ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 3, 2004
УДК 531/532:534.1
© 2004 г. А. Г. Петров
ОБ ИНВАРИАНТНОЙ НОРМАЛИЗАЦИИ НЕАВТОНОМНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
Предлагается новый метод построения канонических замен переменных в параметрическом виде, отличный от существующих в гамильтоновой механике конструктивных методов: метода производящих функций и метода генераторов. Формулируется критерий существования параметрического представления канонической замены переменных и выводится закон преобразования гамильтониана. Развитый метод применяется для нахождения нормальной формы гамильтонианов. Используется определение нормальной формы [1, 2], которое не требует разделения на автономный - неавтономный, резонансный - нерезонансный случаи и осуществляется в рамках единого подхода. Для асимптотик нормальной формы выводится система уравнений, аналогичная цепочке уравнений, полученной ранее в [1, 2]. Вместо метода генератора и производящего гамильтониана используется параметризованная производящая функция [3], что позволяет без приведения системы к автономной, как и ранее [1, 2], получить цепочку уравнений непосредственно для неавтономных гамильтонианов.
1. Параметрическая форма канонических преобразований. Общий результат параметризации канонической замены переменных в гамильтоновых системах сформулируем в виде теоремы [3].
Теорема 1. Пусть преобразование переменных q, р ^ О, Р записано в параметрической форме
q = х-2о = х =
(1.1)
р = у +1 Р = у - 1 ^
Тогда при любой функции ¥(г, х, у)
1) якобианы двух преобразований q = q(г, х, у), р = р(г, х, у) и О = О(г, х, у), Р = Р(г, х, у) тождественны:
дН = = /(Г, х, у) (1.2)
д(х, у) д(х, у)
2) в области / > 0 преобразование (1.1) переменных q, р ^ О, Р переводит гамиль-тонову систему Н = Н(г, q, р) в гамильтонову систему Н = Н (г, О, Р) по следующему закону:
¥,(г, х, у) + Н(г, ^ р) = Н(г, О, Р) (1.3)
где аргументы q, р и О, Р в гамильтонианах Н и Н выражены через параметры х, у по формулам (1.1).
Зададимся целью исследовать, для каких канонических преобразований существует параметризация.
2. Производящие функции. Каноническое преобразование можно представить также через производящие функции ^(г, q, Р) и 82(г, О, р)
йБ1 = р йq + О йР + (Н- Н) йг, ёе^ qP Ф 0
йБ2 = ^йр + РйО + (Н- Н) йг, det82рО Ф 0 Введем новую производящую функцию
ф = 1 [ Vг, ^ Р) - qP + ^2(г, О, р) + Ор] (2.1)
Ее дифференциальная форма такова:
п
йф = 1 I
2
г = 1
йг - Уг Рг - Рг
й0,{ + йР1 + йр1
+ (Н- Н)йг (2.2)
При йг = 0 дифференциальная форма йФ была приведена Пуанкаре (см. [4] с. 191, [5], с. 337) и показано, что если О^, р), Р^, р) - каноническое преобразование, то йФ -полный дифференциал, и функция Ф^, р) существует.
Разрешим уравнения (1.1) относительно х, у и Фу, Получим
х = 1-(q + О), у = 1-(р + Р) (2.3)
^у = О - q, ^х = -Р + р
Отсюда при условии, что якобиан замены (2.3) отличен от нуля (Э(х, у)/Э^, р) Ф 0), следует равенство йФ = и тождественность функций Ф и
*(х, у) = ^^^ = Ф(^ р)
Из соотношений (1.2) и (2.3) следует
д(Х4 = 1 = 2-2 п det( Е + А), А =
д(q, р) ] д(q, р)
и условие невырожденности замены (2.3) можно записать так: ёе^Е + А) Ф 0, где А -матрица Якоби и Е - единичная матрица соответственно.
Сформулируем полученный результат.
