МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Ю. Е. ИВАНОВА, В. Е. РАГОЗИНА
ОБ ЭВОЛЮЦИОННОМ УРАВНЕНИИ ПРОДОЛЬНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН В УПРУГИХ СРЕДАХ СО СЛАБОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ
Рассматривается ряд задач ударного деформирования в нелинейно упругой сжимаемой среде с наличием в ней неоднородных свойств. На основе метода сращиваемых асимптотических разложений показано, что наличие слабой неоднородности и определенное соотношение между ее порядком и порядком нелинейности модели приводит в областях, удаленных от нагружаемой границы, к различным типам эволюционных квазилинейных волновых уравнений. Наиболее интересный вариант возникающего эволюционного уравнения получен с помощью совместного изменения как масштаба пространственной координаты, так и связанного с ним вида полухарактеристической переменной. Идеи решения показаны на примере плоской продольной ударной волны в среде с неоднородностью по направлению движения волны. Полученные эволюционные уравнения в пределе при переходе к изотропной среде сводятся к известному уравнениию Коула—Хопфа.
Ключевые слова: нелинейная упругая сжимаемая среда, неоднородность сплошной среды, нестационарные задачи, ударные волны, метод возмущений, эволюционные уравнения.
1. Введение. Нестационарные процессы интенсивного деформирования твердых тел, сопровождаемые образованием и распространением ударных волн, могут быть описаны только на основе нелинейных математических моделей. Наиболее простая из них — модель нелинейно упругой изотропной среды [1]. Для этой модели известно [2, 3], что в общем случае волновые процессы не могут быть разделены на чисто продольные или поперечные и приобретают смешанный характер. На движение передних фронтов ударных волн оказывают влияние предварительные деформации среды, волновая интенсивность, послеударное воздействие на нагружаемых поверхностях, а также геометрические характеристики волновой поверхности [2, 3]. Перечисленные свойства краевых задач с поверхностями сильных разрывов, за исключением автомодельных постановок, не позволяют получать точные аналитические решения. Вместе с тем возрастает значение приближенных аналитических методов (методы возмущений [4—6], метод лучевых рядов [7, 8]) как инструмента для получения оценок поведения решения для областей в окрестностях передних волновых фронтов. Именно здесь наиболее интенсивно происходит динамическое деформирование среды. Один из наиболее эффективных для этих целей метод — метод сращиваемых асимптотических разложений [4]. На его основе в ряде работ [9—12] показано, что в прифронтовой области ударной волны основная информация о решении определяется так называемыми эволюционными уравнениями [13]. К примеру, для плоских продольных ударных волн в неоднородных средах таким уравнением будет уравнение Коула—Хопфа [14]. На практике зачастую необходимы сведения о характере и закономерностях движения ударных волн в массивах большой протяженности, для которых необходимо учесть возможную неоднородность среды. Различные варианты неоднородности упругой среды в сочетании с
нелинейностью интенсивного деформирования приводят к разнообразным эволюционным уравнениям. В настоящей статье рассмотрена задача о плоской продольной ударной волне с учетом неоднородности нелинейно упругой среды в направлении движения волны.
2. Общие соотношения модели и постановка краевой задачи. Движение нелинейно упругой изотропной среды представим в декартовой пространственной системе координат Эйлера х,, х2, х3 системой уравнений
р = рс^е^бу - и, Д 2ау = Щу + ыи - икщк Д и = Щ + и1<р},
ъ]у = Р(и + и,Р]), ъ] = (8ку - 2аку^
Ро да1к
« = ^ + Ц/2 + </,/2 + + п/3 +..., ,2Л)
т __т _ т _ . дщ _ ди,
/1 = аii, 12 = а]аji, 13 = а]а]каki, Щ Щ,] = -—
дг дху
связывающей между собой функции плотности среды в свободном (р0) и текущем (р) состоянии, компоненты векторов перемещений щ и скорости и точек среды, компоненты тензоров деформаций Альманси а у и напряжений Эйлера—Коши Оу. В системе (2.1) W — упругий потенциал среды, заданный рядом Тейлора в окрестности свободного состояния для адиабатического приближения, А, ^, I, т, п — упругие модули среды, из них первые два — параметры Ламе. В уравнениях (2.1) и далее принято суммирование по повторяющимся индексам.
Сделаем дополнительное предположение о константах среды, считая, что они слабо изменяются в направлении оси х1, поэтому в рассматриваемых далее одномерных задачах предполагается слабая неоднородность свойств среды на основном фоне на интересующих нас расстояниях для волнового процесса
X = X 0 + £ кХ ,5, Ц = Ц 0 + £ кД ,5, р0 = р 0 + £ кр
I = <0 + £ к1\5, т = т0 + £ ктт15, п = п0 + £к п,5, (2.2)
5 = _хЦ С0= Х + 2Ц0, к>0
С0Т \ р 0
где х0, X,, ц0, ¡1,, р0, р,, 10, /,, т0, т,, п0, П, — константы задачи, Т — характерное время и С0Т — характерное расстояние, е < , — малый параметр задачи. Формулы (2.2) соответствуют предположению о слабой линейной неоднородности свойств среды в направлении оси х1.
