ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА Том 75. Вып. 2, 2011
УДК 531.36: 534.1
© 2011 г. Н. И. Амелькин
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ДВИЖЕНИЙ СПУТНИКОВ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ, ОБУСЛОВЛЕННЫХ ВНУТРЕННЕЙ ДИССИПАЦИЕЙ
Рассматривается спутник, представляющий собой систему тел, не обладающую в общем случае свойством гиростата. Дан алгоритм определения всех равновесных конфигураций системы, соответствующих стационарным движениям в центральном гравитационном поле, и алгоритм анализа их устойчивости. Для исследования асимптотической устойчивости стационарных движений в неограниченной задаче применяется метод, основанный на первой теореме Рауса. На модельном примере установлено три эффекта, обусловленных внутренней диссипацией: стабилизация спутников в окрестности вращений вокруг нормали к плоскости орбиты, сонаправлен-ной с осью наибольшего момента инерции, эволюция эллиптических орбит к круговым орбитам, захват спутников в резонансные колебательные режимы движения.
Задача об устойчивости стационарных движений спутников в полной (неограниченной) постановке рассматривалась ранее [1—4]. Были исследованы достаточные условия устойчивости и показано, что для спутников-гиростатов эти условия в ограниченной и неограниченной задаче либо полностью совпадают (для твердого тела), либо различаются на малую величину, равную квадрату отношения характерного размера спутника к радиусу орбиты (для твердого тела с ротором).
В данной работе исследуется асимптотическая устойчивость в неограниченной задаче. При этом рассматриваются спутники, не обладающие в общем случае свойством гиростата, и в отличие от работ [3, 4], где применялся метод Рауса игнорирования циклической координаты, используется метод, основанный на первой теореме Рауса и ее обобщениях ([5], теоремы 1.4.1, 1.4.2). В задаче об асимптотической устойчивости этот метод представляется более предпочтительным.
1. Постановка задачи. Рассмотрим спутник, состоящий из несущего твердого тела (корпуса) и некоторой совокупности несомых тел (фиг. 1). Выберем жестко связанный с корпусом базис AE(А в! е2 е3) и параллельный ему базис CE(С в! е2 е3) с началом в центре масс спутника. Предполагается, что на систему наложены стационарные связи, так что положение несомых тел относительно базиса AE задается я-мерным вектором координат х. Этот же вектор будет однозначно определять и положение всей системы относительно базиса CE.
Обозначим через J тензор инерции спутника в базисе CE. Для системы, не обладающей свойством гиростата, тензор J, а также ориентация главных центральных осей инерции \ь \2, \3 в базисе CE и значения главных центральных моментов инерции /ь /2, /3 будут зависеть от вектора х.
Предполагается, что в системе могут действовать внутренние консервативные силы с потенциальной энергией и(х), а также внутренние диссипативные силы, зависящие от скоростей х.
Фиг. 1
Движение системы происходит в гравитационном поле с центром в точке О, который неподвижен в инерциальном базисе 01(01 у 121 з). Будем использовать также базис ОБ, начало которого находится в точке О, а оси параллельны одноименным осям базиса АЕ.
Положение системы в инерциальном базисе О1 будет определяться (п + 6)-мерным вектором обобщенных координат. Они включают п компонент вектора х, три компоненты радиус-вектора центра масс И и три угла, задающие ориентацию корпуса относительно базиса О1. Последние три переменные конкретизировать не будем, а вектор И будем задавать его компонентами в базисе ОБ. Скорость точки С относительно базиса ОБ обозначим через И. Абсолютная скорость точки С будет определяться соотношением
V = Я + га х И (1.1)
где ю — абсолютная угловая скорость корпуса. Векторы ю и И будем также задавать их проекциями на оси базиса ОБ.
Орбитальный базис в неограниченной задаче зададим взаимно ортогональными единичными векторами
г = И/Я, п = И х V|R х V, т = п х г (1.2)
Для потенциальной энергии действующих на систему гравитационных сил будем использовать формулу [1]
п * (И, х) = -ЕЛ-ЕИ^ + ^ И (1.3)
Я 2Я3 2Я5
где ц — постоянная тяготения, т — масса спутника.
При движении в поле (1.3) сохраняется вектор кинетического момента спутника относительно точки О. В этом можно убедиться, если вычислить главный вектор гравитационных сил через градиент потенциальной энергии:
Г „, „ ,г„г,
в
е = -дП = ц
дИ
т - + 15 и 1И | И - Зц ^
3 5 ■ 7 г- 5— (1.4)
Я3 2Я5 2Я7 ) Я 5
а затем, используя формулу Мс = 3ц И х 1и/я 5 [1], выразить момент сил относительно точки О через момент сил относительно точки С соотношением
М0 = Мс + И х Е = Мс - 3ц И х 1и/Я5 = 0
2. Стационарные движения в ограниченной задаче. В ограниченной круговой задаче стационарные движения определяются как стационарные точки приведенной потенциальной энергии
Ж = ю 2(-пГ1п + 3 гт1г - и 1)/2 + и(х); <о 0 = ц/Я3 (2.1)
где г и п — заданные в базисе CE взаимно ортогональные единичные векторы орбитального базиса, направленные по радиусу орбиты и по нормали к плоскости орбиты, соответственно.
Стационарные точки функции (2.1) найдем в два этапа.
