АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2015, том 49, № 4, с. 283-299
УДК 521.186
ОБ ЭВОЛЮЦИИ СПУТНИКОВЫХ ОРБИТ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СЖАТИЯ ПЛАНЕТЫ, ПРИТЯЖЕНИЯ ЕЕ МАССИВНЫХ СПУТНИКОВ И СОЛНЦА
© 2015 г. М. А. Вашковьяк1, С. Н. Вашковьяк2, Н. В. Емельянов2, 3
1 Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия, 2 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга, Москва, Россия,
3 Парижская обсерватория, Институт небесной механики и вычисления эфемерид, Франция е-таП: vashkov@keldysh.ru Поступила в редакцию 26.01.2015 г.
Рассматривается задача о совместном влиянии сжатия центральной планеты, притяжения ее наиболее массивных (или главных) спутников и Солнца на эволюцию орбиты спутника пренебрежимо малой массы. Для произвольного угла между экваториальной плоскостью планеты и плоскостью ее гелиоцентрической орбиты получены эволюционные уравнения в плането-экваториальных элементах спутниковой орбиты. Описаны интегрируемые случаи эволюционной задачи. С помощью численных расчетов и аналитических оценок выявлено влияние главных спутников Урана на эволюцию орбит его реальных и гипотетических спутников.
Ключевые слова: осредненная возмущающая функция, эволюция орбит, спутники Урана. БО1: 10.7868/80320930X15040088
ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Настоящая работа является естественным продолжением исследований по эволюции орбит под действием гравитационных возмущений, выполненных в работах Лидова, (1961) и Ко2а1 (1962), в которых выявлены главные особенности эволюции орбит спутников и астероидов под влиянием вековых возмущений от внешней притягивающей материальной точки. Это, в частности, — эффект сильного возрастания эксцентриситета орбиты при постоянной большой полуоси с одновременным уменьшением расстояния перицентра, вплоть до падения спутника на поверхность планеты конечного радиуса. Данный эффект, получивший название механизма (и резонанса) Лидова—Козаи, возникает, когда спутниковая (или астероидная) орбита наклонена к плоскости движения возмущающей точки на угол, близкий к 90°. Поскольку орбиты подавляющего большинства известных спутников достаточно далеки от ортогонального расположения относительно плоскости эклиптики, эффект падения для них проявиться не может. Исключением могли бы явиться главные и внутренние спутники Урана. Почти экваториальные (и почти круговые) орбиты этих спутников наклонены к плоскости эклиптики на углы, отличающиеся от прямого лишь на величину около 8°. Как было показано в работе (Лидов, 1963), объяснением реального существования самого далекого из главных спутников —
Оберона (и, конечно же, всех более близких спутников) является влияние сжатия Урана, с избытком компенсирующее вековые солнечные возмущения. Некоторым особенностям спутниковой системы Урана посвящены также работы (Вашковьяк, 2001; Вашковьяк, Тесленко, 2002). Эволюционные модели, используемые в вышеуказанных работах, не включали в число возмущающих факторов притяжение главных спутников. В то же время влияние этого фактора на процесс орбитальной эволюции может оказаться достаточно заметным — оно и является предметом предлагаемого исследования.
В первых четырех разделах настоящей работы получены эволюционные уравнения задачи о вековых возмущениях орбиты спутника пренебрежимо малой массы при совместном влиянии трех возмущающих факторов (сжатия центральной планеты, притяжения ее главных спутников и притяжения Солнца), описаны интегрируемые случаи и намечены возможные пути их исследования. В этой новой эволюционной ограниченной задаче наибольший интерес представляет изучение той области околопланетного пространства, в которой влияние на спутник указанных возмущений попарно или в совокупности сравнимо по величине.
В последнем пятом разделе рассмотрена спутниковая система Урана. Для широкого диапазона больших полуосей орбит с помощью полученных приближенных аналитических зависимостей и
численных оценок выявлено влияние главных спутников Урана на эволюцию орбит некоторых его реальных и гипотетических спутников.
Основой для получения эволюционной системы является вековая часть Wполной возмущающей функции, которая находится с помощью ее независимого осреднения по всем "быстрым" переменным — средним планетоцентрическим долготам Солнца, главных спутников и исследуемого (пробного — реального или гипотетического) спутника, т.е. исключением короткопериодической части. Таким образом, функция W зависит только от пяти планетоцентрических кеплеровских элементов орбиты: a — большой полуоси, е — эксцентриситета, i — наклонения, ю — аргумента перицентра и Q — долготы восходящего узла. Угловые элементы отнесены к плоскости экватора планеты и линии ее пересечения с плоскостью гелиоцентрической орбиты (или планетоцентрической орбиты Солнца). Как следует из уравнений Лагранжа в элементах, в силу независимости W от средней долготы пробного спутника большая полуось его орбиты, остается постоянной, а сама эта функция дает нам первый интеграл эволюционной системы W= = const.
