№ 4
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2014
УДК 536.21
О ЗАДАЧЕ ТИПА СТЕФАНА С ДВУМЯ НЕСТАЦИОНАРНО ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ
© 2014 г. ФОРМАЛЕВ В.Ф., РАБИНСКИЙ Л.Н.
Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет), г. Москва
E-mail: formalev38@mail.ru
В статье моделируется и аналитически решается задача теории теплопроводности в трехфазных средах с двумя нестационарно подвижными границами фазовых превращений, скорость движения которых заранее не известна и определяется из балансовых соотношений на подвижных границах. Такие задачи встречаются при проектировании тепловой защиты из композиционных материалов для гиперзвуковых летательных аппаратов, для расчетов различных тепловых аккумуляторов и охладителей от радиационного нагрева спутников, для защиты сопел твердотопливных ракетных двигателей и в других областях энергетического машиностроения. Определение координат и скоростей подвижных границ фазовых превращений сводится к решению двух трансцендентных уравнений итерационным методом Ньютона. Полученные результаты подтверждают сделанные предположения.
Ключевые слова: координаты и скорости подвижных границ фазовых превращений, задача Стефана, теплота фазовых превращений, температура, функция ошибок, трансцедентные уравнения, итерационный метод Ньютона.
ABOUT STEFAN PROBLEM WITH TWO NONSTATIONARY MOVING PHASE TRANSFORMATION BOUNDARIES
Formalev V.F., Rabinsky L.N.
Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow E-mail: formalev38@mail.ru
The problem of the heat conductivity theory with two nonstationary moving phase transformation boundaries is modelled and solved in three-phase medium by analytically way where velocities of the boundaries are not known and its are calculated from the balance rations on the moving boundaries. Such problems are met in designing of the thermal protection is made of composite for hypersonic aircrafts, in calculations for heat storages and refrigerants protecting satellites against the radiation heat, in calculations for protection of nozzles of solid-propellant rocket engines and in other areas of the power machine building. Detection of coordinates and velocities of moving phase transformation boundaries is reduced to solving two transcendental equations by Newton's iterative method. Derived results confirm made suppositions.
Key words: coordinates and velocities of moving phase transformation boundaries, Stefan problem, heat of phase transformations, temperature, error function, transcendental equations, Newton's iterative method.
Рис. 1. Распределение температур в трехфазной области с двумя внутренними подвижными границами фазовых превращений
Введение
Задачи теории теплопроводности при наличии нестационарно подвижных границ фазовых превращений (задачи типа Стефана), координаты и скорости движения которых заранее не определены, они находятся из баланса тепловых потоков на подвижных границах, в настоящее время актуальны, особенно в ракетно-космической отрасли и, в частности, при проектировании тепловой защиты из композиционных материалов для защиты теплонапряженных элементов конструкций гиперзвуковых летательных аппаратов (ЛА), сопел твердотопливных ракетных двигателей и т.п.
Подобные задачи аналитически решались в работах Карташова Э.М. [1, 2], Зарубина В.С. [3], Карслоу Г. и Егера Д. [4]. Формалева В.Ф. [5, 6] и др. В этих работах аналитически решались задачи типа Стефана в условиях, когда или скорость движения одной границы фазовых превращений известна [1—3], или имелась только одна подвижная граница [4], или задача со многими подвижными границами решалась численно [5, 6].
В данной статье поставлена и аналитически решена задача теплопереноса в области с двумя нестационарно подвижными границами фазовых превращений, разделяющими три фазы: область, незатронутую фазовыми превращениями (область 7), промежуточная область, внутри которой происходят фазовые превращения (область 2) и область, в которой фазовые превращения закончены (область 3), показанные на рис. 1. Предполагается, что эндотермические фазовые превращения протекают на подвижных границах.
