ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2012, том 48, № 1, с. 119-125
ЗАМЕТКИ И ПИСЬМА
О ЗАДАЧЕ КОРРЕКТИРОВКИ КОРПОРАТИВНЫХ СЧЕТОВ
© 2012 г. М.И. Летавин1
(Череповец)
Рассмотрим множество А = [ах, ..., ап} корпоративных счетов (продукции, сырья, комплектующих, услуг и т.д.). С каждым счетом а ! А связаны входящие (дебет счета) и выходящие (кредит счета) стоимостные потоки. Таким образом, возникает взвешенный орграф (Нефедов, 1992) с множеством вершин А, множеством ребер Г с А х А и положительными весами с: Г ^ Я. Так что (а,-, а]) ! Г означает, что с кредита счета а, есть поток на дебет счета aj и величина этого потока с(а, а]). Правила бухгалтерского баланса требуют, чтобы (а, а) С Г, а ! А (граф не должен иметь петель) и выполнялось равенство сумм по кредиту и дебету счета (входящий и выходящий потоки для данной вершины равны):
/ с(а, Ь)= / с(Ь, а), а ! А. (1)
(а, Ь) ! Г (Ь, а) ! Г
Матричное представление графа мы получим, если положим С = {С]}г]=1 п, где с] = с(а,, а]), (а,, а]) ! Г, су = 0, (а,, а]) С Г. Матрица С неотрицательна и имеет нулевые диагональные элементы. Равенство потоков (1) примет вид
/ск,, к =1,..., п. (2)
у=1 , =1
Наряду со стоимостными потоками корпоративный учет предусматривает материальные потоки, оцениваемые в нормативных единицах (тонны, штуки, метры и т.д.), так что возникает еще один взвешенный орграф ГЧ с Г, для которого веса 4: ГЧ ^ Я выражают материальные потоки. При этом предполагается, что по кредиту данного счета учитываются потоки только одного вида продукции. Тогда желательно, чтобы стоимостная оценка потоков одного вида продукции в балансе (1), (2) вычислялась по одинаковой цене, т.е.
Ч (а, Ь) Ра = с (а, Ь), а ! А, (а, Ь) ! Г?. (3)
Требование (3) приводит к системе уравнений относительно цен ра для тех вершин орграфа Г у которых есть выходящие ребра:
/ ч(^ Ь)Ра + / с(а Ь)= / ч(Ь, а)рь + / с(Ь, а), а ! А. (4)
(а, Ь)! Гч (а, Ь)! Г\Г? (Ь, а)! Г? (Ь, а)! Г\Г?
В уравнениях (4) принято обычное предположение о равенстве нулю сумм по пустому множеству элементов. Таким образом, если счет не содержит материальных потоков ни по кредиту, ни по дебету, то равенство (4) превращается в (1), а в противном случае - в уравнение относительно цен. Решение такой системы уравнений и построение баланса на базе найденных цен по формулам (3) нормативно используется в корпорации ОАО "Северсталь" на временных горизонтах от одного дня и выше.
Для решения вопросов разрешимости системы (4) перейдем к матричному представлению материальных потоков при помощи матрицы Q = {Ч,]},]=1 п, где Ч] = ч(а,, а]), (а,, а]) ! ГЧ, Ч] = 0, (а,, а) С ГЧ. За счет перенумерации вершин можно считать, что материальные потоки, для которых необходимо вычислять цены, относятся к ребрам, выходящим из первых к вершин. Обозна-
1 Автор благодарен В.И. Смирнову за консультации при постановке задачи.
чим эти цены черезр1,.,рк. Точно так же с помощью перенумерации вершин добиваемся, чтобы вершины, имеющие только входящие ребра материальных потоков, следовали сразу за первыми к вершинами и обозначим их число через I. Тогда неизвестные цены входят только в уравнения (4) для первых т = к + I вершин:
т п к п
/дуРв + / Су = + / с^ 5 =1,..., k, (5)
] =1 ] = 1, Чв] = 0 i =1 i =1, д^ = 0
п к п
/Су = /ЧвРг + / Сis, 5 = к +1,., т. (6)
у = 1 i = 1 i = 1, Чв = 0
Для вершин с номерами 5 = т + 1,., п уравнения приобретают вид равенств (2) и не участвуют в операции коррекции. Однако потоки этих вершин используются в уравнениях (5) и (6) за счет входящих и выходящих стоимостных потоков. Уравнения (5), (6) образуют систему т уравнений с к неизвестными. Так что в общем случае система переопределена и задача некорректна (Тихонов, 1986).
