научная статья по теме ОБ ОДНОМ ИНТЕГРИРУЕМОМ СЛУЧАЕ ВОЗМУЩЕННОЙ ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ Космические исследования

Текст научной статьи на тему «ОБ ОДНОМ ИНТЕГРИРУЕМОМ СЛУЧАЕ ВОЗМУЩЕННОЙ ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ»

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, том 42, № 4, с. 414-423

УДК 521.1

ОБ ОДНОМ ИНТЕГРИРУЕМОМ СЛУЧАЕ ВОЗМУЩЕННОЙ

ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ

© 2004 г. С. М. Полещиков

Сыктывкарский лесной институт Поступила в редакцию 25.12.2002 г.

Рассматривается движение частицы в возмущенном гравитационном поле точечной массы. В качестве возмущения взята постоянная сила. Подбирается ¿-матрица такая, что в регулярных координатах происходит разделение переменных. Проведено интегрирование уравнений движения рассматриваемой задачи. Решения выражаются через эллиптические функции. Дано качественное исследование интегралов движения. Приведены численные примеры.

1. ВВЕДЕНИЕ

В статье [1] приводится интегрируемый случай возмущенной задачи двух тел. В качестве возмущения выступает сила, постоянная по модулю и направлению. Некоторым неудобством является то, что прямоугольную систему координат надо выбирать так, чтобы одна из осей была параллельна этой силе. В предлагаемой работе этот недостаток устраняется благодаря выбору подходящей ¿-матрицы, участвующей в процедуре регуляризации уравнений движения. Таким образом, не требуется подстраивать исходную физическую систему координат под заданную постоянную силу. Заметим, что с механической точки зрения рассматриваемая задача является предельным случаем интегрируемой задачи двух неподвижных центров, когда один из них удален в бесконечность. Последняя рассматривалась в работах [2, 3] в связи с применением к механике космического полета. Отметим также работу [4], в которой изучаются канонические преобразования, увеличивающие размерность гамильтоновых систем. Частным случаем таких преобразований являются канонические преобразования, порождаемые ¿-матрицами [6]. В [5] аппарат А^-перемен-ных применен для построения периодических орбит неинтегрируемой задачи Хилла.

Рассмотрим функцию Гамильтона возмущенной задачи двух тел

Н = Н(х, у) = 1-\у|2 — — + V, 2 г

- = у(т + т0), г = |х|,

где х = (х1, х2, х3)т - вектор положения точки с массой т относительно точки с массой т0, у = (у1, у2, у3)т -обобщенный импульс (у, = х, I = 1, 2, 3), у - грави-

тационная постоянная. В качестве возмущающего потенциала V возьмем функцию

V = V (x) = - B1 x1 - B2 x2- B3 x3, Bi -const.

Тогда уравнения движения примут вид

dxi = dH = dt = Э y = У1'

dy = jh = - иx.+B i = i 2 3

dt dxi r3xi + Bi' 1 1 2 3. Эта система эквивалентна уравнению

X = - -Иx + B, B = (Bi, B2 , B3)т,

(1)

(2)

описывающему движение точки т относительно точки т0 под действием их взаимного гравитационного притяжения и дополнительной постоянной силы В произвольно выбранного направления.

Применим однородный формализм, согласно которому независимую переменную г надо рассматривать как координату х0. При этом новый гамильтониан примет вид

На = Н(х, у) + уо, где у0 - сопряженный с х0 импульс. Полагая

Хо(0) = 0, Уо(0) = -Н(х(0) , у(0)), (3) получим, что в расширенной канонической системе

dх¡

дHa dyi dHa . л 1 ^ о

-: = -2, — =__2, i = 0 , I, 2 , 3

dt дy^ dt дxi '

(4)

переменная х0 совпадает с временем г и у0 - с отрицательной энергией

х0 = г, у0 = -Н(х(г) , у(г))

для любого значения г. Значит, при условиях (3) интеграл На = Н(х, у) + у0 = 0 для каждого момента

времени г. При этом, как следует из (4) при г = 0, величина у0 постоянная. Для значений индексов I = 1, 2, 3 уравнения системы (4) совпадают с уравнениями системы (1).

Выполним в системе (4) временное преобразование йг = гйт и ¿-преобразование

Хо = д0, х = Л(q)q, 1

Уо = Ро, У

2| Ы

Л( q)р,

(5)

где я, р е Я4, Л(я) - матрица размера 3 х 4, получаемая из ¿-матрицы

Ь (q) =

' qтк 1 к4Л qт к 2 к 4

^ к 3 к 4

qт к 4

йд^ = Ш йрр =

й Т д р/ й Т с гамильтонианом 1

эж

дд,,

у = 0, 1, 2, 3, 4 (6)

* = 8 р

2

+ Ро1 Ы + ус(q), V с (q) = V( х (q)).