Теорема 2. Если в области р) б О преобразование р), Р^, р) - каноническое, и ни одно из собственных значений матрицы Якоби А не равно -1, то в области О существует параметризация (1.1).
В монографии [5] обращается внимание на "удручающую неинвариантность" производящих функций по отношению к выбору базиса канонической системы координат и инвариантность дифференциальной формы Пуанкаре (2.2). Отсюда следует, что и параметрическая функция ¥(х, у) также имеет инвариантный характер. Если функция ¥(х, у) существует в каких либо переменных, то она будет существовать и при любой канонической замене переменных. Условие (/ Ф 0) существования параметрического представления (1.1) инвариантно по отношению к выбору канонических переменных, тогда как условие det Ф 0 зависит от выбора канонических переменных. Условие det Ф 0 может нарушиться при канонической замене пере-
менных. Кроме того, класс параметризуемых канонических преобразований существенно шире класса канонических преобразований через производящую функцию. Так, поворот на 90° : q = —Р, р = 2 нельзя представить через производящую функцию Б^, Р), а через параметрическую функцию можно: ¥ = х + у2. Эти и другие преимущества параметризации перед методом производящих функций уже отмечались [3].
Покажем, как уравнение (1.3) приводит к развитому ранее [1, 2] методу инвариантной нормализации гамильтонианов.
3. Инвариантная нормализация гамильтонианов. В гамильтоновой системе нормальная форма гамильтониана называется нормальной формой Биркгофа [6]. Наиболее компактное определение этой формы см. в [7]. Во всех случаях порождаемый гамильтониан выбирается в виде простейшей квадратичной формы для линейной колебательной системы, а определение нормальной формы привязывается к выбору порождаемого гамильтониана и имеет неинвариантный характер [5—9].
В литературе наиболее распространены два способа построения канонических замен, приводящих систему к нормальной форме. Один способ основан на использовании производящих функций. Так поступал Биркгоф [6]. В другом способе вместо производящих функций применяются генераторы Ли, что удобнее, поскольку не требует обращения степенных рядов, необходимого в случае производящих функций.
Был предложен [1, 2] общий критерий нормальной формы Биркгофа для возмущенного гамильтониана
Н(г, q, р, е) = Н0(г, q, р) + Ё(г, q, р, е), Ё(г, q, р, е) = еЁ1(г, q, р) + е2г, q, р) + ...
Определение. Возмущенный гамильтониан имеет нормальную форму тогда и только тогда, когда возмущение является первым интегралом невозмущенной части Э^/Эг + {Но, = 0, где {/, = fpgq — р — скобки Пуассона.
Преимущество такого определения перед известными [5—9] обусловлено тремя причинами.
1°. Решение полной системы дифференциальных уравнений Гамильтона с гамильтонианом в нормальной форме получается суперпозицией решений невозмущенной системы и решения системы с автономным гамильтонианом, равным Д0, q, р, е). Этот результат был сформулирован в виде теоремы [2]
Теорема В.Ф. Журавлева. Если система с гамильтонианом Н удовлетворяет условию нормальной формы, то для построения общего решения соответствующих уравнений Гамильтона, достаточно:
А) найти общее решение порождающей системы с гамильтонианом Н0(г, р,
Б) найти общее решение системы, определяемой только возмущением Д0, р, q, е), при условии, что в этой системе явно входящее в гамильтониан время положено равным нулю.
Тогда общее решение исходной неавтономной системы представляется композицией в произвольном порядке полученных решений (вместо произвольных постоянных в решении второй системы подставляются решения первой или наоборот).
2°. Инвариантный характер критерия позволяет осуществлять нормализацию без предварительного упрощения невозмущенной части и без разделения на случаи автономный — неавтономный, резонансный — нерезонансный.
3°. Асимптотики нормальной формы и замены переменных, приводящей гамильтониан к нормальной форме, находятся последовательными квадратурами от известных на каждом шаге функций.
