КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 76, № 5, с. 626-634
УДК 544.27
ОБ ЭВОЛЮЦИИ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ КАПЛИ В ПРОЦЕССЕ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ДИФФУЗИОННОГО РОСТА ИЛИ ИСПАРЕНИЯ
© 2014 г. А. Е. Кучма, А. К. Щёкин, А. А. Лезова, Д. С. Мартюкова
Санкт-Петербургский государственный университет, физический факультет, 198504 Санкт-Петербург, Петродворец, Ульяновская ул., 1 e-mail: akshch@list.ru Поступила в редакцию 25.12.2013 г.
Получена система уравнений для размера, состава и температуры многокомпонентной капли неидеального раствора при ее неизотермическом конденсационном росте или испарении в диффузионном режиме в многокомпонентной смеси паров и неконденсирующегося газа-носителя. Вместе с полными уравнениями переноса вещества и тепла в парогазовой среде вокруг капли, полученная система в общем случае описывает нестационарный рост или испарение капли при произвольных начальных условиях (начальных размере и температуре капли и концентрациях неидеального многокомпонентного раствора в капле) и установление стационарных значений состава, температуры и скорости изменения размера капли с учетом тепловых эффектов, диффузионного, термодиффузионного переноса вещества, стефановского течения и перемещения поверхности капли, неидеальности раствора в капле. Рассмотрена упрощенная система, полученная при пренебрежении вкладами от течения, перекрестных эффектов и теплового расширения в уравнения переноса вещества и тепла в парогазовой среде. Уравнения, описывающие рост/испарение в стационарном режиме, проанализированы для случая капель — идеальных многокомпонентных растворов.
Б01: 10.7868/80023291214040089
ВВЕДЕНИЕ
Описание стационарных и нестационарных характеристик растущих или испаряющихся капель имеет большое значение для развития теории и эксперимента в фундаментальной науке о фазовых переходах первого рода [1, 2], важно для понимания глобальных процессов, происходящих в атмосфере Земли с участием аэрозолей [3— 5], востребовано при решении различных технологических задач, связанных с эффективным сжиганием мелкодисперсного жидкого топлива [6, 7]. Еще более широким оказывается спектр приложений результатов исследований для капель, состоящих из нескольких компонентов. Эффект охлаждения таких капель в процессе испарения может быть использован для формирования наночастиц с контролируемыми размером, формой и составом [8]. Левитирующие многокомпонентные капли служат детекторами в приборах по измерению коэффициентов диффузии и теплопроводности в газовых смесях [9—11]. Наконец, в последнее время интенсивно развиваются новые комбинированные оптические методики, позволяющие бесконтактно отслеживать изменения температуры и химического состава малых капель во времени [12].
Динамике диффузионного роста или испарения многокомпонентных капель при разных чис-
лах Кнудсена посвящено значительное число работ. В них использовались гидродинамический и кинетический подходы. Важный вклад в рассмотрение этой динамики при достаточно малых числах Кнудсена, когда массо- и теплоперенос на каплю или от капли происходит в чисто диффузионном режиме и можно пренебречь влиянием кривизны поверхности капли на давление насыщенных паров, был сделан в работах [13—18]. Однако в этих работах использовался ряд приближений, не позволяющих учесть некоторые существенные эффекты в задаче об эволюции размера, температуры и состава многокомпонентной капли в чисто диффузионном режиме. К их числу относятся влияние нестационарности диффузии и теплопроводности в многокомпонентной парогазовой среде, термодиффузии и других перекрестных эффектов [19], стефановского течения и перемещения поверхности капли, неидеальности раствора в капле. Ранее часть этих эффектов была рассмотрена нами в аналитическом виде для нестационарной изотермической эволюции одно-компонентной и бинарной капель [20—25], стационарного неизотермического роста бинарной капли идеального раствора [26] и нестационарного неизотермического роста или испарения бинарной капли идеального раствора [27]. Целью данной работы является строгий вывод наиболее
общей системы уравнений для размера, состава и температуры многокомпонентной капли неидеального раствора при ее неизотермической конденсации или испарении в диффузионном режиме в многокомпонентной смеси паров и неконденсирующегося газа-носителя. Будут рассмотрены упрощенные варианты этой системы уравнений, отвечающие пренебрежению течением, перекрестными эффектами и тепловым расширением в уравнениях переноса вещества и тепла в парогазовой среде. Будут получены соотношения, описывающие стационарный режим роста или испарения многокомпонентной капли. Уравнения, описывающие рост/испарение в стационарном режиме, проанализированы для случая капель — идеальных многокомпонентных растворов.
1. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА ПРИ КОНДЕНСАЦИИ ОДНОКОМПОНЕНТНОГО ПАРА
Рассмотрим сначала условие баланса тепла при конденсационном росте или испарении од-нокомпонентной капли. Парогазовая смесь, окружающая каплю, полагается состоящей из пара конденсирующегося вещества с концентрацией частиц щ(г, t) (начало сферической системы координат находится в центре капли радиуса R(t)) и пассивного газа с концентрацией частиц ng (r, t). Для поля температуры в парогазовой среде используем символ T (r, t), при этом T(R, t) = Td (t) есть температура капли. На достаточном удалении от капли (за пределами диффузионного слоя) температура среды постоянна:
T(r ^ да, t) = T0.
(1)
n(r, t) = ni(r, t) + ng(r, t)
(2)
n(r, t)T(r, t) = nT0, где n = n(r ^ ж,t) = const. Условие баланса вещества:
Ri(t)
N1(t) + 4n J drr 2n(r, t) =
(3)
R(t) Ri(to)
(4)
= Ni(t0) + 4n J drr2n(r, t0) =
= const.