Обсудим соотношения между к, т и п, при которых имеет смысл исследовать систему. Поскольку Гд Ф 0, то должно быть хотя бы одно ребро с материальным потоком, следовательно, к > 0. Поэтому в общем случае 0 > к < т < п. С точки зрения структуры системы уравнений различаются только случаи к = т и к < т. В первом случае - назовем его особым - система состоит только из уравнений (5), а во втором - назовем его общим - из уравнений (5) и (6). Особый случай означает, что в графе Гд каждая из вершин содержит выходящее ребро. В общем же случае есть вершины, которые содержат только входящие ребра.
Для исследования системы (5), (6) нам понадобятся некоторые обозначения. Матрица Q орграфа Гд имеет нулевые строки с номерами от к + 1 до п, так как эти вершины не содержат выходящих материальных потоков, и нулевые столбцы от т + 1 до п, так как эти вершины не содержат входящих материальных потоков. Таким образом, в уравнениях участвуют только элементы матрицы В = {Чу}1=1 к.]=1 т. В особом случае матрица В квадратная, а в общем случае представим ее в виде блоков В = (ВЕ), где В = {д^^..^, Е = {д!>}!=1;.,к;у=к+1..,т - блоки соответственно размеров к х к и к х I. Определим диагональную матрицу "полных выходящих пот
токов" Q = diag{Q 1,., Qk}, Qs = /д5у, 5 = 1,., к, а так же строку элементов столбцовых сумм
]=1
п
Е = (/[,...,/т), /у = / Су, у = 1,., т, и столбец элементов строковых сумм Я = (г1,., гт)Т,
i=1, ду=0
п
г1 = / Су. Наконец, через Р = (р1,., рт)Т обозначим столбец неизвестных цен. В общем слу-
i=1, ду=0
чае система (5), (6) примет вид
(в - ВТ)Р = ЕТ - Я, (7)
где матрица в размера т х к получена добавлением I нулевых строк снизу к матрице Q. По построению матрица коэффициентов в - ВТ обладает свойствами:
1) диагональные элементы матрицы равны Q, в = 1,., к;
2) недиагональные элементы матрицы неположительны;
3) сумма элементов каждого столбца равна нулю.
Из свойства 3 вытекает, что, складывая все уравнения, получим равенство
тт
0 = / - /. (8)
у=1 i=1
Таким образом, мы получили необходимое условие разрешимости системы (5), (6).
Теорема 1. Для совместности системы (5), (6) необходимо выполнение равенства (8).
Замечание 1. Необходимое условие (8) важно с точки зрения контроля при планировании задания на корректировку и означает, что необходим баланс строковых и столбцовых сумм стоимостных потоков.
В дальнейшем важную роль будет играть структура матрицы В. Предположим, что она является неразложимой (Хорн, 1989, с. 432). Это условие означает, что сужение орграфа на первые к вершин является связным. Другими словами, любые два счета, по которым назначаются цены, должны корреспондировать через цепочку материальных потоков. Приведем некоторые вспомогательные результаты о неразложимых матрицах.
Лемма 1. Пусть квадратная матрица V = {иу}гу-=1;. ,п неразложима, имеет нулевые диагональные элементы ии = 0, I = 1,..., п и удовлетворяет следующему условию для сумм столбцов
п
V у = иуу |<1, у = 1,., п. Причем для некоторого столбца это неравенство строгое: V5 < 1.
у=1
Тогда: 3
а) сходится ряд Н = / V';
г=0
б) матрица I - V неособенная и (I - V)-1 = Н;
в) если V неотрицательная, то (I - V)-1 неотрицательная.
