ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2009, том 35, № 12, с. 1133-1139
НЕЛИНЕЙНЫЕ ^^^^^^^^^^^^^^ ЯВЛЕНИЯ
УДК 533.9.01
ОБ ИОННО-ЗВУКОВЫХ СОЛИТОНАХ БОЛЬШОЙ АМПЛИТУДЫ
В БИИОННОЙ ПЛАЗМЕ © 2009 г. В. В. Прудских
Институт физики, Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия Поступила в редакцию 10.03.2009 г.
В рамках газодинамического метода исследуются условия существования ионно-звуковых солито-нов большой амплитуды в плазме с приместью отрицательных ионов. Показано, что зависимость предельного числа Маха, ограничивающего сверху область существования солитонов сжатия, от температуры положительных ионов носит немонотонный характер. Следствием этого является наличие при некоторых фиксированных плотностях отрицательных ионов одной или двух температурных границ, разделяющих области существования и отсутствия солитонов. Найдено, что для со-литонов разрежения учет инерции электронов является критически значимым, а ограничение на число Маха таких волн связано не с полной декомпрессией электронов внутри волны, как это считалось ранее, а с достижением ими в центре волны звуковой скорости, выше которой невозможны передача назад в электронный поток действия, связанного с тепловым давлением, и существование гладких неразрывных решений.
РАСЯ: 52.35.-g, 52.35.-Fp, 52.35.-Sb
1. ВВЕДЕНИЕ
Вопросам распространения уединенных ион-но-звуковых волн в плазме с примесью отрицательных ионов посвящено значительное число публикаций. Интерес к этой проблеме был инициирован экспериментально обнаруженной [1, 2] возможностью формирования в такой среде ион-но-звуковых солитонов отрицательного потенциала. Поскольку лабораторная и астрофизическая плазма часто содержит различные, в том числе и отрицательные, сорта ионов, то изучение этого вопроса имеет не только теоретический интерес, вызываемый прежде всего сложным поведением нелинейных физических систем, но и практические приложения.
Значительная часть теоретических исследований ионно-звуковых солитонов в биионной плазме касается изучения свойств нелинейных волн малой амплитуды, проводимого посредством редукции исходной системы уравнений с помощью разложений по степеням малости и соответствующего растяжения координат к уравнению Кор-тевега-де-Фриза (КдФ) или модифицированному уравнению Кортевега-де-Фриза (мКдФ). В работе [3] впервые было показано, что нелинейный коэффициент уравнения КдФ, описывающего ионно-звуковую волну в плазме с отрицательными ионами, может принимать не только положительные, но и отрицательные значения. В точке критической плотности отрицательных ионов он обращается в ноль, и для описания нелинейных свойств волны в этом случае необходим учет высших порядков разложений, приводящих к урав-
нению мКдФ. Эффекты теплового давления ионов в ионно-звуковой волне исследовались в [4]. В [5] рассмотрен ионно-звуковой солитон в условиях дрейфа электронной компоненты относительно неподвижных ионов. Ситуация, когда волна положительного потенциала распространяется совместно с захваченным ею электронным сгустком, изучалась в работе [6]. Эволюция соли-тонов малой амплитуды в неоднородной магни-тоактивной плазме с критической плотностью отрицательных ионов рассматривалась в [7, 8]. Пылевые ионно-звуковые уединенные волны в пылевой биионной плазме были предметом публикаций [9, 10].
Исследование ионно-звуковых солитонов большой амплитуды в биионной плазме было проведено в работах [11, 12], где авторы использовали развитый ими метод газодинамического описания, альтернативный методу квазипотенциала Сагдеева [13]. Основной результат этих статей содержится в диаграммах, изображающих зоны существования солитонов сжатия и разрежения на плоскости [М, /] (М — число Маха волны, / — параметр, характеризующий долю отрицательных ионов). При этом авторы [11, 12] неудачно назвали числом Маха скорость волны, деленную на линейную ионно-звуковую скорость, определяемую для электронно-ионной плазмы без примеси отрицательных ионов. Следствием этого явилась методическая неточность, согласно которой нижняя граница существования солитонов определялась не условием М = 1, а М = М1, где М1 — отношение фазовой скорости рассматривае-
мой волны к ионно-звуковой скорости в электронно-ионной плазме, причем величина М1 являлась не постоянным числом, а функцией концентрации компоненты отрицательных ионов. В данной работе число Маха определяется как отношение скорости солитона к линейной скорости соответствующей моды.