Записывая сначала условия стационарности по переменным г и п при фиксированном х, получим с помощью метода множителей Лагранжа следующие уравнения:
-1п + X уП + Х3 г = 0, 31г + X2Г + Х3П = 0 (2.2)
Из этих уравнений в силу симметричности матрицы J имеем
X 3 = гт I п = -3 гт I п = 0
Отсюда следует, что векторы п и г являются собственными векторами матрицы J, т.е. на стационарных движениях векторы орбитального базиса параллельны главным центральным осям инерции системы, а величины
А = гт1г, В = тт1 т, С = пт1п (2.3)
совпадают с главными центральными моментами инерции. Уравнения (2.2) имеют 24 решения, которые записываются в виде следующих шести групп решений, по четыре решения в каждой:
1) г = ±41, п = ±42; 2) г = ±4Ь п = 4з; 3) г = ±42, п = ±41
4) г = ±42, п = ±4з; 5) г = ±4з, п = ±41; 6) г = ±43, п = ±42 (.)
На втором этапе, подставив каждое из решений (2.4) в выражение (2.1) и учитывая равенство ^ I = А + В + С, получим функцию
Ж = ю 0(2А - В - 2С)/2 + и(х) (2.5)
зависящую только от переменных х. При этом шести группам решений (2.4) будут соответствовать следующие шесть функций, стационарные точки которых по переменным х определяют стационарные конфигурации системы:
Ж = X123, Ж 2 = X132, Ж 3 = Х213, Ж4 = Х321, Ж5 = Х312, Жб = Х321 (2.6)
Здесь
Хик - V] - )/2 + и (х)
Задачу определения положений равновесия, удовлетворяющих достаточным условиям устойчивости, можно также решать в два этапа. Сначала найдем решения, доставляющие строгий минимум функции (2.1) по переменным г и п при фиксированном значении вектора х, а затем, подставив полученные решения в (2.1), найдем точки строгого минимума по переменным х. Первый этап эквивалентен задаче определения устойчивых положений твердого тела в центральном поле. Известное решение этой задачи [1] описывается второй группой решений (2.4), где ^ — ось наименьшего момента инерции, а £ 3 — ось наибольшего момента инерции. Переходя ко второму этапу, получим, что в пространстве переменных х устойчивым конфигурациям соответствуют точки строгого минимума функции
Ж2 = ю 0(2 / - / - 2 ^)/2 + и(х) (2.7)
где J1(х) < J2(х) < J3(х) — главные центральные моменты инерции системы, расположенные в порядке возрастания.
Аналитическое определение равновесных конфигураций системы изложенным способом возможно в случаях, когда удается найти явные аналитические выражения для главных центральных моментов инерции через вектор х. Такая возможность имеется, в частности, для плоской системы тел. Одна из главных центральных осей инерции такой системы — нормаль к плоскости расположения тел ^ 3, соответствующая наибольшему моменту инерции J3. При учете равенства J3 = J1 + J2 задача определения главных моментов инерции сводится к нахождению только двух величин J1 и J2, которые вычисляются аналитически, как корни квадратного уравнения.
Отметим, что для плоской системы тел функция (2.7) принимает вид
Ж 2 =-3 ю 2 / 2/2 + и (х)
Отсюда следует, что при отсутствии внутренних потенциальных сил устойчивым равновесным конфигурациям системы соответствуют точки строгого максимума среднего момента инерции. Этим конфигурациям отвечают устойчивые положения равновесия, для которых плоскость расположения тел лежит в плоскости орбиты, а ось среднего момента инерции направлена по касательной к орбите.
3. Стационарные движения в неограниченной задаче. При оговоренном в разд.1 способе задания вектора R потенциальная энергия (1.3) не зависит явно от ориентации корпуса в базисе OL Вследствие этого уравнения движения системы разделяются на уравнения для фазовых переменных га, Я, Я, х, X, с одной стороны, и на уравнения Пуассона, описывающие ориентацию базиса OE относительно базиса OI, с другой. При этом уравнения Пуассона в дальнейшем не понадобятся, поскольку все свойства стационарных движений можно исследовать, используя только уравнения в переменных га, Я, Я, х, X.
Обозначим через КС кинетический момент спутника относительно базиса CE. Он выражается линейной формой скоростей х
п
К с = X Ь к (х) ±к (3.1)
к=1
Кинетический момент спутника относительно инерциального базиса OI записывается в виде
К = тЯ х (ю х Я + Я) + Jю + КС
(3.2)
Кинетическая энергия спутника относительно базиса CE выражается строго положительно определенной квадратичной формой скоростей х
2ТС = х Т Б(х) х
(3.3)
Кинетическую энергию спутника относительно инерциального базиса OI можно записать формулой
2Т = т(ю х И + И)2 + юТI ю + 2ю • Кс + 2ТС
(3.4)
Запишем уравнения движения для фазовых переменных га, И, Я, х, х. Первую группу уравнений получим из теоремы об изменении импульса
т(И + ю х И + ю х (ю х И) + 2ю х И) = Г
(3.5)
где вектор F определяется формулой (1.4).
Записывая теорему об изменении кинетического момента относительно точки О, будем иметь
тИ х (ИИ + ю х И + ю х (ю х И) + 2ю х ИИ) + Iю + Iю +
( п \
+ X Ькхк + X д^ХкХ] + ю х
к=1 ], к=1 дх1
1ю + X Ь кх к
к=1
= 0
(3.6)
Учет уравнения (3.5) и формулы (1.4) позволяет переписать уравнение (3.6) в следующей эквивалентной форме:
дь
Iю +1ю + X Ьк*к + Хт'****] + юх Iю
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.