Доказательство. Обозначим через спектральный радиус матрицы V. Тогда р < тах V у / V
1 < у < п
(Хорн, 1989, с. 359). Докажем, что р < 1. Если Г <1, то р > Г <1. Если Г = 1, то рассмотрим объ-
п
единение кругов Гершгорина Z = ' {г: 12 | < Vу} = {2. | г | < 1}. Если бы нашлось собственное чис-
у =1
ло А матрицы V с единичным модулем | А | = 1, то (Хорн, 1989, с. 426) оно принадлежало бы всем окружностям Гершгорина. Это невозможно, так как V,, < 1. Следовательно, р < 1. Поэтому сходится ряд Н = / V', матрица I- V обратима и (I - V)1 = Н. Если V> 0, то (I - V)-1 = / V' >0. ■
'=0 '=0 Лемма 2. Пусть квадратная матрица Н = {Ну},^.^ неразложима и удовлетворяет усло-
п
вию диагонального доминирования для столбцовых сумм Vу = / | Ну |< Ну, Ну > 0, у = 1,., п.
I =1, Щ
Причем для некоторого столбца 5 это неравенство строгое V, < Н,. Тогда:
а) Н неособенная;
б) если Ну < 0, I Фу, то Ннеотрицательная.
Доказательство. Представим матрицу Н в виде Н = (I - V) Н, где Н = diag{Н 11,., Нпп},
V = (Н - Н)Н 1. Тогда матрица V удовлетворяет условиям леммы 1 и, следовательно, I - V неособенная. Поэтому Н неособенная и доказано утверждение а). Если выполнено условие утверждения б), то матрица V неотрицательна и по лемме 1 матрица (I - V)1 также неотрицательна.
Этим доказана неотрицательность матрицы Н х = Нз(I - V)-1. ■
Запишем систему (7) в блочном виде, соответствующем системе (5)-(6):
(й- ВТ)Р = (РТ - К)с, -ЕТР = (РТ - К)л (9)
где (РТ - К)с - первые к компонент столбца, а (РТ - К)с - последние I компонент столбца. Первое из уравнений (9) соответствует уравнениям (5), второе - уравнениям (6).
Теорема 2. Пусть матрица В неразложима, I = 1 и выполнено условие (8). Тогда:
а) система (7) имеет единственное решение;
б) если столбец (РТ - К)с неотрицателен (все компоненты неотрицательны), то столбец цен Р неотрицателен;
в) если столбец (ЕТ - К)с положителен (все компоненты положительны), то столбец цен Р положителен.
Доказательство. Так как I = 1, то второе из уравнений (9) скалярное. Матрица коэффициентов первого уравнения (9) имеет вид
д - б1
б1 -<?21 ••• -<7к1
~Ч12 б 2 •■■ -Чк2
~Ч1к -Ч2к •■■ б
и, следовательно, для главной диагонали выполнено условие доминирования по столбцам
к +1 к
б* = - 5 = 1, — , к причем хоть для одного столбца это неравенство строгое, посколь-
р=1 р=1
ку матрица (в данном случае столбец) Е ненулевая. В силу леммы 2 единственное решение этого
уравнения Р = (д - БТ)-1(Ет - К)с. Второе уравнение (9) является следствием первого в силу условия (8), и, следовательно, уравнение (7) имеет единственное решение. Этим доказано а). Если (ЕТ - К)с - 0, то все сомножители в формуле для Р неотрицательны. Поэтому столбец Р неотрицателен и справедливо б). Наконец, если (ЕТ - К)с > 0, то и Р > 0, поскольку матрица (б - Б1)-1 не может иметь нулевых строк в силу невырожденности. ■
Замечание 2. Контроль за тем, чтобы суммы столбцов были больше сумм строк £ > гг, г = 1, — , к, позволяет гарантировать положительность цен. При этом надо иметь в виду, что обязательно /ш < гк+1 в силу условия баланса (8).
В случае I > 1 дело обстоит так же, как для I = 1, но условие (8) уже не гарантиру
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.