ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2008, том 44, № 1, с. 75-85
УДК 532.516.013.4:536.25
ОБ ИНТЕНСИВНОЙ ТУРБУЛЕНТНОЙ КОНВЕКЦИИ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ПЛОСКОМ СЛОЕ ЖИДКОСТИ
© 2008 г. С. Я. Герценштейн*, И. А. Палымский**, И. Н. Сибгатуллин*
*Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова 119899 Москва, Мичуринский просп., 1 E-mail: sibgat@imec.msu.ru **Современная гуманитарная академия НФ 630064 Новосибирск, ул. Ватутина, 71 Поступила в редакцию 06.07.2007 г., после доработки 29.08.2007 г.
В рамках нестационарных уравнений Навье-Стокса методом Бубнова-Галеркина проводится прямое численное моделирование турбулентной конвекции в подогреваемом снизу горизонтальном слое жидкости. Основное внимание уделяется расчетам при сверхбольших надкритичностях. При этом для уменьшения вычислительных нагрузок на каждом шаге интегрирования используется метод расщепления. Предварительно продемонстрирована малость невязки системы исходных уравнений при подстановке в нее результатов численного расчета и ее зависимость от числа опорных функций и надкритичности. Кроме того, установлено хорошее соответствие результатов при различных схемах численной реализации метода Бубнова-Галеркина, в частности, при стохастических процессах при небольшой надкритичности, возникающих с образованием "странных" аттракторов, близких к листу Мебиуса. Проведены расчеты в широком диапазоне надкритичности: от 1 до 34000. Показано хорошее качественное соответствие эксперимента и численного моделирования.
ВВЕДЕНИЕ
Прямое численное моделирование турбулентных течений в рамках нестационарных уравнений Навье-Стокса началось примерно в середине семидесятых годов [1-3]. Возникновение странных аттракторов в системах гидродинамического типа [4] впервые, по-видимому, было обнаружено и описано в работе Лоренца [5], хотя до середины 70-х годов на эту работу не было ни одной ссылки, и фактически она была неизвестна.
В настоящее время можно считать общепризнанным, что фактически обнаружен новый класс решений уравнений Навье-Стокса, обладающий стохастическим поведением как по времени, так и по пространству (см., например, [6, 7]). Причем эти решения хорошо соответствуют реальным турбулентным течениям, например, в каналах и трубах.
Существенно, что в некоторых случаях удалось установить малость невязки исходных уравнений Навье-Стокса при подстановке полученного решения и показать её монотонное убывание при увеличении числа опорных функций [8, 9].
Обнаружение нового класса стохастических решений в относительно простых динамических системах и системах большой размерности [10-16] затрагивает основы современного естествознания, так как открывает принципиально новые, порой весьма экзотические механизмы возникновения хаоса. Причем эти механизмы связаны не с внешними случайными воздействиями, а с внутренней природой самих динамических систем.
Хотя можно считать установленным сам факт существования стохастических решений уравнений Навье-Стокса, однако остается много вопросов, связанных, в частности, с их численным моделированием.
Особенно острой и востребованной является проблема расчета интенсивных турбулентных течений при больших значениях надкритичности.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В данной работе в приближении Буссинеска рассматриваются двумерные конвективные течения вязкой несжимаемой жидкости в бесконечном слое между двумя горизонтальными плоскостями при подогреве снизу. Течение предполагается периодическим в горизонтальном направлении с периодом 2п/а, где а - минимальное волновое число, а горизонтальные границы области - изотермическими. Записанная в отклонениях от равновесного решения, после обезразмеривания исходная система уравнений имеет вид:
1
ю, + pR (фу - Ф x®y) = Аю + RaQx,
Аф = -ю,
11
Qt + PR (фуб* - Фхйу) = prAQ -ргФх,
где ф - функция тока, ю - вихрь, Q - отклонение температуры от равновесного линейного профиля (полная температура равна 0 = 1 - y + Q), А/=fxx + f -оператор Лапласа, действующий на функцию /, Ra= gP^SQ/xv - число Рэлея, Pr = v/x - число Прандтля, g - ускорение силы тяжести, в, v, x -коэффициенты теплового расширения, кинематической вязкости и температуропроводности, H - толщина слоя и SQ - разность температур на горизонтальных границах, x и y - горизонтальная и вертикальная координаты. В дальнейшем для краткости будем называть Q и 0 температурой.
Рассматривается задача о конвекции в двух постановках, которые различаются по граничным условиям на горизонтальных границах:
1. На горизонтальных границах обращаются в нуль: вертикальная компонента скорости, касательное напряжение и температура, что равносильно: ф = ю = Q = 0. Такие граничные условия ниже будут называться свободными.
2. Вместо условия равенства нулю касательного напряжения используется условие прилипания: ф = фу = Q = 0. Такие граничные условия ниже называются жесткими.
Граничные условия на боковых границах в обеих постановках не отличаются. Мы рассматриваем периодические по горизонтальной координате х решения системы (1), но для повышения эффективности применения конечно-разностной схемы, расчеты проводятся в области, длина которой равна половине периода решения, поэтому на боковых границах периодические граничные условия для искомых функций заменяются на граничные условия первого и второго рода, в соответствии с видом решения.