Если краевые задачи в своих граничных условиях содержат разрывы от функций, входящих в систему (2.1), то решение необходимо считать обобщенным [15]. Для такого класса решений следствием интегральных законов сохранения будут динамические условия совместности разрывов [16], а также геометрические и кинематические условия совместности [17]:
[р(ип - О)] = 0
] = р»] -О)М, = р»] -О){ + И}-№
[/ ]
£/
п + а аР[/ ],а хф [Я = -О
1
+ 5[/] дх1 (2.3)
+ , х1а = —-
Ы 1,а дуа
Яар = х;-,ах;-,р, а а%у = 8<а, = 0, пп = !, [/ ] = / + - /-
В формулах (2.3) О — скорость движения ударной волны в направлении своей единичной внешней нормали с компонентами и; e — плотность распределения внутренней
а
энергии, qj — компоненты вектора теплового потока, у — система координат на волновой поверхности, греческие индексы принимают значения 1, 2. Индексы "+" и "—" обозначают конечные предельные значения величины/ вычисленные перед волной и сразу за ней. Кроме того, обозначение 8/8? — дельта-производная по Томасу [17] (производная по времени в данной точке подвижной поверхности).
Далее рассмотрим одномерную задачу о движении плоской продольной ударной волны по полупространству Х1 > 0, занятому нелинейно упругой неоднородной средой. Полупространство не имеет деформаций до момента ? = 0. Начиная с этого момента, на границе Х1 =0 под действием ударной нагрузки происходят перемещения по известному закону:
"1|Х1=Л(,), ?,о = М). /о'(0> > 0 (2.4)
Считаем, что перемещения точек среды имеют одну ненулевую компоненту, так что
«1 = И1(Х1,?>, «2 = й3 = 0. Условие /0(0) > 0 приводит к мгновенному образованию ударной волны. Из условий задачи и системы (2.3) следует, что такая волна будет чисто продольной, а ее скорость задается формулой
О 2= х+Тц Г —+ Р0 I I к + 2ц]
Т1 = =*(,) = -ий|Х(0. х (?) = ¡° © ъ (2.5)
0
7
а = --(к + 2ц) + 3(1 + т + п)
в которой ц — интенсивность ударной волны, Х^) — неизвестная функция, задающая положение волнового фронта.
На переднем фронте ударной волны выполняется еще одно условие, следующее из непрерывности перемещений и отсутствия предварительных деформаций:
Щ\ ' = 0 (2.6)
0
Для нашей задачи из системы (2.1), (2.2) приходим к уравнению движения вида
(к + 2ц + 2а«1.1) «1.11 + ((к + 2ц)д + а.1«1.1) «1.1 +... =
= —{и 1(1 - 2«ц) + 2й 1 1й 1} +... (2.7)
(1 - «1 .1)
Решение поставленной краевой задачи необходимо связано с применением приближенных аналитических методов или численных расчетов. Ниже строится ее решение методом сращиваемых асимптотических разложений.
3. Метод сращиваемых асимптотических разложений. Применение метода малого параметра связано с выбором безразмерных переменных. Они могут быть заданы формулами
я = т = м^.т) = е-1 (3.1)
С0Т т С0Т
Включение малого параметра е, исходно связанного с неоднородными свойствами в формулах (2.2), в оценку малости перемещений внутри среды и на границе позволяет отказаться от решений в виде рядов по нескольким малым параметрам. Различия в малости деформаций и неоднородности здесь учитываются за счет выбора различных значений для степени к в формулах (2.2). В новых переменных (3.1) от уравнения (2.7) переходим к уравнению
+ + а^+ 2а2ек+ ек^>5(а1 + (а2 - а^Ем^) +... =
= (1 + Е кр15)(^тт(1 - ) +) + .,
а0= -9 + 6 /о + то + "о, а1= , (3.2)
Xо + 2цо Xо + 2цо
р1= ^, 2а 2 = -9 + 611 + т 1 + "1
Р о X о + 2ц о X о + 2ц о
а краевое условие (2.4) переходит в условие
^ т)тао= !(т), / '(°)>° (3.3)
Во-первых, рассмотрим задачу при к = 2. Неизвестную функцию ^(я, т) представим асимптотическим рядом по степеням малого параметра е :
^(5,т) = ^о(5,т) + £^1(5,т) + е ^2(5,т) + ... (3.4)
Подставляя ряд (3.4) в уравнение (3.2) и краевое условие (3.3), получим решение, называемое [4] внешним
w(s, m) = f (®) + £ {- О0 (f '(®))2 s + f '®f (£)} + (f '(®))2 f "®s2 -f (a0 + 5) (f s +
+ £2 Jai
I 8
+ f 2%f -^ f (^)f(^)f"^)S + f& + (3.5)
+ (l + Ooj(f®)) f® + 2/(£)(£ + s)s - -2(f- f (®))s} + ...,
£ = m - s > 0, Y = ai -Pl 2
В этом решении нет возможности выполнить краевые условия (2.5), (2.6), поставленные на поверхности, положение которой не задается уравнением £ = const. Ряд (3.5)
теряет равномерность в области, где s ~ е 1, поэтому новые переменные для дополнительного внутреннего решения выберем так:
g = £s, p = s - m, w = w(p, g)
Записывая в них уравнение (3.2) и представляя функцию w(p, l) асимптотическим рядом по степеням s, на нулевом шаге получим уравнение
U0,g + U0 + yg j U0, p = 0, U0= wo, p (3.6)
Уравнение (3.6) является эволюционным по своему типу. Оно переходит в уравнение Коула—Хопфа при а, = р, = 0. Угол наклона характеристик этого уравнения аддитивно зависит от двух факторов: нелинейности задачи и неоднородности среды. Отметим, что появление последнего слагаемого в уравнении (3.6) связано с разложением в ряд Тейлора функции
С = С».ЕЖ = С {1 + У£5 + ...}
\ 1 + р,£5
то есть эволюционное уравнение отражает в первом приближении искажения характеристик за счет неоднородности задачи. Общее решение уравнения (3.6) задается как
и0= Р (р-«20 и0Я - 2 Я2) (3.7)
Что касается положения переднего фронта ударной волны, то считая на нем Р
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.