Хф) = {...,Х,<р), ...} [8, 11, 12] (метод предполагает наличие алгоритма численного построения хорошо обусловленной матрицы Якоби [17-20]);
3) метода выбора хорошего начального приближения при подборе недостающих для решения задачи Коши начальных условий или определяющих их параметров пристрелки - составляющих в вектора параметров пристрелки в = {..., в/, ...} [8, 9, 11-14].
Необходимо отметить, что преодоления значительных трудностей требуют и другие применяемые для численного решения краевых задач принципа максимума методы [8-14]. Не будет преувеличением сказать, что алгоритмы численного решения нелинейных краевых задач принципа максимума, однозначно приводящие к успеху, в настоящее время отсутствуют и успех численного решения этих краевых задач определяется в значительной степени индивидуальным искусством исследователя и опытом решения такого рода задач. Накопленный опыт численного решения методом стрельбы краевых задач принципа максимума для задач оптимизации траекторий КА с РДОТ значителен (см., например, [21-33]), но вместе с тем недостаточен для решения целого ряда интересующих практику оптимизационных задач. Опыт показал, что для эффективного решения некоторых из упомянутых задач <[26-33]) необходимо существенное изменение традиционной структуры метода стрельбы. Одним из возможных направлений изменений в методе стрельбы при численном решении рассматриваемых краевых задач принципа максимума является изменение его вычислительной схемы. (Будем называть вычислительной схемой метода стрельбы совокупную структуру вектора параметров пристрелки и вектор-функции невязок и способ их задания). Заметим, что в вычислительной схеме классического метода стрельбы (классической вычислительной схеме метода стрельбы), в отличие от неклассической (модифицированной) вычислительной схемы метода стрельбы (см. ниже), вектор параметров пристрелки задается на одном из концов отрезка интегрирования, а вектор-функция невязок - на другом. Очевидно, что выбор вычислительной схемы метода стрельбы (в том числе и для классической вычислительной схемы метода стрельбы) может быть сделан неединственным способом. Принципиально важно, что выбор начального приближения должен осуществляться во взаимосвязи с выбором вычислительной схемы метода стрельбы, поскольку начальное приближение, хорошее для одной вычислительной схемы, может оказаться плохим для другой.
В данной работе предлагаются некоторые из возможных способов выбора вычислительной схемы метода стрельбы, позволяющие эффективно использовать решения краевой задачи в за-
дачах оптимизации траекторий КА импульсной постановки [32] для получения начального приближения при численном решении методом стрельбы краевых задач принципа максимума в задачах оптимального управления траекториями КА с РДОТ (задач оптимизации траекторий КА неимпульсной постановки).
В процессе решения методом стрельбы краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числе краевых задач принципа максимума, при получении начального приближения для вектора параметров пристрелки, как правило, используется метод продолжения решения по параметру [11, 34, 35]. Этот метод применяется в случаях, когда решение краевой задачи известно при некотором значении входящего в задачу (или специально сформированного для этого) параметра, и необходимо получить решение краевой задачи при других значениях этого параметра. В задачах оптимизации траекторий КА с РДОТ в качестве параметра могут быть использованы, в частности, или максимальное значение атах из ограничения 0 < а^) < атах < ^ величины реактивного ускорения а(0 = (^(0, М(0 - величина реактивной тяги и масса КА в момент времени 0, или максимальное значение п0 тах из ограничения 0 < п0(0 < п0 тах < ^ тяговооружен-ности (перегрузки) п0(1;) = a<t)/gЗ (З - величина гравитационного ускорения у поверхности Земли), или максимальное значение Ртах из ограничения 0 < Р(0 < Ртах < величины Р(0 = ^)/М(0), или иной эквивалентный им параметр. В данной работе в качестве параметра используется величина Ртах. Если решение краевой задачи для задачи оптимизации траектории КА импульсной постановки получено (это решение соответствует предельному, бесконечно большому значению этого параметра (Ртах = ^)), то возникает проблема, связанная с необходимостью перехода от решения этой краевой задачи к решению краевой задачи принципа максимума в задаче оптимизации траекторий КА с РДОТ при заданном конечном значении параметра Ртах. Необходимость такого перехода и порождает основные трудности, возникающие при решении краевых задач принципа максимума в задачах оптимизации траекторий КА неимпульсной постановки с использованием для получения начального приближения решений краевых задач в задачах оптимизации траекторий КА импульсной постановки.
