ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 5, 2004
УДК 531.36:62-50
© 2004 г. А. Н. Сиротин
О ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ПО ЭНЕРГОЗАТРАТАМ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ С ОДНОВРЕМЕННЫМ ТОРМОЖЕНИЕМ СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА С НЕФИКСИРОВАННЫМ ВРЕМЕНЕМ
Изучаются некоторые особенности решений задачи оптимального управления пространственной переориентацией и одновременным полным торможением начального вращения абсолютно твердого сферического симметричного тела для случая нефиксированного времени. Управлением служит главный момент приложенных внешних сил. Качество управляемого процесса оценивается интегральным функционалом, который характеризует суммарные энергозатраты, необходимые для осуществления маневра. В частном случае такой функционал имеет вид широко распространенного интегрально-квадратичного. Установлено, что задача оптимального по энергозатратам управления переориентацией и одновременным торможением твердого тела с нефиксированным временем в классе измеримых управлений решений не имеет почти для всех начальных условий. Построена явным образом одна из возможных минимизирующих последовательностей. Показано, что наименьшие значения целевых функционалов в задаче переориентации с торможением и в задаче полного торможения начального вращения совпадают. В частности, переориентации сферически симметричного тела из положения покоя в положение покоя соответствуют нулевые минимальные энергозатраты, если время окончания процесса не фиксировать. При дополнительном предположении о строгой нормированности доказана единственность решения задачи оптимального торможения.
Автором [1, 2] изучались геометрические особенности оптимальных разворотов в положение покоя симметричного тела и исследовались некоторые свойства соответствующих га-мильтоновых систем, возникающих в результате применения формализма принципа максимума. К настоящему времени известно большое число работ, посвященных анализу задач оптимального управления угловым движением. Однако в силу существенной нелинейности таких задач результаты, относящиеся к проблеме существования решений и доказательству их оптимальности, практически отсутствуют. В данной работе условия существования решения в задаче оптимальной переориентации с одновременным торможением начального вращения получены на основе преобразований деформации времени.
1. Формулировка задачи. В качестве кинематических параметров углового движения будем использовать элементы матрицы А е 80(3) направляющих косинусов, которая описывает изменение взаимного положения связанной и инерциальной систем координат с общим началом в центре масс [3, 4]. Уравнения будем записывать в проекциях на связанные оси. Пусть ш = (ю1, ю2, ю3)т е 10 3 5(ю) - кососимметричная матрица
- вектор угловой скорости,
0 -ю3 ®2
S( ш) = ю3 0 -ю
-ю2 ю1 0
5 Прикладная математика и механика, № 5
и б К3 - внешний управляющий момент. Рассматривается пространственный маневр переориентации с одновременным торможением начального вращения сферически симметричного тела с единичным тензором инерции, который описывается краевой задачей
А (0) = В, А = -5( ы) А, А (Т) = С
(1.1)
ы(0) = V, ы = и п.в. г е [0, Т], ы(Т) = 0
Управления и(г) будут выбираться из класса измеримых функций времени. Время Т окончания процесса не фиксировано.
В качестве критерия, характеризующего величину суммарных энергозатрат для выполнения маневра, выберем четырехпараметрическое семейство функционалов вида
3 = Л Т, и, ы) = а||и||»([0, Т])Л + *||ы112з ([0, Т]),а; * > 0 Ь > 0 (1.2)
3
Норма в пространстве ¿р ([0, Т]) трехмерных функций вводится обычным образом
11 ¿3 ([0 Т ]).т
\
| |и(г)|^ц
Ч[0,Т] -
1/р
1 < р <<
ц - мера Лебега, |у и |а - векторные нормы в К3. Цель управления состоит в минимизации энергозатрат
3 ^ М (1.3)
где нижняя часть ищется по всем возможным допустимым траекториям, управлениям и времени окончания.