Функция Wсостоит из трех слагаемых, отвечающих трем вышеупомянутым возмущающим факторам, а первый интеграл принимает вид
W = W0 + W1 + W2 = const. (1)
В нижеследующих формулах, кроме элементов орбиты, введены следующие обозначения:
ц0, ц j, ц' — произведения гравитационной постоянной на массы, соответственно, планеты, ее у-го главного спутника и Солнца;
W = ^ < 16а'3
Функция Ж2 описывает вековые возмущения от главных спутников планеты, которые в нашем рассмотрении предполагаются не взаимодействующими между собой. Эта функция определяется формулой
W2 = — [V (Е) (1 - всоъЕ) йЕ, (2)
о
где Е — эксцентрическая аномалия пробного спутника, а V в динамической интерпретации представ-
а0, üj, ü — соответственно, средний экваториальный радиус планеты, большая полуось орбиты ее j-го главного спутника и планетоцентрической орбиты Солнца;
с20 — коэффициент при второй зональной гармонике гравитационного поля планеты;
/orb, ®orb — соответственно, наклонение и аргумент перицентра орбиты пробного спутника, отнесенные к плоскости орбиты планеты.
В данной работе эволюционная задача рассматривается с учетом главных членов вековых частей возмущающих функций, выражения для которых приводятся ниже.
Функция W0 описывает вековое влияние лишь второй зональной гармоники гравитационного поля планеты
W0 = 3»£ж (1 - е2)2 (2/ - 2/3).
Функция W1 описывает влияние вековых солнечных возмущений в квадратичном приближении относительно а/а' или — в приближении Хилла.
3и'а2 W1 —х
16а'
х [2 (e2 - sin2
'orb ) +e 2sin orb
(5cos2©orb - 3)].
Элементы iorb и ®orb могут быть известным образом выражены через i, ю, Q и угол между экваториальной плоскостью планеты и плоскостью ее орбиты, обозначаемый через I. Функция W1 определяется следующим выражением
ляет собой силовую функцию системы конечного числа J гауссовых колец с массами, равными массам спутников. Мы используем нетрадиционную форму функции Ж>, предложенную в работе (Вашко-вьяк и др., 2013а). Особенностью является ее единое представление как для внутреннего, так и для внешнего вариантов задачи, т.е. для а/а] < 1 и для а/а;- > 1. В упрощенной модели мы будем предполагать, что орбиты всех главных спутников лежат в экваториальной плоскости планеты и имеют нулевые эксцентриситеты. При этом V выражается че-
2e2 - (2 + 3e1) sin2/ + sin2I (cos2/ + sin2/sin2Q) -1 sin2Isin2/cosQ
sin2/ + sin21 (cos2/ + (sin2/ - 2)sin2Q) -1 sin2Isin2/cosQ
+ 5e cos2®
+
5e 2sin2®|-sin2 Icos/sin2Q + sin2Isin/sinQ|
рез гипергеометрическую функцию Гаусса (Vashk-ovjak, 1976)
V =
ZaÍ
К
F
2 , 2 а J + Г
1 з. 1; 4а (r 2 - z 2 )
4,4. . / 2 + ,П2
(3)
( + г2)
и зависит от Е только посредством квадратов пла-нетоцентрических координат пробного спутника
г = а (1 - e cos E) и z = a sin/[( cos E - e) sin ю +
2 1/2 (4)
+ (1 -e ) cosюsinE].
С использованием формул (2)—(4) можно показать, что функция W2 зависит от e, i и ю, соответственно, лишь посредством комбинаций e2, sin2i и e2sin2icos2®. Указанные свойства справед-
ливы для любых значений эксцентриситета и наклонения орбиты пробного спутника, а выражение для функции Ж2 в общем виде может быть представлено следующей формулой
^ = ХТГЧ Z P(} (a, ai)
а2 + а
2 k
(5)
x Qk. (e2, sin2/, e2sin2/'cos2w),
где Р(\ — суть некоторые рациональные функции своих аргументов. Однако явное аналитическое выражение (5) для произвольных значений е, I достаточно громоздко. В силу этого, для целей приближенного анализа мы будем использовать упрощенную формулу
^2 = Z
1 ^
2
а + а
,0)
(a,a.)(e2 - sin2/) + P^-1 (a,a.)e4 + p}. (a,a.)sin4/ +
+ P^ (a,a^e^in2/ + P^ (a,a.)e2sin2/cos2w + O(e,sin/)6_
>W
(6)
J
J
Разумеется, она справедлива лишь для умеренных значений эксцентриситета и синуса наклонения и не учитывает слагаемых шестой и высших четных степеней относительно e и sin/'. Постоянные
коэффициенты, pkj (a,a ¡) (1<j< J; 1 < к< 5), вообще говоря, могут быть вычислены с помощью известных коэффициентов Лапласа. Мы используем нестандартный метод вычисления (Вашковьяк и др., 2013а; 20136; 2015), в котором коэффициенты P^ (a,a j) находятся с помощью степенных рядов относительно параметров
Zj =
2аа
2
7
v
а + а
или п.. =1 -z } =
/ 2 2\2 а - а
J
v
а + а
J
Это происходит при перемножении тригонометрических рядов, содержащих в аргументах тригонометрических функций быстрые переменные одинаковой кратности в сомножителях. Такие члены в нашем рассмотрении отбрасываются сразу при осреднении возмущающей функции. Мы предполагаем, что картину эволюции орбит определяет, главным образом, осредненная часть возмущающей функции.
ЭВОЛЮЦИОННАЯ СИСТЕМА В КЕПЛЕРОВСКИХ ЭЛЕМЕНТАХ
Для последующего рассмотрения мы вводим несколько постоянных параметров
не зависящих от соотношений между большими полуосями а и а. Кроме положительных степеней, в разложении по параметру п. функции Ж2 появляются особенности вида 1/п. и 1пг|у-. Они связаны с возможной близостью орбит возмущаемого и возмущающего спутников. Однако применение такого ряда позволяет существенно уменьшить число его
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.