Сложность решения подобных задач заключается в том, что задача с линейными уравнениями теплопереноса оказывается нелинейной, поскольку сводится к системе трансцендентных уравнений в количестве, равном количеству подвижных границ фазовых превращений, причем их можно решить с помощью численных процедур с вложенными итерационными циклами: внутренними по отделению искомых векторов и наружными — по их уточнению.
Рассматривается следующая задача теории теплопроводности с двумя нестационарно подвижными границами фазовых превращений, моделирующей теплоперенос в материалах с температурой О** начала фазовых превращений исходной фазы с тепло-
физическими характеристиками (ТФХ) X(1), п, р, а(первая фаза) и образованием новой (второй) фазы с характеристиками X(2), п(2), р(2), а(2) с температурой Т* окончания фазовых превращений второй фазы в третью с ТФХ X(3), п, р(3), а (рис. 1):
д 2Т(3) 1 дТ(3)
дх2 (3) а ' дt
д 2Т (2) 1 д Т(2)
дх2 (2) а ' дt
д 2Т(1) 1 дТ(1)
дх2 а(1) дt
= 0, 0 < X < х*(1), t > 0; = 0, х*(1) < х < х**(0, t > 0; = 0, х**(0 < х < да, t > 0;
(3) дТ
(3)
дх
+ Х
(2) дТ
(2)
х=х*(1 )-0
дх
= 0*р(2)х*(0, х = х*(1), t > 0;
х=x*(t )+0
(2) дТ
(2)
дх
+ Х
(1) дТ
(1)
х=х**( )-0
дх
0**р(1)х**(1), х = x**(t), I > 0;
"(3)1
I х=x*(t )-0
- Т(2)1
i х=х*(1 )+0
"(2)1
- Т (1)1
х=х**(1 )+0
- Т*, х - х*( t), t > 0; - Т**, х - х**(0, t > 0;
I х=х**( )-0 I х=х**( )+0
Т (0, г) = ТкЪ х = 0, t > 0;
Т(да, t) = Т0, х = да, t > 0;
Т(х,0) = Т0, х е (0,<ю), х*(0) = х*; х**(0) = х***, I = 0.
(1) (2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
(10)
Фазовые превращения с тепловыми эффектами 2*, 0** происходят на нестационарно подвижных границах х* (7), х** ^) и учитываются краевыми условиями типа Стефана (4), (5) соответственно.
В задаче (1)—(10) введены следующие обозначения: Т — температура; а(г) = "к/ер — температуропроводность ;-й фазы; X, с, р — соответственно теплопроводность, теплоемкость, плотность; Т**, Т*, 2**, 0* — температуры и теплоты фазовых превращений на границах х** ^) и х* ^) соответственно; х, t — пространственная переменная и время. Индексы: п>1 — наружная граница х = 0; 0 — начальные условия.
Метод решения. Решение первой начально-краевой задачи теплопроводности с нулевыми краевыми условиями в каждой из трех областей находится в виде ряда Фурье по собственным функциям соответствующей задачи Штурма—Лиувилля с трансформацией ряда в интеграл ошибок. Поэтому решение в каждой области с ненулевыми краевыми условиями представляется в виде линейных функций от интеграла ошибок:
Т(1) (х, 1) = А1 + В]вг/ Т(2) (х, 1) = А2 + В2ег/ Т(3) (х, 1) = А3 + В3ег/
{ \ х
V 2л/ а ^)
/
л
V 2л1 а ^ )
{ \ х
V 2л03? )
х**(1 ) < х < да, I > 0; х*(^ < х < х**^), t > 0; 0 < х < х*^), I > 0,
(11) (12) (13)
где А В1, А2, В2, А3, В3 определяются из удовлетворения решений (11)—(13) граничным условиям первого рода (6)—(8).
2 с
В (11)—(13) функция erf (х) = le — интеграл ошибок (интеграл Гаусса), его
значения затабулированы в пределах от erf ( 0 ) = 0 до erf (да) = 1 в [4].
Постоянные A\, Bi находятся из удовлетворения решения (11) граничным условиям (7) и (9):
T ** = A1 + Bxerf T0 = A1 + B1 lim erf
х** (t)
2Uh )
( \ х
2Ш )
= A1 + B1.