Параметрами являются числа р1, р2, г1, г2, диапазоны возможных значений которых приняты следующими:
1 < р1 , р2 > 0, 1 < г1 г2 > 0 (1.4)
Такой выбор семейства функционалов объясняется тем, что все они, в определенной степени, характеризуют затраты энергии, а выбор соответствующих значений параметров в большой степени зависит от исследователя и конкретных исполнительных устройств. Наиболее употребителен вариант р1 = р2 = г1 = г2 = 2, соответствующий интегрально-квадратичной задаче. Если же исполнительными устройствами служат реактивные двигатели, то более целесообразен выбор значений р1 = р2 = 1, г1 = г2 = 2, поскольку в этом случае первое слагаемое характеризует суммарный расход рабочего тела, а второе - суммарную кинетическую энергию.
Введем необходимые далее определения. Допустимым в краевой задаче (1.1)—(1.3) процессом назовем четверку
(Т, и(г), ы(г), А(г); г е [0, Т]) е [0, <~) х ¿31 ([0, Т]) х АС3([0, Т]) х АС3 х3([0, Т])
элементы которой удовлетворяют дифференциальным уравнениям, граничным условиям и условию 3(Т, и, ы) < го. Для заданных В, С е 80(3) и V е К3 через Ж(В, С, V) обозначим множество всех допустимых в задаче (1.1)—(1.3) процессов. Задача (1.1)—(1.3) состоит, таким образом, в нахождении
М 3(Т, и, ы) (1.5)
Ж(В, С, V)
и
В силу неочевидного устройства множества Ж(Б, С, V) использовать классические результаты (модификации теоремы Вейерштрасса) не представляется возможным. Поэтому далее приводятся рассуждения, позволяющие сделать определенные выводы об особенностях задачи (1.1)—(1.3).
2. Минимизирующие последовательности в задаче переориентации. Очевидно, Ж (Б, С, V) Ф 0 для любого выбора граничных условий. В нелинейной задаче (1.1)—(1.3) имеется возможность построить решение, используя пространственно-временную декомпозицию. А именно, покажем, что минимизирующая последовательность процессов может быть сконструирована как последовательность двух, следующих один за другим маневров: полное торможение и затем переориентация из положения покоя в положение покоя. Таким образом, будет подтверждена оптимальность геометрии хорошо известного допустимого в краевой задаче (1.1) решения в виде двух последовательных плоских разворотов.
Рассмотрим задачу полного торможения с нефиксированным временем
ш(0) = V, Ш = и п.в. г е [0, Т], ш(Т) = 0 (2.1)
](Т, и, шМ (2.2)
Под допустимым в задаче (2.1), (2.2) процессом будем понимать тройку
33
(Т, и(г), ш(г); Т е [0, Т]) е [0, х ^ ([0, Т]) х АС3([0, Т])
элементы которой удовлетворяют почти всюду на [0, Т] дифференциальному уравнению, условиям на правом и левом концах и для которой ДТ, и, ш) < Для заданного V е К3 через %(у) обозначим множество всех допустимых в краевой задаче (2.1) процессов. В этом случае задача оптимального управления (2.1), (2.2) состоит в нахождении тГ J (Т, и, ш).
%( V)
Снова замечаем, что %(у) Ф 0, и вводим обозначение
/(V) = М J(Т, и, ш) < ^
% (V)
Если
(Т, и(г), ш(г), А(г); г е [0, Т])
- произвольный допустимый процесс в краевой задаче (1.1)—(1.3), то соответствующий ему процесс
(Т, и(г), ш(г); г е [0, Т]) допустим в задаче (2.1), (2.2). Поэтому верно неравенство
М J(Т, и, ш) > М J(Т, и, ш) (2.3)
Ж(Б, С, V) % (V)
Далее будет показано, что, в действительности, верно равенство.
Рассмотрим сначала задачу переориентации с нефиксированным временем окончания из положения покоя в положение покоя
А (0) = Б, А = -5( ш) А, А (Т) = С
ш(0) = 0, ш = и п.в. г е [0, Т], ш(Т) = 0 (2.4)
J(Т, и, ш) ^ шГ
Покажем, что при любом выборе В, С е 80(3) верно равенство М 3( Т, и, ы) = 0
Ж(В, С, 0)
(2.5)
для чего построим соответствующую минимизирующую последовательность следующим образом.
