ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2010, том 36, № 9, с. 874-878
МЕТОДИЧЕСКАЯ ЗАМЕТКА
УДК 533.9.01
О ЗНАЧЕНИИ СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ В ГЕОМЕТРИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЛОВУШЕК ДЛЯ УДЕРЖАНИЯ ПЛАЗМЫ
© 2010 г. А. А. Сковорода, И. А. Тайманов*
РНЦ "Курчатовский институт", Москва, Россия * Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия Поступила в редакцию 14.12.2009 г.
Приводятся примеры использования геометрического понятия средней кривизны для вектора магнитного поля общего положения и для магнитных поверхностей. Показано, что средняя кривизна магнитного поля связана с величиной изменения модуля магнитного поля вдоль силовой линии. Магнитные поверхности с постоянной средней кривизной оптимальны для удержания плазмы в многопробочных открытых ловушках и в гофрированных торах.
ВВЕДЕНИЕ
В геометрии поверхностей и векторных полей средняя кривизна является одним из основных понятий [1, 2]. В геометрии же магнитных полей, применяемой в задачах удержания термоядерной плазмы, это понятие фактически не используется (подтверждение см. в [3]). Цель настоящей методической заметки состоит в устранении этой диспропорции.
Начиная с определений и основных результатов дифференциальной геометрии поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве и векторных полей, далее мы приводим различные приложения понятия средняя кривизна в магнитных ловушках.
1. СРЕДНЯЯ КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТИ И ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Средняя кривизна поверхности Н8 является локальной величиной, определяемой формулой
HS — 2 (min + kmax )>
(1)
где &т;п и &тах — минимальная и максимальная кривй зны линий пересечения поверхности с взаимно перпендикулярными плоскостями, проходящими через нормаль в данной точке поверхности. В случае е • (Ух е) = 0 проведем к единичному векторному полю е (| е = 1) семейство ортогональных поверхностей. Средняя кривизна этих поверхностей называется средней кривизной векторного поля e. В общем случае е • (Ух е) Ф 0 средняя кривизна Н векторного поля е определяется формулой [2]
H = -1V- е. 2
В случае поверхности для вектора вектор е = n, где n — единичный вектор нормали к поверхности, общее определение кривизны H переходит в HS (см. (1)). Поверхность со средней кривизной HS = 0 называется минимальной. К минимальным поверхностям относятся, например, поверхности, имеющие минимальную площадь S при фиксированной границе (мыльные пленки). Замкнутых минимальных поверхностей нет. К поверхностям постоянной средней кривизны HS = const относятся мыльные пленки, разграничивающие среды с разным давлением p. При этом средняя кривизна и есть разница давлений. Другими примерами поверхностей с постоянной средней кривизной HS = const являются поверхности, имеющие минимальную площадь S среди поверхностей, ограничивающих области заданного объема V. Такие поверхности называются изопериметрическими профилями и являются, в точности, сферами постоянной кривизны. Теорема Александрова [4] утверждает, что такие сферы исчерпывают все вложенные (без самопересечений) замкнутые поверхности постоянной средней кривизны. Отсюда следует, что, в частности, не существует вложенных тороидов постоянной средней кривизны.
Утверждение этой общей теоремы просто проверяется в случае поверхностей вращения. Принимая ось вращения за ось Z цилиндрической системы координат, задаем форму поверхности уравнением Ф = z - z (r). Нормаль к этой поверхности n = VO/|VO| подставляем в (2) и получаем соотношение
(2)
2HS =1 d rdr
rz
1
+ z-2 J
(3)
(a)
(б)
Рис. 1. Качение гиперболы (а) и эллипса (б).
Рис. 2. Нодоид (а) и ондулоид (б).
где штрих означает производную по радиусу г. При постоянной средней кривизне это уравнение интегрируется
HSr1 + C =
rz
(4)
+ z
где C — постоянная интегрирования. Из уравнений (3) и (4) следует, что получить плоскую замкнутую линию, т.е. имеющую не менее двух точек z' = 0 при r > 0, нельзя. Следовательно, тор невозможен. К сожалению, в аксиально-симметричном примере в работе [5] сделаны обидные ошибки, приведшие к неправильному выводу о существовании тора с постоянной средней кривизной.
Из уравнения (4) следует возможность получения z' = го в двух точках при r > 0. Образующие контуры этих поверхностей вращения описываются фокусом гиперболы1 или эллипса (см. рис. 1), если катить их по прямой оси вращения [6]. Цилиндр является предельным случаем качения окружности. Это указывает на существование периодических вдоль оси вращения поверхностей с HS = const, см. рис. 2.
В теории поверхностей важную роль играет функционал Уиллмора, который определяется
1 Качение гиперболы определяет один период непрерывной кривой (а) на рис. 1.
