научная статья по теме О ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ТЕОРИИ МЕЛКОЙ ВОДЫ Математика

Текст научной статьи на тему «О ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ТЕОРИИ МЕЛКОЙ ВОДЫ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 464, № 5, с. 558-561

= МЕХАНИКА

УДК 519.63+532.3

О ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ТЕОРИИ МЕЛКОЙ ВОДЫ

© 2015 г. В. В. Остапенко

Представлено академиком РАН В.Е. Накоряковым 06.02.2015 г. Поступило 02.03.2015 г.

Предлагается вывод базисных законов сохранения теории мелкой воды из многомерных интегральных законов сохранения массы и полного импульса, описывающих плоскопараллельное течение идеальной несжимаемой жидкости над горизонтальным доном. Возникающие при этом ограничения на параметры течения имеют интегральную форму и являются существенно более слабыми по сравнению с требованием потенциальности течения и условием длинноволнового приближения. Последнее обосновывает применение модели мелкой воды для математического моделирования гораздо более широкого класса волновых течений, параметры которых непосредственно не связаны ограничениями длинноволнового приближения.

Б01: 10.7868/80869565215290101

1. Уравнения теории мелкой воды выведены [ 1, 2] из уравнений неразрывности и Эйлера с учетом предположения, что рассматриваемое течение является потенциальным и характерная глубина потока в нем много меньше характерной длины волн. В то же время уравнения этой теории используются не только для описания медленно меняющихся течений с гладкой свободной поверхностью (таких как паводковые течения в реках), но также широко применяются для моделирования быстро протекающих волновых процессов, связанных с распространением гидравлических боров, возникающих при разрушении плотины гидросооружения [3—5] или при выходе крупных морских волн типа цунами на мелководье и наклонный берег [6—8]. В последнем случае эти уравнения используются в форме гиперболической системы законов сохранения с выпуклым расширением [9], допускающей разрывные решения с устойчивыми ударными волнами [10], которыми моделируются гидравлические боры реального течения. В результате, поскольку ширина фронта ударной волны равна нулю, мы приходим к противоречию с исходным условием длинноволнового приближения теории мелкой воды. Для его разрешения в рамках классической теории необходимо считать, что ударными волнами описываются переходные области [11], ширина которых много больше характерной глубины потока. Однако натурные наблюдения и результаты лабораторного моделирования пока-

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск

Новосибирский государственный университет E-mail: ostapenko_vv@ngs.ru

зывают [12—15], что поперечные размеры реальных гидравлических боров сравнимы с характерными глубинами рассматриваемых потоков, в силу чего соответствующие им переходные области, как правило, не удовлетворяют условию длинноволнового приближения.

В настоящей работе предлагается другой подход для преодоления данного противоречия теории мелкой воды. Этот подход связан с выводом базисных уравнений этой теории из многомерных интегральных законов сохранения массы и полного импульса. Возникающие при этом ограничения на параметры течения имеют интегральную форму и являются существенно более слабыми по сравнению с требованием потенциальности течения и условием длинноволнового приближения, а также вытекающим из них условием гидростатичности давления. Последнее обосновывает применение модели мелкой воды для математического моделирования гораздо более широкого класса волновых течений, параметры которых непосредственно не связаны ограничениями длинноволнового приближения и потенциальности течения.

2. Рассмотрим плоскопараллельное течение идеальной несжимаемой жидкости постоянной плотности р в прямоугольном канале с горизонтальным дном. Ось х декартовой системы координат {х, у, 1} расположим на дне канала параллельно его боковым стенкам и на одинаковом расстоянии Ь от них. Ось г направим вертикально вверх, перпендикулярно дну канала. В такой системе координат рассматриваемое течение не зависит от координаты у и описывается глубиной жидкости Н(х, 1), а также ее горизонтальной и(х, г, 1) и вертикальной w(x, г, 1) скоростями, направленными соответственно по осям х и г. Течение жид-

(1)

кости происходит в поле силы тяжести, создающем ускорение g = (0, 0, направленное вертикально вниз.

Зафиксируем на оси х отрезок [хь х2] и рассмотрим область

О(хь Х2, I) = {(х, у, I): X! <X <Х2,

|у| < Ь, 0 < г < Н(х, I)), которую в момент времени I занимает жидкость в канале между вертикальными плоскостями х = х1 и х = х2. Масса жидкости в области (1) задается формулой

х2

М(х„ х2,') = 2Ьр \Н(Х,|)4х. (2)

Х1

Изменение массы (2) на временном интервале [11, ?2]

М(хь Х2, I) |¡2 = М(хъ Х2, ) - М(хъ Х2, Ь) (3) происходит за счет потока жидкости

¡2 /Н(Х, I) N

-2Ь р|I | и(х, г, I)

о

через границы х = х1 и х = х2 области (1).

Приравнивая величины (3) и (4), с учетом формулы (2) получаем интегральный закон сохранения массы жидкости

х2 ¡2 /Н N

^Щ^ёх + 11 |и

х1 ¡1 0

в области (1) с подвижной верхней границей г = = Н(х, I). Вводя обозначение

Н(х, I)

(4)

а = о

(5)

и(х,0 = жх~Г) 1и (х'0

(6)

+ \(ни) |Х( = 0.

(7)

О(хХ2,I) = 2Ь р 11 1 и(х, г, I) (г

(х .

