинной, средней и эксцентрической аномалий в теории кеплеровских движений в небесной механике [9]. Отметим, что имеют место равенства
1 - а 2
1 + a cos т =-, ^ = n - a sin n (2.2)
1 - a cosn
Последнее равенство — аналог уравнения Кеплера в задаче двух тел.
Сделаем в функции Гамильтона (1.2) каноническую (с валентностью, равной (1 - a2)-3/2) замену переменных ф, pv ^ w, I по формулам
л 2ч3/2 j
ф = w, p<p = (1 - a ) I
(2.3)
а за независимую переменную примем величину £. В новых переменных движение маятника описывается каноническими уравнениями с функцией Гамильтона вида
H = Ho + (2.4)
где
3
и /ТЛ 1 т2 Tri к\ (1 + acos т) „ о
Ho(I) = -1 , Hi(w,£) = —-Г^-cosw (2.5)
2 (1 - a )
В правой части последнего равенства т — функция £, определяемая из первых двух соотношений (2.1).
Невозмущенное движение. Величины I, w — это переменные действие — угол в невозмущенной системе, которой отвечает функция Гамильтона (2.4), если в ней параметр ^ положить равным нулю. При ц = 0 имеем
I = p, w = + q (2.6)
где p, q — произвольные постоянные. Величину p считаем отличной от нуля. Решение (2.6 ) описывает вращения маятника, причем p ю — среднее значение по времени величины угловой скорости d ф/dt. Так как вращения маятника по и против часовой стрелки физически равноправны, далее будем полагать, что p > 0.
Пусть p = m/n, где m и n — взаимно простые числа, не равные нулю. Тогда решение (2.6) будет периодическим: при возрастании £ на величину периода 2nn/m угловая переменная w получает приращение 2п.
Усреднение возмущающей функции ^H1. Пусть параметр ^ отличен от нуля, но достаточно мал. Задачу о существовании и устойчивости 2п n-периодических решений возмущенной системы с функцией Гамильтона (2.4), переходящих при ц = 0 в решение (2.6), будем исследовать при помощи ранее разработанного алгоритма [1]. Для его применения надо предварительно вычислить среднее значение функции H1, которая определена последним равенством (2.5), на невозмущенном движении (2.6):
2пп
(Hi) =-L J Hi (mа + q,t)dS
2nn J \n !
o
Если n ф 1, то (H^ = 0. А при n = 1 имеем
(Hi) = -Tm(a)cos q; m = 1,2,... (2.7)
Введено обозначение
2n 3
_ , . 1 r(1 + a cos т) k ,k
Tm(a) =— I"-TicoS m d^
2л 0 (1 - a2)3
или, если перейти от интегрирования по £ к интегрированию по т,
2п
Tm(a) =-1 2 3/2 J (1 + a cos t)cos m^ di (2.8)
2n(1 - a ) 0
Для вычисления и анализа функций Tm(a) преобразуем правую часть равенства (2.8) подобно тому, как это делалось ранее [10, 11] при исследовании плоских вращений спутника на эллиптической орбите. Воспользовавшись последними двумя равенства-
ми из соотношений (2.1) и формулами (2.2), перейдем в интеграле (2.8) к интегрированию по переменной п. В результате получим
2п да 2п
гг, , ч 1 rcos(mn- ma sin n), 1 r / ч r cos(k - m)n ,
Tm(a) =— I-—-2-4n = — L Jk(ma) I —--4 dn
2n 0 (1 - a cos n)2 2n k0(1 - a cos n)
Последнее звено в этой цепочке равенств получено с использованием известного [12] разложения
да
cos(mn - ma sin n) = ^ Jk(ma)cos(k - m)n
k=-да
где Jk (x) — функция Бесселя первого рода с индексом k. Стоящий под знаком суммы интеграл можно вычислить [11], применив теорию вычетов. Окончательно получим следующее представление функции Tm (a) в виде ряда:
да
Tm (a) =-X °k(m, a)Jk(ma)zk-m| (2.9)
л 2.3/2 — (1 - a ) k=-да
ck(m, a) = 1+|k - m|V 1 - a2, z = 1
a
Из разложения (2.9) следует, что при малых а функция Тт(а) — величина порядка а" Начальные отрезки рядов функций Тт(а) для 1 < т < 5 будут такими:
Т 3 , 27 з , 261 5 ,
Ti = -a +--a +--a +...,
1 2 16 128
rr 9 2 , 7 4 , 141 6 T2 = - a + - a + —— a
64
rj, 53 3 , 393 5 , T3 = — a + a + ..., 3 16 256
rr 77 4 , 129 6 , T4 = — a л--a + ...,
4 16 160
1773 5 T5 =-a + .
256
Анализ показывает, что Tm(a) — положительные монотонно возрастающие функции a.
2 —3/2
При a ^ 1 они неограниченно возрастают, причем Tm(a) — (1 - a ) для всех m > 1. Для каждого фиксированного a функция Tm монотонно убывает с ростом индекса m. На фигуре показаны графики функций Tm для m = 2, 25 и 100.
Проверка условий существования периодических вращений. Так как Tm(a) ^ 0, то уравнение <Э( Hi¡ /dq = 0 эквивалентно уравнению sin q = 0 и, следовательно, имеет два решения q = sn, где s = 0, 1 (другие целые s не приводят к новым решениям, физически отличным от этих двух). При этом
32 <#1>_
dq
= (-1) Tm(a) * 0
Замечая еще, что д2Н0(р)/др2 = 1 ^ 0, получаем, что, согласно имеющимся результатам [1], существуют два аналитических по ^ решения канонических уравнений с функцией Гамильтона (2.4), переходящих при ц = 0 в решения I = т, ы = т£ + я п. Эти решения 2п-периодичны по т. Для них можно получить такое аналитическое представление:
I = m + ц(-1)' Приняты обозначения
/г(2п) /1(х)
2п (1 - a2f\
+ O(|i ), w = + s% +
/2(2я)
. 2п
k-f2(T)
+ O(H2) (2.10)
x У
f1(x) = J (1 + a cos x)sin m^dт, f2(y) = J-f1(x)
-dx
(1 + a cos x)
Надо еще убедиться, что решения (2.10) действительно отвечают реальным движениям маятника. Для этого надо проверить выполнение неравенства (1.3). Можно показать, что при m > 1 это неравенство выполняется (и для s = 0, и для s = 1), если только величина ^ достаточно мала.
Действительно, приняв во внимание соотношения (2.1) и (2.3), получим, что для решений (2.10) неравенство (1.3) можно переписать в виде
m2(1 - a2)3 + a cos т(1 + a cos т)3 + О(ц) > 0 (2.11)
Наименьшее возможное значение второго слагаемого в левой части этого неравенства
равняется -a(1 - a) . А поскольку m > 1, то сумма первых двух слагаемых положительна при всех значениях т. Поэтому для заданного значения a неравенство (2.11) выполняется, если величина ^ достаточно мала.
3. Об устойчивости вращений (2.10). Введем обозначения
\ -2 „ . . сл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.