ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2013, № 1, с. 21-25
УДК 550.34
ОБ ОБЛАСТИ ПРИМЕНИМОСТИ РЕШЕНИЯ БИО В ЗАДАЧАХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН В ДВУХФАЗНЫХ СРЕДАХ
© 2013 г. С. С. Кеворкянц
Центр геоэлектромагнитных исследований (ЦГЭМИ) института физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Троицк
Поступила в редакцию 06.01.2012 г.
Работа посвящена вопросу обобщения решения системы однородных уравнений Био, полученного им для векторов смещения плоских монохроматических упругих волн в однородной безграничной двухфазной среде на случай, когда область распространения волн ограничена, а волновой фронт представляет кусочно-гладкую кривую поверхность. Показано, что произвольная система однородных уравнений Био для векторов смещения твердой и жидкой фазы может быть сведена к трем разным уравнениям из класса уравнений Гельмгольца, из чего следует, что независимо от геометрии фронтов сейсмических волн и границ изучаемой однородной двухфазной среды: 1) каждый из векторов смещения (твердой фазы и жидкой фазы) распадается на три независимых вектора, удовлетворяющих трем разным уравнениям Гельмгольца, из которых два вектора представляют соответственно два типа продольных волн — быстрые волны (первого рода) и медленные волны (второго рода), а третий — поперечные волны; 2) однотипные (представляющие один тип волн) составляющие векторов смещения твердой и жидкой фаз удовлетворяют одному и тому же однородному уравнению Гельмгольца и связаны друг с другом соответствующим скалярным множителем, выражаемым через коэффициенты уравнений Био. Учет установленных свойств векторов смещения твердой и жидкой фазы может быть полезен при решении задач расчетов упругих полей произвольных источников в кусочно-однородных двухфазных средах.
Ключевые слова: уравнения Био, двухфазная среда, векторы смещения, быстрые волны, медленные волны.
DOI: 10.7868/S0002333713010067
В настоящее время наиболее известным подходом теоретического изучения упругого возбуждения двухфазных сред является определение упругого поля двухфазной среды через решения системы уравнений, полученных в работе [Biot, 1956a; 1956b], где изложено также решение этой системы для плоских волн. Из результатов вышеупомянутой работы Био следовало, что векторы смещения твердой и жидкой фазы слагаются из векторов трех типов, удовлетворяющих трем разным уравнениям из класса уравнений Гельмгольца. Первые два типа векторов описывают продольные волны, соответственно, первого (быстрые волны) и второго (медленные волны) типов и третий — поперечную волну. Аналогичное разделение векторов смещения на три составляющие, соответствующие трем вышеуказанным типам волн, без обоснования, но лишь со ссылкой на работу Био использовано в работе [Schmitt et al., 1988] при решении осесимметричной задачи упругого возбуждения двухфазной среды с цилиндрическими границами раздела. Для применения результатов Био к решению упругого возбуждения произвольных кусочно-однородных
двухфазных сред различными видами источников требуется определенное их обобщение, чему и посвящена предлагаемая работа. Ниже изучается структура решения системы однородных уравнений Био для упругих монохроматических волн с волновым фронтом представляющим, в общем, кусочно-гладкую кривую поверхность, которые распространяются в произвольной ограниченной однородной области. Будем полагать, что волны возбуждаются источником гармоническим упругих колебаний, расположенным за пределами изучаемой области.
Однородная система уравнений Био в частотном пространстве с экспоненциальной зависимостью , где ю — круговая частота, упругого поля от времени ? имеет вид
ИУ2и + N + Д^гаёШуи + ^гаёШуи +
+ ю2(рпи + р12и) + ¿юЬ(и - и) = 0, (1)
^гаёёгуи + ^гаёёгуи + + ю2(р12и + р22и) - /юЬ(и - и) = 0,
22
КЕВОРКЯНЦ
где множители при векторах смещения твердой фазы и, жидкой фазы и и при дифференциальных операторах, действующих на указанные векторы, представляют собой константы, описание которых дано в приложении.