как интеграл от квадрата средней кривизны по поверхности. Для замкнутых поверхностей этот функционал конформно инвариантен: при конформном преобразовании трехмерного пространства значения функционала Уиллмора на поверхности и на ее образе совпадают [7]. Этот функционал не только играет фундаментальную роль в представлении Вейерштрасса поверхностей [7], но и применяется в последнее время в биофизике и коллоидной химии, где он известен как функционал Хелфриха [8]. Критические точки этого функционала образуют уиллморовские поверхности [7]. В отличие от минимальных поверхностей существует много примеров замкнутых уилл-моровских поверхностей, в том числе и вложенных (без самопересечений). К ним, например, относятся все сферы постоянной кривизны и тороид Клиффорда: поверхность вращения, полученная в результате вращения окружности вокруг оси с аспектным
отношением равным 42.
2. СРЕДНЯЯ КРИВИЗНА МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Следуя формуле (2), магнитное поле В = В • Ь, где |Ь| = 1, В = |В| модуль магнитного поля, можно характеризовать средней кривизной
Нь = Ь V 1пл/В. (5)
Изменение модуля магнитного поля вдоль силовой линии магнитного поля является важной характеристикой магнитных ловушек для удержания плазмы и часто встречается в геометрии магнитных полей [3, 9]. Для вакуумного магнитного поля B = -Уф, где ф — скалярный магнитный потенциал, Hb совпадает со средней кривизной эквипотенциальной поверхности ф = const, для которой вектор b является единичной нормалью. Заметим, что в соответствии с формулой (2) выражение (5) для магнитного поля справедливо и при Vx B Ф 0.
В точках экстремума модуля магнитного поля вдоль силовых линий Hb = 0. В так называемых изодинамических тороидальных конфигурациях, открытых Д. Палумбо [10], на вложенных магнитных поверхностях постоянен модуль магнитного поля, B = const, и, следовательно, Hb = 0 во всем пространстве удержания. Такие изодинамические конфигурации возможны только при наличии разрядного тока [11]. Без этого тока, т.е. в вакууме, эквипотенциальные поверхности в тороидальном изодинамическом случае были бы минимальными, что невозможно ввиду результатов, полученных в работе [11].
В удержании плазмы определяющую роль играют магнитные поля, которые формируют в ограниченной области пространства систему вложенных магнитных поверхностей, B • n = 0. Магнитные ловушки подразделяют на открытые конфигурации с гофрированными цилиндрическими вложенными магнитными поверхностями и на замкнутые конфигурации с тороидальными вложенными магнитными поверхностями сложной формы. Соленоидальность магнитного поля приводит к сохранению тороидального магнитного потока Ф внутри магнитной поверхности. Поэтому этот поток выступает в качестве наиболее общего уравнения для системы вложенных магнитных поверхностей, Ф (x, y, z) = const. Функция Ф является однозначным (если оно существует) решением уравнения B • УФ = 0 при известном магнитном поле с вращательным преобразованием. Таким образом, в каждой точке области удержания плазмы, как правило, определено векторное поле единичных нормалей к магнитным поверхностям n = УФ/|УФ|, n • (V х n) = 0. Подставляя в (2) вектор n, определим среднюю кривизну магнитной поверхности HS , которая оказывается играет важную роль в теории ловушек для удержания плазмы.
Для полноты картины дополним введенные выше векторы b и n до ортонормированного магнитного базиса бинормальным вектором t = b х n. Вектор t направлен вдоль дополнительного к B вектора B хУФ. В равновесии с плазмой, когда
плазменные токи ] текут по магнитным поверхностям \ • УФ = 0, вектор В х УФ соленоидален и его силовые линии лежат на магнитных поверхностях [9]. Применение формулы (2) к вектору 1 определяет среднюю кривизну дополнительного поля
Ht = t -У 1пд/B|УФ|.
(6)
Она связана с такой известной характеристикой, как геодезическая кривизна силовых линий магнитного поля [9].
2.1. Магнитные поверхности с HS = const
Удержание энергии или частиц плазмы в магнитной ловушке принято характеризовать интегральными временами удержания. Для определенности рассмотрим время удержания частиц т N. Оно рассчитывается по формуле т N = N/I, где N — полное число частиц в ловушке, полученное при инжекции в нее тока частиц I . В этой формуле N = nV, где n — средняя плотность частиц в ловушке, V — объем ловушки. Поскольку в стационаре ток инжекции равен току потерь, то I = nvS, где v — средняя скорость ухода частиц через границу ловушки с площадью S. В результате т N = V/ vS. Чем лучше удержание, тем больше это время. В предположении постоянства v приходим к выводу, что граничные поверхности с постоянной средней кривизной оптимальны для удержания плазмы.
В первом разделе показано, что существуют периодические аксиально-симметричные поверхности ондулоиды с HS = const (см. рис. 2), которые могут быть использованы для оптимизации удержания плазмы в амбиполярных открытых ловушках [9]. Центральный соленоид таких конфигураций с прямой магнитной осью характеризуется длиной L и осевым пробочным отношением P = Bmax/Bmin или отношением экстремальных радиусов rmax/rmin = VP. Задание L,P определяет параметры оптимального для данной геометрии эллипса ондулоида.
Тороидов с точным выполнением условия HS = const, как было отмечено в первом разделе, нет. Однако пример амбиполярной ловушки побуждает рассмотреть асимптотические поверхности постоянной средней кривизны. На рис. 3 показана магнитная поверхность гофрированной ловушки Кадомцева [12], которая демонстрирует од
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.