Пусть

х(0) = х0, у(0) = у0

(7)

(8)

п 0 Л / 0, 0

?0 = 0, х = Л(q )q ,

0 0 0 т 0 0

Р0 = -Н(х , у ), р = 2Л (q )у ,

(9)

произведения я ■ р, которое обращается в нуль на выбранных траекториях.

2. ВЫБОР ¿-МАТРИЦЫ, ПРИВОДЯЩИЙ К РАЗДЕЛЕНИЮ ПЕРЕМЕННЫХ

В преобразовании (5) участвует произвольная ¿-матрица. Специальный выбор этой матрицы позволяет разделить переменные в случае произвольной постоянной силы В.

Рассмотрим в (7) слагаемое, содержащее Vc(q),

V (q) = -I ql У (В1 к 1 + В2 к2 + В3 кз)).

Предположим, что ¿-матрица имеет первый тип. Обозначим через Ь = (Ь1, Ь2, Ь3)т орт вектора В, т.е.

Ь =

В

в I

г = 1,2, з.

отбрасыванием четвертой строки. Здесь кг - ко-сосимметрические ортогональные матрицы четвертого порядка, называемые образующими ¿-матрицы. Их свойства и структура описаны в работе [6]. Кроме того, в [7] приведена без доказательства теорема о структуре ¿-матрицы, порождающей ¿-преобразование (5) ранга три.

В новых переменных д, рг уравнения движения запишутся в виде канонической системы

Тогда

2 Ус(. Ы ) = 2| В|ыт [(Ь ап + Ь2^2 + Ьз а 13 )и +

+ (Ь а21 + Ь2 а22 + Ьза2з) V+

+ (Ь1 аз1 + Ь2 аз2 + Ьзазз) W ]Уы .

Здесь и, V, W, У - базисные кососимметрические матрицы [7] и для простоты принимается к4 = -У. Подберем параметры ¿-матрицы ау так, чтобы выполнялись равенства

Ь1а11 + Ь2а12 + Ьз а1з = 1, Ь^1 + Ь2а22 + Ьз а2з = 0, Ь1аз1 + Ь2аз2 + Ьз азз = 0.

(10)

начальные условия для переменных системы (1). Тогда, как показано в [7], при выборе начальных значений по правилу

Геометрически решение этой системы означает, что вектор 11 = (а11, а12, а13)т совпадает с ортом вектора В, а векторы 12 = (а21, а22, а2з)т, 13 = (Ои, аз2, азз)т ортогональны ему. Кроме того, из структуры ¿-матрицы вытекает, что векторы 11, 12, 13 образуют репер. Очевидно, что система (10) имеет бесконечное число решений. Выпишем ее общее решение. Для первого вектора имеем

11 = (Ьх, Ь2, Ьз)т. Для 12, 13 полагаем, если Ь2г + Ь2 Ф 0,

1

7ь? + ь

( Ь2С08 ф + Ь1Ьз81п ф,

решение системы (6) под действием преобразования (5) переходит в решение канонической системы (4) и соответственно в решение системы (1), удовлетворяющего начальным условиям (8). Заметим, что гамильтониан ЖЖ в отличие от [7] уже редуцирован за счет постоянного слагаемого ц и слагаемого, содержащего квадрат билинейного

- Ь1 С08ф + Ь2Ьз8Шф, -(Ь + Ь2) 8Шф)т, 1 (- Ь^п ф + Ь1 ЬзС08 ф,

ь? + ь2

Ь181пф + Ь2ЬзС08ф, -(Ь\ + Ь2)С08ф)т.

2

Если Ь1 + Ь2 = 0, то Ь = (0, 0, Ь3)т, Ь3 = ±1. Поэтому Из последних двух уравнений находим рь р2: в качестве общего решения системы (10) в этом случае можно взять векторы

ii = (0, 0, Ьъ)т, Í2 = (cosФ, sinФ, 0)т, i3 = b3(-sinф, cosф, 0)т.

Величина ф е [0, 2п] и выполняет роль произвольного параметра общего решения.

После выбора параметров a¡j матрица Л^) определена однозначно. Для рассматриваемого слагаемого получаем

f \

Pi = 2PilcosQ2 --р= sinQ2,

Mi

= 2 PiVQisin Q2 + -PP=cos Q2.

4Qi

P2

В новых переменных гамильтониан Ж* и соответственно система примут вид

Ж1 = 8 (4 01Р2 + + Р0 01- |в| е2,

|2 Vc( q) = |B||q| 2qт UYq = |B||q|2 q1

-?2 ?3 ?4

dQi _ дЖ1 = dQ = д-Ж =

Qi Pi' ¿jTiC дР2 4Q/

dT

dP1

dT

dPi

dti

U2

(15)

= = - + P0 + 2I B| Qi,

dQi

= IB| (- (qi + q2)2 + (q3 + ?4)2).