Представим векторы смещения твердой и жидкой фаз, входящие в уравнения (1), в виде сумм потенциальных составляющих ир, Цр, представляющих продольные волны, выражаемые через градиенты скалярных функций, соответственно, ф и Ф, и вихревых составляющих Ц, представляющих поперечные волны, выражаемые через роторы вихревых векторных функций, соответственно, у и
(2)
(3)
(4)
Pii
Pl1 + l~ I, Р12
Ю1
Pl2 - I-I,
Ю
P 22
P22 + I-I,
Ю
(5)
V — оператор набла.
Применив операцию дивергенции к соотношениям (3) и (4), получим уравнения
^ V 2У2ф + 0У2У 2Ф + ю2У2(р пф + р 12Ф) = 0 = А + 2И),
QV 2V2ф + ЛV2V2Ф + ю2V2(р 12ф + р 22Ф) = 0 .
Решение приведенной выше системы можно представить в виде сумм ф = фр + ф0 и Ф = Фр + Ф0 где ф0, Ф0 удовлетворяют уравнениям Лапласа
V2ф0 = 0, У2Ф0 = 0.
(6)
поэтому справедливым будет допущение ф0 = 0, Ф0 = 0. Тогда функции фр, Фр удовлетворяют системе дифференциальных уравнений в частных производных
^У2Фр + 6У2Ф p + ш2 (р 11фР + р 12Ф p) = 0,
(7)
u = u P + u S = gradф + roty,
U = U P + US = gradФ + rotY,
и будем предполагать аналитичность указанных функций внутри рассматриваемой области, включая ее границу, исходя из физических требований интересующего нас круга задач. Подставляя выражения (2) в систему уравнений (1), получим следующие соотношения
grad [^У2ф + 0У2Ф + ю2(р 11ф + р 12Ф>] +
+ rot [NV V + ю2(р ny + р 12Т)] = 0
(^ = A + 2N),
grad [QV 2ф + RV 2Ф + ю2(р 12ф + р 22Ф)] +
+ ®2rot(p 12V + р 22^) = 0, где, как и далее, используются обозначения
QV2фP + ЯУ2Ф р + ю2 (р 12фР + ¡5 22Ф р) = 0.
Для дифференциальных операторов в уравнениях (7) введем обозначения
Ьц = ^Д + ю2р 11, ^ = 0А + ю2р 12,
2
Ь22 = ЯА + а> р22, после чего систему уравнений (7) запишем в виде
Ьцфр = -Ь12Ф р, Ь12фр = -Ь22Ф р. (8)
Нетрудно показать, что система дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка (8) может быть сведена к одному уравнению четвертого порядка для каждой из неизвестных, то есть
(Ь 1 Ь22 - Ь2Ь2) фр = 0, (Ь 1 Ь22 - Ь 2А 2) Фр = 0, (9) где имеем
ЬлЬга = + (Яар п + Рю2р 22) V2 + ю4р пр 22, Ь2Ь2 = 0 'V4 + 2Qю2р 12V2 + (ю2р 12 )2.
Как следует из последних двух выражений, дифференциальный оператор в правых частях уравнений (9) можно записать в виде
L11L22 - L12L12 = (®R - Q2 )(V4 + ю2pV2
= (R - Q2) где L1, L2 — операторы Гельмгольца,
w4q) =
(10)
L - А + ю
L2 =А
ю
p_
2
P. 2
= А + kP1 —
ю
P1
v1
P_
- А + к
P
2
k 2 -Ю
kp2 2 ' v 2
(11)
A — оператор Лапласа,
2
v p1
( Г2-4
p ч- - q
v2 U J
2
v P 2
( Г2-4
P - P- - a
v2 V 4 aj
(12)
Существование нетривиального решения уравнений (6) означало бы наличие статической составляющей в векторах смещения продольных монохроматических волн, чего не должно быть при гармоническом возбуждении упругого поля, так как это противоречило бы физическому смыслу,
при этом кР1, кР2 — волновые числа, а уР1, vP2 — скорости продольных волн, выражаемые через величины
„_Rp 11 + P р 22_ 2QP12
Р 2 '
PR - Q
a р11р22 р12 Ч 2 '
PR - Q
Уравнения (9) с учетом выражений (10) приводятся к виду
Ь1Ь2^р = 0, ЦЬ2Ф Р = 0.
