ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2015, № 1, с. 10-17
УДК 550.31
ОБ АНОМАЛИЯХ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ, СВЯЗАННЫХ С ЛАТЕРАЛЬНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ ТЕМПЕРАТУРЫ. 2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ
© 2015 г. А. О. Глико, С. М. Молоденский
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва E-mail: msm@ifz.ru Поступила в редакцию 22.06.2014 г.
В первой части статьи (далее — I) были получены аналитические соотношения, определяющие изменения рельефа, формы геоида и компоненты горизонтальных перемещений земной поверхности под действием точечного источника тепла, расположенного на произвольной глубине в мантии. Для реальной модели радиально неоднородной Земли с гидростатическим распределением начальных напряжений решение задачи о термоупругих деформациях представлено в виде разложений по сферическим функциям с коэффициентами, определяемыми соответствующими коэффициентами разложений произведения температуры, модуля объемного расширения и модуля объемного сжатия по сферическим функциям с теми же индексами. Как отмечалось в I, изменение внешнего потенциала складывается из трех эффектов: эффекта уменьшения плотности в нагреваемой области; эффекта увеличения плотности во внешней (ненагреваемой) области из-за ее упругого сжатия и эффекта притяжения приповерхностного простого слоя, образующегося из-за изменения формы внешней поверхности при ее упругой деформации. Сумма всех трех эффектов представлена в виде разложений по сферическим функциям. Показано, что в предельном случае сферических функций высоких порядков отношения радиальных перемещений геоида к радиальным перемещениям внешней поверхности стремятся к нулю. Поскольку при больших значениях порядков сферических функций эффектами сферичности и радиальной неоднородности Земли можно пренебречь, смысл этого утверждения сводится к тому, что при любых термоупругих деформациях однородного упругого полупространства три перечисленных выше эффекта в точности взаимно компенсируются. Из-за этой компенсации вопрос интерпретации наблюдаемых соотношений коэффициентов разложений температуры и геоида может быть решен только после детальных числовых расчетов: сколь угодно малые радиальные неоднородности среды (например, связанные с изменением ее реологических свойств с глубиной) могут не только существенно изменить величину радиальных смещений геоида, но и изменить ее знак. Кроме того, даже для однородной модели Земли эффекты сферичности ее внешней поверхности и самогравитации также могут вносить заметный вклад, определяющий знаки коэффициентов разложений формы геоида по сферическим функциям низких порядков.
Для разделения этих эффектов ниже приводятся результаты численных расчетов суммарных эффектов термоупругих деформаций как для простейших моделей сферической Земли без самогравитации и с самогравитацией при постоянных значениях плотности и комплексных модулей сдвига, так и для реальной модели Земли PREM (описывающей распределения плотности и модулей упругости с глубиной для высокочастотных колебаний без учета реологии среды), а также для современных реологических моделей мантии. На основе проведенных расчетов предлагается простейшая интерпретация современных данных о соотношениях коэффициентов разложений температуры, скоростей объемных сейсмических волн, топографии земной поверхности и геоида по сферическим функциям и данных о корреляции коэффициентов низких порядков в разложениях геоида с соответствующими членами разложений горизонтальных неоднородностей скоростей объемных сейсмических волн, включающая оценки знака и абсолютной величины отношения первых коэффициентов разложений скоросгей сейсмических волн, топографии и геоида по сферическим функциям. Наличие такой корреляции, а также соотношение знаков и абсолютных величин этих коэффициентов позволяет утверждать, что основной причиной как длинноволновых колебаний геоида, так и длинноволновых колебаний скоростей объемных сейсмических волн являются термоупругие деформации.
DOI: 10.7868/S0002333715010068
1. МОДЕЛИ ОДНОРОДНОЙ ЗЕМЛИ С САМОГРАВИТАЦИЕЙ И БЕЗ САМОГРАВИТАЦИИ
В качестве основных наблюдаемых величин мы будем рассматривать: (1) коэфиициенты разложений произведения КаТ (здесь, как и ранее, К, а, Т - модуль объемного сжатия, коэффициент объемного растяжения и отклонение температуры от сферически симметричного распределения, соответственно); (2) скоростей поперечных (У) и продольных (Ур) объемных сферических волн; (3) формы геоида и (4) топографии земной поверхности.
Поскольку перемещения геоида в точности равны нулю только для однородной среды с плоской граничной поверхностью и без самогравитации, для корректной интерпретации данных о форме геоида необходимо оценить относительную роль всех тех эффектов, которые нарушают эту простейшую модель. К их числу относятся: (1) эффекты сферичности земной поверхности; (2) эффекты самогравитации и (3) эффекты радиальной неоднородности плотности, модулей всестороннего сжатия и комплексных модулей сдвига.
Чтобы не оперировать большими величинами, в дальнейшем мы будем использовать систему единиц, в которой средний радиус Земли, средняя плотность Земли и среднее значение ускорения силы тяжести на земной поверхности равны единице. В этой системе гравитационная постоянная О = 3/(4я), изменение ускорения силы тяжести из-за радиального перемещения поверхности и из-за изменения гравитационного потенциала равны
соответственно 2^ уЩ (&, Ф) и —п + 1)ЯЩуЩ (&, Ф), радиальное перемещение геоида при термоупругих
деформациях равно ЯЩуЩ (&, Ф).