(8)

О(хХ2, I)= О(Х!, Х2, ¡2) - О(хХ2, I!) (9)

происходит за счет потока горизонтальной составляющей импульса

¡2 /Н(Х, I) \

-2Ь р1 ^ 1 и2 (х, г, I) (г

I, о

(I

(10)

через вертикальные плоскости х = х1 и х = х2 и за счет действия в этих плоскостях давления р:

¡2 /Н(Х, I) ^

-2Ь11 1 Р(х, г, I)(г

Ж.

(11)

11 о

Приравнивая величину (9) сумме величин (10) и (11), с учетом формулы (8) получаем интегральный закон сохранения горизонтальной составляющей полного импульса

х2 ГН \ ¡2 ¡2 /Н N Х2

(х +

((I = 0. (12)

Для оценки интеграла по г от величины и2 введем обозначение

5и = и - и^ и = и + 5и (13)

для отклонения горизонтальной скорости и от своего среднего по глубине значения и. Используя это обозначение, получаем

и = ( и + 5 и )2 = и2 + 2 иди + (5и )2.

для осредненной по глубине горизонтальной скорости жидкости, представим уравнение (5) в виде интегрального закона сохранения массы для модели мелкой воды

(14)

Поскольку осредненная по вертикали скорость и не зависит от г, то с учетом формул (6) и (13) имеем

Н Н /Н \

1 иди(г = и 1(и - и)(г = и ^ийг - Ни = 0. 0 0 0 В результате интегрирование формулы (14) по г приводит к следующему результату:

НН

У ((г = Н1и + 1(5и )2

(г.

(15)

00 Для оценки интеграла по г от давления р воспользуемся вертикальной компонентой уравнения Эйлера

Отметим, что при выводе этого закона сохранения нам не потребовались какие-либо ограничения на параметры рассматриваемого течения.

3. Горизонтальная составляющая полного импульса жидкости в области (1) задается формулой

Х2 /<Н(х, I)

^ + Р +. (I р

= 0,

(16)

в которой

(V

а

= + uwx +

Изменение импульса (8) на временном интервале

[?1, У

есть полная производная вертикальной скорости w вдоль траекторий движения частиц жидкости. Проинтегрируем уравнение (16) дважды по вертикальной координате: сначала от е [0, Н) до Н с учетом условия р(Н) = 0 на свободной поверхности жидкости, а затем от 0 до Н. В результате получаем

0

0

х

0

х

х

0

х

560

ОСТАПЕНКО

H

Jp*=f+í i id

HH

•dw

dz

dt.

(17)

0 0 ^ Предполагая, что на вертикальных границах х = х1 и х = х2 области (1) выполнены условия

н

Si

= Í(Su)2dz < HU2,

Si =

0

HH

d t

0 ^

(18)

gH

из формул (15) и (17) находим

H

H

Jи dz = HU2 + O(s1 ), ^dz = gH- + O(s2). (19)

8Н ф 2

00

Применяя формулы (6) и (19), получаем, что уравнение (12) с точностью до 0(б1 + б2) можно представить в виде интегрального закона сохранения полного импульса для модели мелкой воды

J( HU) \'t2dx + J(hU + H

dt = 0.

(20)

(21)

4. Выполнение условий (18) на границах отрезка [х1, х2] достаточно для того, чтобы течение жидкости в области (1) с точностью до 0(б1 + б2) удовлетворяло интегральным законам сохранения (7), (20) теории мелкой воды. При этом внутри отрезка [х1, х2] могут существовать интервалы, соответствующие переходным областям гидравлических боров, в которых условия (18) нарушаются, и длина этих интервалов может быть сравнима или даже меньше характерной глубины потока. В результате предлагаемый вывод интегральных законов сохранения теории мелкой воды исправляет основной недостаток классической теории, связанный с тем, что в рамках длинноволнового приближения корректное описание гидравлических боров возможно лишь в случае, если их поперечные размеры много больше характерной глубины потока.

Интегральные неравенства (18) будут заведомо выполнены, если течение является потенциальным и удовлетворяет условиям длинноволнового приближения. В то же время эти неравенства допускают нарушение условий длинноволнового приближения в некоторой поверхностной области

*2, 0 = ((ЛУ, г): X <х<%2,

У < Ь, Н1(х, ()<г < н(х, ()},

вертикальный размер которой к = Н — Н1 < Н. В этом случае значения малых величин б1 и е2, входящих в неравенства (18), в значительной мере

будут определяться отношением — < 1. В обла-

н

стях вида (21) могут распространяться ондуля-ции, формирующиеся за фронтом гладкого гидравлического бора, или мелкомасштабные вихри, возникающие за фронтом турбулентного бора [14, 15].

Предположим, что условия (18) выполнены во всей рассматриваемой области течения и осреднен-ные по глубине параметры этого течения является гладкими, т.е. H(x, t), U(x, t) e С1. С учетом этого разделим уравнения (7) и (20) на (x2 — x1)(t2 — t1) и перейдем к пределу при x2 ^ x1 и t2 ^ t1. В результате получаем дифференциальную форму записи законов сохранения массы и полного импульса для модели мелкой воды

Ht + (HU)x = 0, (HU): + (hu2 + gH) =0. (22)

В заключение отметим, что полученные в данной работе интегральные условия (18) на параметры двумерного течения, при выполнении которых выводятся как интегральные (7), (20), так и дифференциальные (22) законы сохранения теории мелкой воды, требуют более детального теоретического, вычислительного и экспериментального исследования, что предполагается сделать в дальнейшем.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 13-01-00249).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Fri

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»