Решения последних двух уравнений можно представить в виде сумм
фР =фл + фР2, Ф Р =Ф р1 +Ф Р 2, (13)
в которых слагаемые удовлетворяют следующим уравнениям
(14)
Афр! = 0, Х2фр2 = 0, х1фР1 = 0, ь2фР2 = 0.
Приведенные представления фР и ФР в виде сумм из двух функций подставим в систему уравнений (7), где далее опустим индекс "Р" у функций фР1 и Фрг (I = 1, 2) и выполним замены оператора Лапласа, используя уравнения V2ф1 = -кР1фьУ2Ф1 =
= -Ф ¡кР1, в результате чего из (7) получим соотношения
Pii
2
v P1У
Ф1
Pl2
Q_
2
v p1У
Ф1 =
Pll
V
2
v P 2 У
Ф2
Pl2
Q
2
v p2 У
Ф 2
Ф1
P12
v vp1 У
QЛ
P12 ""Г
V vp2 У
P 22--Г
vpJ
(15)
Ф1 =
Ф2
P 22
J_
2
v P 2 У
Ф2
(16)
{9Р - V2р¡pц) ф1 + (О - V2р¡p 12) Ф1 = 0,
( - 4р12) + ( - V2р¡p22) = 0 (I = 1,2).
Система однородных уравнений (16) относительно неизвестных ф1, Ф1 имеет нетривиальное решение, если определитель ее матрицы равен нулю, то есть, если имеет место соотношение:
(^ - ^¡р 11){Я - Vр¡p22) - (О - Vр¡p 12)2 = 0.
Последнее соотношение представляет собой квад-
2
ратное уравнение относительно уР1
(р 11р22 -р22) vPl
(17)
- (Фр22 + Rp 11 - 2Qp12)v2Pi + PR - Q2 = 0. Решение этого уравнения совпадает с выражениями (12) для v2Pl (l = 1, 2), полученными выше. Уравнение, аналогичное (17), приводится в работе [Schmitt et al., 1988] (но без вывода и без описа-
ния vP1 и vP2), как один из результатов [Bio, 1956a] без учета того, что он был получен для плоских волн. Если второе из выражений (16) умножить на р 12 и вычесть из полученного результата произведение первого из выражений (16) на р 22, то получим
[Фр22 - QP12 - (р 11р22 -Р22 ) vh] +
+ (QP 22 - Rp 12)Ф l = 0,
откуда следует
ф1 = ;
^ = р 11Р22 -Р12 v2pi - Фр22 - QP12 (i = 1,2). (18)
ÖP22 - Rp 12 Qp22 - Rp 12
Выражение для в (18) тождественно выражению
± ®R - Q2 + Rp 11 - Qp
12
Поскольку функции ф1 и ф2 линейно независимы, так же как и Ф1, Ф2 (они являются решениями разных дифференциальных уравнений в частных производных), то правые и левые части соотношений (15) могут быть равны только в том случае, если они тождественны нулю, то есть
vPl Qp22 - Rp 12 Qp22 - Rp 12
приведенному в вышеупомянутой работе [Schmitt et al., 1988]. Действительно, приравняв правые части первого и второго упомянутых выражений,
легко получим уравнение (17) относительно v2Pl, что и подтверждает их тождественность.
Векторы смещения продольных волн в твердой и жидкой фазах с учетом определения (2) и выражений (13) представятся в виде
u P = gradф1 + gradф2 = u p1 + u p2, U P = gradФ1 + gradФ 2 = U p1 + UP2,
где u Pl = gradфl, UPl = gradФl (l = 1, 2), поэтому применение операции градиента к правой и левой частям первого из соотношений (18) и к уравнениям (14) приводит к следующим соотношениям между векторами смещения твердой и жидкой фазы продольных волн первого и второго рода:
up1 = <^Plu p1, up 2 = <^Plu p2,
и уравнениям Гельмгольца для перечисленных векторов
(20)
= 0 (№1 = и р1, и р1), = 0 (№ 2 = и р2, и р2).
Функции, ир1, иР1 и ир2, иР2 описывают
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.