Задачи оптимизации траекторий КА импульсной постановки в работе решаются на основе содержащейся в [32] универсальной методики получения (на основе принципа Лагранжа снятия ограничений для задач на условный экстремум в функциональном пространстве) необходимых условий локальной оптимальности первого порядка для решаемых в импульсной постановке задач оптимизации траекторий КА с РДБОТ в произ-
вольном гравитационном поле в вакууме и сопутствующего ей математически формализованного алгоритма перехода от задачи оптимизации к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Подчеркнем, что методика [32] применима при решении в импульсной постановке любой задачи оптимизации траекторий КА, для которой импульсная постановка имеет смысл. При этом минимизируемый функционал может быть отличен от функционала задачи минимизации затрат массы. В результате решения задачи оптимизации импульсной постановки на основе методики [32] определяются траектория КА и множители Лагранжа (функциональные и числовые), которые, в частности, могут быть использованы в методе продолжения решения по параметру при переходе от решения краевой задачи для задачи оптимизации траекторий импульсной постановки к решению краевой задачи для задачи оптимизации траекторий КА с РДОТ. Заметим, что условия оптимальности, полученные по методике [32], совпадают с условиями оптимальности, полученными из условий принципа максимума предельным переходом [5, 6], что подтверждает, во-первых, правильность условий, полученных предельным переходом, и, во-вторых, (косвенно) корректность использования предельного перехода при их получении. (О других подходах к получению необходимых условий оптимальности первого порядка для задач оптимизации импульсной постановки см. обзор литературы в [32]).
Идея использования решения краевых задач в задачах оптимизации траекторий КА импульсной постановки при получении начального приближения для краевых задач принципа максимума в задачах оптимизации траекторий КА неимпульсной постановки не нова (примеры использования этой идеи в оптимизационных задачах ракетоди-намики см., например, в [36-38]), однако, существующие методики использования импульсного решения в качестве начального приближения могут оказаться непригодными для решения целого ряда задач оптимизации траекторий КА с РДОТ из-за недостаточной точности получаемого с их помощью начального приближения и несовершенства этих методик в целом.
Типичный прием использования импульсного решения для получения решения в неимпульсном случае при построении экстремалей Понтрягина в [36] описывается так: "... сначала задается большое, но конечное значение ускорения силы тяги ^/М(0), и начинается итерационный процесс вычислений (решения краевой задачи - авт.) для неимпульсного случая. Чтобы обеспечить сходимость (итерационного процесса - авт.), значения Хт (начальные значения сопряженных переменных играющих в [36] роль составляющих вектора параметров пристрелки -авт.) выбираются слегка отличными от значений, соответствующих импульсному случаю. Затем вели-
чина ^УМ(0) уменьшается ступенчато до требуемого конечного значения. Для каждого значения ^/М(0) итерационным способом определяется оптимальная траектория, значения ^¿(0) которой используются в качестве начальных приближений для расчета новой траектории, соответствующей следующей величине ^/М(0)". Таким образом, в [36] для получения начальных значений сопряженных переменных в неимпульсном случае предлагается несколько изменить начальные значения сопряженных переменных, полученных в результате решения задачи в импульсной постановке. В [36] приведены таблицы, позволяющие оценить точность полученного начального приближения. Анализ таблиц показывает, что, как правило, в начальном приближении верен один первый знак. Для решения рассматриваемых в
[36] задач такой точности начального приближения достаточно. Однако существуют задачи (см., например, [21-23, 25-29, 31]), для решения значительной части которых точность начального приближения (при использовании классической вычислительной схемы метода стрельбы) должна быть увеличена на несколько порядков.
В [37] при получении начального приближения для начальных значений рг(0) сопряженных переменных рг(0 используется связь этих начальных значений с производными экстремальных значений функционала по начальным значениям хг(0) фазовых переменных х() : рг(0) = -Э/еХ1/Эхг-(0) [38]. При этом неявно предполагается, что множитель Лагранжа при функционале / отличен от нуля: Х0 Ф 0. Иными словами, предполагается, что анормальный случай: Х0 = 0, невозможен, поскольку при = 0 этот метод не применим (при Х0 = 0 решение задачи оптимизации "не зависит" от функционала / и потому "не зависят" от функционала значения р/0)). В связи с этим предлагаемый в [37] способ определения начальных значений рг(0), строго говоря, не вполне корректен, так как использует в качестве условия нормировки множителей Лагранжа условие = 1 и тем самым априори исключает возможность случая = 0. Производные Э/ехй/Эх/0) находятся численно в результате решения, как минимум, двух оптимизационных задач импульсной постановки. (Предполагается, что экстремальные значения функционалов /ех(г и производные Э/ех(г/Эхг(0) в импульсном и неимпульсном случаях близки.) Анализ решени
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.