Искомые величины ю, ф и Q разыскиваются в виде:
N M-1
ю( t, x, y) = t)pk cos (akx) sin (nmy),
к = 0m = 1
ф( t, X, y) =
N M-1
V V Юкт( t) ( ) (2)
= XX __2,2 . _2 2 Pk cos (akx) sin (nmy),
к = 0 m = 1
Z j Z Z Z
a к + п m
N -1 M - 1
Q(t,x,y) = XX Qmt) sin(akx) sin(пmy),
к=1m=1
для задачи со свободными и
N
ю( t, x, y) = Хюк (t, y )рк cos (akx),
к=0 N
ф( t,x,y) = Хфк(t,y )Pkcos (akx), (3)
к=0 N-1
Q (t, x, y) = X Qk (t, y) sin (akx),
к=1
для задачи с жесткими граничными условиями, здесь рк = 0.5 при к = 0, N и 1 при 1 < к < N - 1.
Итак, система (1) решается в области G = { 0 < х <
< п/a, 0 < y < 1} с граничными условиями на вертикальных границах: фх = юх = Q = 0 при x = 0, п/a; 0 <
< y < 1.
Пусть r = Ra/Racr - надкритичность, здесь Racr -критическое значение числа Рэлея, равное 657.5 и 1708 для задач со свободными и жесткими граничными условиями соответственно.
Следуя общей идеологии метода расщепления, переход от слоя n к слою n + 1 по времени производится в два этапа. На первом этапе расщепления мы устанавливаем соответствие в линейном приближении спектральных характеристик численного метода и дифференциальной задачи, учитывая все линейные члены системы (1), полученная линейная система решается в спектральном пространстве аналитически. А на втором этапе учитываем все нелинейные члены. Полученная нелинейная система решается в физическом пространстве по конечно-разностностной схеме продольно-поперечной прогонки. Более подробное изложение численного метода для расчета двумерной конвекции со свободными и жесткими граничными условиями можно найти в [17].
РАСЧЕТЫ ПРИ МАЛОЙ НАДКРИТИЧНОСТИ
В работе [18] представлены результаты экспериментов по стационарной конвекции в дистиллированной и морской воде при небольшой надкри-тичности (до r < 14). Рабочая область в экспериментах имела размеры (20.3 см, 7.6 см, 0.635 см) (горизонтальные размеры и высота), визуальное наблюдение проводилось через окно размером (1.905 см, 0.635 см) (горизонтальный размер и высота). На верхней и нижней горизонтальных границах поддерживалась постоянная температура. Оси конвективных валов в эксперименте были ориентированы параллельно короткой боковой стороне рабочей области.
Для сравнения с этими экспериментальными данными выполнены расчеты стационарной конвекции по двумерной модели со свободными и жест-
кими граничными условиями на горизонтальных границах сначала проведем сравнение с экспериментальными данными, полученными в дистиллированной воде для надкритичности г = 2.2 и числа Прандтля Рг = 6.8. Все результаты данного раздела получены с количеством гармоник [ЫМ] = [513 х 17].
Безразмерный размер области по горизонтали (половина периода) был выбран таким же, как в эксперименте: п/а = 20.3/0.635 = 31.97 (а = 0.09827); данные для визуального сравнения, как и в эксперименте, рассматривались в окне, горизонтальный размер которого был в три раза больше вертикального.
На рис. 1 показаны изотермы полной температуры, полученные в эксперименте и расчетах по двумерной модели со свободными и жесткими граничными условиями. Видно, что обе расчетные изотермы качественно близки к экспериментальной, но расчеты по двумерной модели с жесткими граничными условиями кажутся более точными по форме изотерм.
Количественные оценки дают число Нуссельта, равное 1.82 в эксперименте, 2.23 и 1.75 - в расчетах по двумерной модели со свободными и жесткими
граничными условиями с отклонениями 23% и 4% соответственно.
Размер конвективной ячейки X (рис. 1а) в эксперименте оказался равным примерно 2.35Н, где Н -толщина слоя, по сравнению с расчетным значением 2.37Н.
На рис. 2 сравниваются экспериментальный (1) и расчетные профили средней температуры, полученные со свободными и жесткими граничными условиями (2 и 3 соответственно).
Результаты расчетов и эксперимента хорошо согласуются в центральной области, но профиль средней температуры, полученный в расчете со свободными границами, имеет более крутой наклон вблизи обеих горизонтальных границ.
Об интенсивности конвективного движения можно судить по максимальному значению функции тока: 4.898 и 4.191, для свободных и жестких граничных условий соответственно. Увеличение интенсивности конвекции в случае свободных граничных условий, связанное с отсутствием торможения на границах силами вязкости, приводит к увеличению теплопереноса и увеличению числа Нуссельта, что по определению последнего означает более
• 1
--2 -3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
У
Рис. 2. Экспериментальный [18] (1) и расчетные профили температуры со свободными (2) и жесткими граничными условиями (3) при г = 2.2.
крутой наклон профиля средней температуры вблизи горизонтальных границ.
Экспериментальные данные [18] показывают при г ~ 2.34 смену режима передачи тепла (резкое изменение п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.