Значит, гамильтониан (7) распадается на сумму

Ж = Ж i + ЖЖ2,

где

Жl = j-(P2 + P2) + Pü(qi + q2) - |B| (q2 + q2)2,

Ж2 = 8(P2 + P4) + P0(q3 + q4) + IB (q2 + q4) .

dT

8Qi

ЭЖ1

" d Q2

= 0.

Так как гамильтониан Ж1 не зависит явно от т и р2, то система (15) имеет два интеграла

Qi Pi + ^ + P0 Qi- IB Qi =

8Qi

Ei 8 .

(16)

P2 = ci.

писать так

Величина р0, как следует из второго уравнения (6), Здесь Еъ сх - постоянные интегрирования. С уче-при у = 0, постоянная. Поэтому в системе (6) мож- том этих интегралов уравнение для р можно за-но исследовать две подсистемы

йд{ = ЭЖ1 йр. = ЭЖ1 . = 12 йт др/ йт ддг '

dq¡ _ дЖ2 dPi di

дЖ,

дP^ di дq, независимо одну от другой.

i = 3, 4

(11) (12)

dPi

2

Ci

Ei

+ |B| Qi

dT 4 Q2 8Qi Исключая di из уравнений для Pj и Qx, получим

PidPi =

2

ci Ei 4Qi 8 Qi

+B

dQi.

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМ (11), (12)

Рассмотрим каноническую систему (11). Выполним каноническое преобразование с производящей функцией W = PijQi cos Q2 + P^vQisinQ2

д W /77 Л д W /тт • л

qi = 5— = VQicosQ2, q2 = 5— = VQisinQ2, дPl дP2

Следовательно,

22

^--V —+ B Qi + C^ 2 8Q i 8

8q2 8Q

Pi = -^ =

i

дQl 2Q

(Picos Q2 + P2 sin Q2), (13)

P2 = 57Г = л/Qi (- Pisin Q2 + P2 cos Q2 ). дQ2

или

где

g

Pi = ^V^(QT), Si = sign Qi,

Ф( Qi) = - ci + Ei Qi + C2Qi + 81B| Qi

2

2

полином третьей степени относительно Q1, c2 = = -8р0 - постоянная интегрирования. Подставляя полученное P1 в первое уравнение (15), находим

где

fii

т + с3 = 2 811

dQi

(17)

F(Qз) = - с5 + E1QЪ + с6Q3-8|В Q\

полином третьей степени относительно Q3 и с6 = -8р0 - постоянная интегрирования. Подставляя полученное Р3 в первое уравнение (19), находим

Обращая эллиптический интеграл (17), получим Q1, которое подставим во второе уравнение системы (15). Тогда имеем

Q2

= c 1f dT

4 J Q1 ( т)

+ c4

Здесь с3, с4 - постоянные интегрирования. Таким образом, величины Q1, Q2, Р1 выражаются через эллиптические функции Якоби 8И т, сп т.

Проинтегрируем систему (12). Выполняя каноническое преобразование

4з = 7ёзСС8 Q4, = Т0з81П Q4,

Рз = 2 P3JQQ3 cos Q4-

Q3

sin Q4

Р4

= 2 РзТОЗап Q4 + -_ircos Q

Q3

получим гамильтониан

(18)

т + c7

= 2 52 J

dQ3

(21)

Результат обращения интеграла (21) подставим во второе уравнение системы (19). Тогда получим

Q4 = C5 J

csf dT

Q3 (т)

Таким образом, величины Q3, Q4, Р3 также выражаются через эллиптические функции. Нижние пределы п в интегралах (17), (21) выбираются в зависимости от расположения Q1, Q3 относительно корней полиномов Ф^), F(Q3) соответственно.

Формулы обратного преобразования

т 2 , 2 . ~ д2

Ql = 41 + 42, Q2 = —,

д1

Q3 = ?2 + ?4, tg Q4 =

(Ц4

Уз'

on- 1 ^ . P 4

%2 = jj [4Q3 P2 + QJ + Ро Q3 + IB Q2

и систему

dQ

_3 = QP d_Q4=P±

d т Q3 P3' _т 4 Q3'

2

4

dP-3 = -1 p2 + _

_т 2 3 jQ

dP4

-Ро-2'BQ3' __P =

Эта система имеет интегралы

1

Q3 P3 + -jijf + P0Q3 + |B| Q2 = -щ-2

jQ

j

P4 = cs,

(19)

(20)

применение которых приводит уравнение для P3 к виду

dP2 d т

2 c5

4 Q3

jQ

- |B| Q3

Исключая _т из уравнений для P3 и Q3 и интегрируя, получим

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Космические исследования»