Здесь Nl(t) — число частиц первого компонента в конденсате, t0 — время начала конденсации; N1(t0) — число частиц в исходной капле радиуса R(t0), помещенной при t = t0 в парогазовую смесь; параметр R{(t) > R(t) определяется условием
Rl(t) = u(r = R^t), t),
(5)
где и(г, {) — скорость гидродинамического течения парогазовой смеси, окружающей каплю, причем и(г, t0) = 0.
Отметим, что при выборе ^(0 за пределами диффузионного слоя выражение (4) можно записать и в виде
Л«)
Ni(t) + 4п J drr2ni(r, t)
R(t)
Ri(to)
■ N1(t0) + 4n J drr2ni(r, t0)
(6)
= const,
R(to)
поскольку для неконденсирующегося газа имеет место условие
Ri(t )
Ri(to)
J drr 2ng (r, t) = J drr 2ng (r, t0)
= const.
(6a)
R(t)
R(to)
Предполагаем выполненным условие постоянства давления в парогазовой смеси (механическое равновесие). При этом суммарная концентрация частиц
Известно, что при постоянном давлении энтальпия теплоизолированной системы остается постоянной. В нашем случае в качестве такой системы можно рассматривать содержимое внутренней области шара г < радиус Л^) которого, в соответствии с (5), выбирается в области за пределами нестационарного диффузионного слоя, окружающего каплю. Условие постоянства энтальпии для этой системы может быть записано в виде
Ri(t )
hit(Td)Ni(t) + 4n J drr2 [hig(T(r, t))ni(r, t) ■
R(t)
(7)
и локальная температура среды в приближении идеальности парогазовой среды связаны соотношением
+ hg (T(r, t))ng (r, t)] = const.
Здесь Нц (Т) — удельная (на одну молекулу) энтальпия конденсирующегося компонента в жидкой фазе, Н1& (Т) — удельная энтальпия конденсирующего компонента в газовой фазе, Н& (Т) — удельная энтальпия пассивного газа. В дифференциальной форме условие (7) имеет вид
Ou (Td )NT + hi, (Td Wi, +
d
Ri(t)
R(to)
+ 4пd f drr2[hig(T(r, t))ni(r, t)+hg(T(r, t))ng(r, t)] = 0, dt J
R(t)
(8)
где с11 (Т) = йИц(Т)/йТ — изобарическая теплоемкость жидкости в расчете на одну молекулу.
Дифференцируя уравнение (6), получаем
d dt
Ri(t)
Ny(t) + 4nd J drr2nl(r, t) = 0.
(9)
R(t)
Из соотношений (8) и (9) при учете уравнения (6) имеем
g1(Td)Ni = cu(Td)NT + (hlg(Td) - \(To)) N +
Ri(t)
+ 4nd f drr2 [(hig(T(r, t)) - hig(To)), t) + (10) dt J R(t)
+
(hg(T(r, t)) - hg(To))(r, t)],
R(t)
dT (r, t)
St
XAT (r, t),
(12)
Ri(t)
J drr2 dlfcO = —R\t)XdT^
R(t)
dt
dr
r=R(t)
В результате уравнение баланса тепла (11) приобретает вид
qi(Td)N = c„(Td)NT - 4nRV^M
dr
(13)
r=R(t)
2. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА ПРИ КОНДЕНСАЦИИ МНОГОКОМПОНЕНТНОГО ПАРА
Обратимся теперь к случаю конденсационного роста капли в многокомпонентной смеси. Рассматриваем эволюцию капли заданного состава и заданного размера, помещаемой в первоначально пространственно-однородную парогазовую смесь. Предполагаем, что вещества, из которых состоит исходная капля, и вещества, пары которых первоначально присутствуют в парогазовой смеси (кроме пассивного газа), могут смешиваться в капле в любых пропорциях. Важно отметить, что при этом не предполагается идеальность раствора в капле.
Концентрация частиц /-го компонента в капле равна
где ^(Т) = ^(Т) - к11 (Т) — теплота испарения в
расчете на одну молекулу, так что д1(Та есть количество теплоты, выделяющееся в результате конденсации в единицу времени. Видно, что часть выделяющегося тепла идет на нагрев капли, а остаток расходуется на нагрев окружающей каплю парогазовой смеси.
В простейшем приближении, когда п1(г, 0 <§ (г, 0 ~ п, \Тй - Т0| <§ Т0 и можно пренебречь влиянием стефановского течения и теплового расширения на перенос тепла в окружающей каплю парогазовой смеси, уравнение (10) принимает простую форму
жо
N = си Т + п^ 4п \ йгг2 (11)
Xt(t) = i = i,.., k.
' N (t)
(14)
Число к равно сумме числа компонентов в исходной капле и числа компонентов пара в парогазовой смеси (за исключением пассивного газа), не представленных в исходной капле,
I
N, = N.
(15)
i=i
Пусть п(г, 0 — концентрации конденсирующихся паров (1 = 1, 2, ..., к). Концентрацию неконденсирующегося газа-носителя, как и ранее, обозначим п&(т, 0. Суммарная концентрация частиц в парогазовой смеси определяется выражением
где с&(Т) = (Т)/йТ — удельная изобарическая теплоемкость пассивного газа. В этом приближении Т (г, г) определяется из уравнения
n(r, t) = ng (r, t) + I щ (r, t),
(16)
i=i
а уравнение баланса полного количества вещества в системе имеет вид
к
Ri(t)
где х — коэффициент температуропроводности парогазовой смеси. И
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.