Ясно, что Ж(В, С, 0) Ф 0, и поэтому выберем из Ж(В, С, 0) любой допустимый процесс
(Т, и(г), ы(г), А(г); г е [0, Т]) Теперь для каждого натурального к определим новый процесс
(Тк, ик(г), ык(г), Ак(г); г е [0, Тк]) по формулам
Ак(кг) = Ах(г), ык(кг) = к~1ы1 (г); ик(кг) = к^2и1(г) п.в.; г е [0, Т1 ] где
А1(г) = А(г), ы1 (г) = ы(г), и!(г) = и(г), ^ = Т
Эти формулы принимают более удобный вид, если перейти в них к новому времени т = кг:
Ак (т) = А1 (к'1 т), ык (т) = к'1 ы1(к^1т) ик(т) = к~\ (кЛ) п.в.; Тк = кТ1, т е [0, Тк]
(2.6)
Данные соотношения описывают простейший вариант деформации времени - преобразование растяжения.
Убедимся, что построенный по формулам (2.6) процесс является допустимым в краевой задаче (2.4). Действительно, условия на левом и правом концах для каждого натурального к выполнены:
Ак (0) = А1( 0) = В, Ак (Тк) = А1( Т1) = С ык (0) = к~Ч( 0) = 0, ык (Тк) = к1ы1 (Т1) = 0
Непосредственные вычисления показывают, что для построенного процесса для (п.в.) т е [0, Тк] также верны дифференциальные уравнения задачи (2.4)
йАк(т) йАА к- т) 1 1 1
Ак(т) = —= - = -5(к 1 ы1(к Ч))А1 (к Ч) = -5(ык(т))Ак(т)
йт
йт
й ык (т) 1й ы1(к т) 2 ,,-1 . ы°к(т) = к = к -—- = к и1 (к т) = ик(т)
йт
йт
Перейдем к оценке соответствующих значений функционалов. Для каждого натурального к имеем
3(Тъ иь ык)
| |ик(т)|р1 йЦ
ч[ 0, Тк] -
р2 р 1
+ Ь
| |ык(т)| а1 йЦ
ч[ 0, Тк] -
= а
| |к 2и1 (к 1 т)|у 1 ф
Ч 0, Т
Р_2 ' Р1
+ Ь
| |к 1ш1 (к 1 т)| „ф
Ч 0, Т -
ак'
Р2(1-2 рУ р1
Ч0,Т] -
Р2 Р1
+ Ьк 1
г (1- )
| |ш( ^ )1 Д Ф
ч[0, Т]
Р2 Г2
Р (1-2 Р1) Р 7 (1- г1)
акР 1 ||и Р3 + Ьк1 |
11 11 ¿р1 ([0, Т ])л 1
ш р
"Ь ([0, Т]), а
Поскольку процесс
(Т, и(г), ш(г), А(г); г е [0, Т]) был выбран из Ж(Б, С, 0), то J(T, и, ш) < те. Следовательно,
ни Рр <«>,
ьр1([0, Т])Л
ш р <те
11 "ьр ([0, Т]), а
и поэтому J(Tk, ик, шк) < те. Таким образом,
(Тк, ик(г), «к(г), Ак(г); г е [0, Тк]) е Ж(Б, С, 0) для всех натуральных к. Из условий (1.4) получаем
Р2 Р1
(1-2Р1 )< 0, ■-2(1-Г1 )< 0
Следовательно,
J(Тк, ик, шк) — 0 при к —^ те
что эквивалентно равенству (2.5).
Заметим, что минимизирующая последовательность строится по формулам (2.6) для любого начального допустимого процесса из Ж(Б, С, 0).
Перейдем к построению минимизируемой последовательности в исходной задаче (1.1)-(1.3). Пусть
{(гп, ип(г), ш„(г); г е [0, гп])}е %(V), п = 1,2,...
- произвольная минимизирующая последовательность допустимых процессов в задаче (2.1), (2.2), т.е.
J(гп, ип, шп) — /(V) при п — те (2.7)
Для каждого натурального т найд
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.