4. Алгоритм инвариантной нормализации с помощью параметрической замены. Покажем, как уравнение (1.3) теоремы 1 преобразуется к аналогу метода нормализации В.Ф. Журавлева.
Пусть дан гамильтониан
Н (г, ^ р) = Н 0 (г, ^ р) + ¥ (г, ^ р, е), ¥ (г, ^ р, е) = е г, q, р) + е2 ¥2 (г, ^ р) + ...
_(к )
который требуется привести к нормальной форме. Пусть Н (г, О, Р, е) = Н0(г, О, Р) +
— (к) — (к) + ¥ (г, О, Р, е) - асимптотика к-го порядка нормальной формы ¥ (г, q, р, е) =
+ {Н0, ¥;} + Я, = ¥1, ^ + {Н0, ¥1} = 0; г =1, 2, ... (4.2)
= е¥1 (г, о, Р) + ... + ек¥к (г, о, Р) с канонической заменой (1.1) и ¥(к)(г, х, у, е) = е^ (г, х, у) + + ... + ек¥к(г, х, у) - асимптотика к-го порядка функции ¥(г, х, у, е) в соотношениях (1.1).
Тогда согласно теореме 1 асимптотика ¥(к будет удовлетворять уравнению (1.3), которое можно записать так:
^ + Н0(г, х -1*ук), у +1 ^)) - Н0(г, х +1<), у - 2)
+ ¥<к)(г, х - 2*ук), у + 2)) = ¥(к)(г, х + 2¥г у - 2(4.1)
Отсюда следует цепочка уравнений для определения коэффициентов разложений канонических замен ¥г и нормализованных гамильтонианов ¥ г
д¥г _ Э ¥:
иг +{Н»¥}+Я =¥,
Функции Я; вычисляются последовательно по формулам
Я1 = ¥1, Я2 = ¥2 + 1 {¥1 + ¥1,^1},... (4.3)
Если Н0 - полином не выше второй степени по q и р, то Яг < к, будут коэффициентами разложения по степеням е функции
¥(г, х - 2¥у, у + 1 ¥х) - ¥(к)(г, х + 1 ¥у, у - 2+ ¥(к)(г, х, у) = (4.4)
2 3
= еЯ1 + е Я2 + е Я3 + ...
Аналогичная цепочка уравнений (4.2) получена ранее [1, 2]; уравнения названы гомологическими и записаны в следующей форме:
_ й ¥ й¥
Яг = ¥г-—Ч -у-5 = 0; г = 1, 2,. (4.5)
йг йг
Здесь полные производные й/йг вычисляются по правилу дифференцирования сложных функций ¥г(г, х, у), ¥ (г, х, у), в которых х(г) и у(г) как функции времени определяются из решения задачи для невозмущенной системы
х = у = -H0ж, х (г0) = x0, у( г0) = у0 (4.6)
Если в соотношения (4.5) вместо х и у подставить решение системы (4.6), то из второго уравнения (4.5) следует, что функция ¥г не зависит от времени г. Тогда интеграл по времени первого уравнения будет иметь вид
г
IЯ(г)йг = (г - г0)¥(г„, х^ ус) + ¥ ;(г0, хф ус) - ¥ ;(г, х, у) (4.7)
Он и дает ключ к полному решению проблемы: квадратура (4.7) определяет нормальную форму и функции в замене переменных (1.1).
К сожалению, представить интеграл от функции R; в виде (4.7) единственным образом не всегда возможно. Единственность будет, если функция R; после подстановки в нее решения (4.6) окажется квазипериодической (суммой периодических по t функций). В этом случае интеграл от R; равен линейной функции и квазипериодической f(t). Из f(t) можно вычесть не зависящую от времени среднюю часть f (t) и отнести ее ко второму слагаемому правой части (4.7). Представление (4.7) тогда будет единственным образом опреде
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.