Рассмотрим сначала первые два эффекта. Для однородной модели плотность и скорости продольных и поперечных объемных волн были приняты равными 5.52 г/см3, 10 и 5 км/с соответственно. На рис. 1 представлены нормированные значения коэффициентов разложений радиальной компоненты перемещений земной поверхности Нп при термоупругих деформациях, вызываемых 8-образным изменением температуры вида
Т = То8(г - г')уп(§, Ф), (1)
где г и Г - глубина изменения температуры и текущий радиус соответственно, Т0 — амплитудное значение изменения температуры, удовлетворяющее нормировке
К аТ0 = 1 (2)
(здесь, как и в I, К и а - модуль объемного сжатия и коэффициент теплового расширения соответственно).
На рис. 2 представлены нормированные тем же условием (2) значения коэффициентов разложений вертикальной компоненты перемещений земной поверхности Яп.
На рис. 3 представлено отношения коэффициентов разложений обусловленных изменением потенциала гравитационной аномалии —п + 1)Япуп(&, ф) к тем же коэффициентам, определяющим изменение гравитационного поля из-за радиального перемещения поверхности -2 ghn.
Из рис. 1, рис. 2 видно, что при изменении п от 2 до 10 значения ^ плавно меняются в диапазонах от (—0.2, —1.4) до (0.05, —0.9); значения ЯП ме-
0.4 г
0.2
46 0.596 0".64§
.696 .0.746 0.796 0.846 0.896 0.946 0.996 * I • -
, ■ _ г
•Ряд 1
Ряд 2 Ряд 3 Ряд 4 ■■ Ряд 5 Ряд 6 Ряд 7 Ряд 8 Ряд 9
0 0. -0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
-1.2
-1.4
-1.6
Рис. 1. Нормированные коэффициенты разложений радиальных перемещений земной поверхности Ъп под действием точечного источника тепла на безразмерной глубине 1 - г для самогравитирующей модели Земли с постоянными значениями плотности р = 5.52 г/см3 и скоростями объемных сейсмических волн Ур = 10 км/с, у = 10 км/с (ряды значений 1...9 соответствуют индексам сферических функций п = 2, ..., 10 соответственно).
0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0
-0.05 -0.10 -0.15 -0.20 -0.25
■46; 0.:
.596 0.
I»
* I, * I ,1 * ,1
646 0.696 0.746 0.796 0.846 0.896 0.946 0.996
•Ряд 1 Ряд 2 Ряд 3 Ряд 4 'Ряд 5 Ряд 6 Ряд 7 -Ряд 8 Ряд 9
Рис. 2. Нормированные коэффициенты разложений радиальных перемещений геоида Я„ под действием точечного источника тепла на безразмерной глубине 1 - г для самогравитирующей модели Земли с постоянными значениями плотности р = 5.52 г/см3 и скоростями объемных сейсмических волн Ур = 10 км/с, V = 10 км/с (ряды значений 1...9 соответствуют индексам сферических функций п = 2, ..., 10 соответственно).
2
1.0
0.5
0 0.
0.5 1.0 1.5 -2.0 |-
46
0.596 0.646 0.696 0.746 0.796 0.846 0.896
0.946 0.996
- £
Ряд 1
Ряд 2 Ряд 3 Ряд 4 'Ряд 5 Ряд 6 Ряд 7 Ряд 8 Ряд 9
Рис. 3. Отношения коэффициентов разложений изменения ускорения силы тяжести из-за изменения гравитационного потенциала в фиксированной точке пространства (п + 1)Я„ к изменению ускорения силы тяжести из-за радиального перемещения внешней поверхности 2Ип/го под действием точечного источника тепла на безразмерной глубине 1 - г для самогравитирующей модели Земли с постоянными значениями плотности р = 5.52 г/см3 и скоростями объемных сейсмических волн У„ = 10 км/с, У5 = 10 км/с (ряды значений 1.9 соответствуют индексам сферических функций
п = 2,
10 соответственно).
г
няются в диапазонах от (-0.012, 0.25) до (-0.005, 0.01).
Как видно из рис. 3, при безразмерном радиусе точечного источника тепла от ~0.7 до 1 и при изменении порядка сферических функций от 2 до 10 отношение этих двух эффектов плавно меняются от —0.3 до —0.05; при меньших значениях г это правило не выполняется, однако связано это лишь с малостью обоих сравниваемых
эффектов (как видно из рис. 1, рис. 2, за исключением Нп при п = 2, коэффициенты разложений всех функций Грина кп(г) и Лп(г) имеют по одному корню при г < 0.7; если источник тепла расположен вблизи одного из этих корней, то отношение эффектов (п + 1)Лп/(2Нп) имеет вид неопределенности 0/0 и может принимать поэтому любые значения от -да до +<». Отвлекаясь от анали-
1.0
0.5
0 0.:
-0.5 ^-1.0 -1.5 -2.0 -2.5 -3.0
46 0.
.596 0.646 0.696 »0.746 ; 0.796; 0.846.
а ж 4 +
0.896 0.946 0.996
•Ряд 1
Ряд 2 Ряд 3 Ряд 4 > Ряд 5 Ряд 6 Ряд 7 -Ряд 8 Ряд 9
Рис. 4. Нормированные коэффициенты разложений радиальных перемещений земной поверхности к„ под действием точечного источника тепла на безразмерной глубине 1 - г для модели Земли без самогравитации с постоянными значениями плотности р = 5.52 г/см3 и скоростей объемных сейсмических волн Ур = 10 км/с, У5 = 10 км/с (ряды значений 1...9 соответствуют индексам сферических функций п = 2, ..., 10 соответственно).
0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.