(14)
Подставляя найденные A1, B1 в (11), находим распределение температур в области 1
T(1) (х, t) = T** 1 - erf + ^ erf (х/^УО^^) - erf (х** (t) / Д),
' 1 - erf (х** (t) /247^) 1 - *
1 - erf (х* * (t) /2Va(1)t)
где х** (t) пока не определена.
Удовлетворяя решение (12) краевым условиям (6) и (7) для области 2
[т * = A2 + B2erf (х* (t) /^icPt) [T** = A2 + B2erf (х** (t) /2>02?),
определяя отсюда А2, В2 и подставляя их в (12), получим распределение температур в области 2
T**erf
T(2) (х, t) =■
.2V a(2)t.
х*L T*erf х**
(t)
W a (2)t
+ (T* - T**)erf
■W a (2)t
erf
W a(2)t
х* (t) ) J х** —- 1 - erf
(t)
2V a (2)t
где х* (г), х** (г) подлежат определению.
Удовлетворяя решение (13) краевым условиям (6), (8) для области 3
1X1 = А3 + Бзвг/ (0) = А3
[г* = А3 + Б3вг/(х*
(15)
подставляя найденные величины А3, Б3 в (13), находим распределение температур в области 3
T(3)(х, t) = Tw1 - (Tw1 - T*). ^/W2^
erf (х*(0/2^ a(3)t)
(16)
Для определения координат х* (г), х** (г) подвижных границ имеются два краевых условия стефановского типа (4) и (5). Поскольку аргументы в функциях ошибок являются безразмерными величинами, то координаты подвижных границ х** (г) и х* (г)
должны быть пропорциональны величинам 2л/а(1)г и 2л1 а(2)г соответственно, т.е.
х**^) =X22V a[>t,
(17)
х
X* (?) = xi2va2i, (18)
где Х2, Xi подлежат определению, причем, поскольку x** (t) > x*(t) для любых моментов времени, то постоянные Xi и х2 должны удовлетворять неравенству х2 > Xi. В этом случае решения (14)—(16) примут вид:
T(!) (x,t, гг) = T**1 - erf (x/^Va^t) + T erf (х/2Ш) - erf fa); (19)
'' 1 - erf (x2) 1 - erf (x2) '
T(2) (xt^ ч T**erf (xi) - T*erf(X2) + (T* - T**)erf (x^^); (2)
T (x,?, Xi , X2)--^-77—ч-; (2U)
erf (Xi)- erf (X2)
T(3) (X , t, Xi) = TWi - (Twi - T*) ■ erf(x/?(fi . (21)
erf (xW « /« )
Для нахождения коэффициентов xi и x2 подставим решения (19)—(21) в краевые условия (4), (5), получим следующую систему двух трансцендентных уравнений относительно xi, X 2:
%2= E exp(-x2a(i)/a(2)) -F exp(-xЬ . (22)
2 erf (h^ja(i)/a(2)) - erf (xi) i - erf (x2)'
E X(2)c(2)p(2)c(i) T* - T** F _ c(i) T** - T0. ^ nX(i)p(i) Q** ' Q** ;
V _ Сexp(-Xi2a(2)/a(3)) - „ exp(-Xi2)
Xi С ft I (2b ex " Г П^ erf (xWa /a ) erf 1/1
a
X 2 J —(2)
v Ь ()
f (Xi)
_ ¡X(3)c(3)p(3)c(2) Twi - T** n_ ^ T* - T** nX(2)p(:
C (2)p(2) W Q* ; ^ Q* • (23 )
Поскольку правые части в уравнениях (22), (23) — дифференцируемые функции переменных х1, Х2, можно применить итерационный процесс Ньютона (при условии, что на каждой итерации якобиевы матрицы — невырожденны). Однако для применения итерационных процедур необходимо найти начальное приближение вектора неизвестных
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.