Хотя задача о распространении сильнонелинейных уединенных волн в биионной плазме в указанных работах изучена весьма детально, в настоящей статье мы вновь к ней возвращаемся. Причин для этого две. Первая причина состоит в том, что при исследовании областей существования солитонов разрежения авторы [11, 12] использовали предположение безинерционности электронов. В соответствии с этим основным ограничивающим сверху число Маха фактором являлось ускорение электронов до бесконечных скоростей в центре волны и, следовательно, полная декомпрессия электронной компоненты. Нужно отметить, что данный эффект не проявляется при изотермическом движении электронов, когда зависимость плотности электронов от потенциала волны носит экспоненциальный характер, а возникает при отклонении (даже небольшом) характера их движения от изотермического. При этом разрежение электронов внутри волны сопровождается охлаждением электронного газа и возникновением дополнительного вклада со стороны сил теплового давления, разгоняющих электроны по направлению к центру волны. Ограничение на амплитуду (и число Маха) соли-тона было связано с обращением скорости электронов в бесконечность раньше, чем они достигнут центра волны. Как показано в настоящей работе, учет инерции электронов при описании волн разрежения, с одной стороны, является физически более оправданным и снимает проблему обращения их скорости в бесконечность, а с другой — заметно уменьшает область существования солитонов разрежения, полученную в [12]. Эта разница особенно существенна при уе (уе — показатель адиабаты электронов), близком к единице, когда эффекты охлаждения электронов не очень велики и условие ограничения скорости электро-ного потока относительно волны электронной звуковой скоростью накладывает значительно более жесткие рамки на предельное число Маха, чем это предполагалось в [11, 12].
Вторая причина заключается в том, что ниже рассматриваются эффекты, связанные с тепловым движением ионов, не учитываемые в [11, 12]. Хотя их вклад в изменение области существования солитонов невелик, но, как показано ниже, он приводит к весьма специфическому поведению этой области в некотором диапазоне плотностей отрицательных ионов вблизи их критической плотности, выше которой солитоны сжатия отсутствуют. Так, в плазме вблизи этой пороговой
плотности уединенные волны положительного потенциала существуют при малых температурах протонов, но отсутствуют при больших. Более того, немонотонная зависимость верхнего предела числа Маха от температуры протонов приводит к тому, что при ye, близких к единице, оказывается возможным существование температурного интервала, внутри которого солитоны отсутствуют.
Нужно отметить, что в плазме с двумя сортами ионов с разными тепловыми скоростями, как это следует из линейного дисперсионного уравнения, возможно распространение двух видов ион-но-звуковых волн: быстрой и медленной. Проводимый ниже анализ ограничивается рассмотрением быстрой моды, поскольку фазовая скорость медленной волны оказывается порядка тепловой скорости одной из ионных компонент и испытывает значительное затухание Ландау на ионах. Исследование солитонов этой сильнозатухающей ветви в слабонелинейном приближении проводилось в [4].
Работа организована следующим образом. В разд. 2 приведены основные интегралы и соотношения, на основании которых проводится анализ задачи. В разд. 3 исследуются условия существования солитонов сжатия. В разд. 4 изучаются условия, при которых в биионной плазме возможны солитоны разрежения. Основные выводы изложены в разд. 5.
2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И ИХ СТРУКТУРА
Выберем систему отсчета, в которой волна неподвижна и которая движется вправо со скоростью v0. На бесконечном удалении от солитона значения потенциала и электрического поля равны нулю, плотности компонент плазмы равны своим невозмущенным значениям, а скорости частиц величине u0 = — v0. Пусть а = p, i, e — индекс, обозначающий сорт частиц (p — протоны, i — отрицательные ионы, e — электроны). Так как в выбранной системе отсчета нет зависимости переменных от времени, уравнения непрерывности имеют вид
d («V) = 0. (1)
dx
Их интегрирование дает первую систему интегралов
«aVa = «a0U0. (2)
Уравнения движения компонент записываются в виде
v día = -Zaedí__L_dPa (3)
dx ma dx mana dx где ma — масса частиц, pa — их тепловое давление, za — заряд, равный 1 для протонов, —1 для элек-
тронов и ^ (г,- < 0) для отрицательных ионов. Выражения для давлений имеют вид
Ра = Па0Та
или, в силу (2),
а0
ра — Ла0Та
(4)
(5)
Интегрирование (3) дает вторую систему интегралов
1/ 2
= а
■ «о2) +
У а - 1
С \У а
«о
1
= - 2аФ. (6)
т„
Здесь са = у аТа0/та — скорость звука частиц сорта а, постоянная интегрирования выбрана сообразно условиям на бесконечном удалении от волны.
Домножим уравнения (3) на тапа и сложим их между собой. Тогда, пользуясь (2), (5) и уравнением Пуассона, получим еще один интеграл
I
тл
а"а0
«о(^а - «О) + '
У а ^
«0
- 1
=1 (^)2. (7)
8я\ йх!
Перейдем к переменной иа = vа/u0. Обозначая
1 (1
Р = ы„ -1 +
у аы11 «,2
-1
запишем уравнения (6) и (7) в виде
1
1/2 ,ч ,
= -(иа - 1) +-Р
2 М1(У а - 1)
1
,У а - 1
- 1
т«
I
апа0Ра
тл
(йФ)2
8тс«р\йх! '
(8)
(9) (10)
где через М2 обозначена величина щ/с^, характеризующая число Маха невозмущенных скоростей частиц плазмы относительно неподвижной волны. Во избежание недоразумений в последующем, подчеркнем, что движение электронов относительно волны является дозвуковым, в то время как движение обоих сортов ионов носит сверхзвуковой характер. Между интегралами энергии различных сортов частиц согласно (9) существуют соотношения
61 = Zsр, |Д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.