МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2013
УДК 531.38
© 2013 г. Г. В. ГОРР, А. В. МАЗНЕВ
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ДВИЖЕНИЙ ГИРОСТАТА ЖУКОВСКОГО С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ
В работе рассмотрена задача о движении гиростата Жуковского в случае, когда постоянен угол между неизменной в гиростате осью и вектором момента количества движения гиростата. Предполагается, что величина гиро-статического момента зависит от времени. Найденные условия на параметры гиростата и выражение для гиростатического момента характеризуют новое решение уравнений Жуковского с переменным гиростатическим моментом. Доказано, что оно описывает полурегулярную прецессию первого типа относительно вектора момента количества движения.
Ключевые слова: гиростат, гиростатический момент, инвариантное соотношение, полурегулярная прецессия.
1. Введение. Н.Е. Жуковский при рассмотрении задачи о движении твердого тела, содержащего полости с жидкостью, вывел уравнения движения свободного гиростата [1]. В своих исследованиях он получил дополнительный первый интеграл и дал геометрическое истолкование движения, которое основано на свойствах момента количества движения гиростата. Его подход принципиально отличается от метода Пуансо прямого истолкования, поскольку движение представлено качением со скольжением некоторого конуса по неподвижной в пространстве плоскости. Уравнения работы [2] позволили в [3—5] дать кинематическое истолкование движения гиростата Жуковского в частных случаях. Интегрирование уравнений движения свободного гиростата в общем случае выполнено в [6]. Полученные результаты показывают, что компоненты вектора угловой скорости тела-носителя выражаются через сигма-функции Вейер-штрасса, что в значительной степени затрудняет применение теоремы Пуансо для общего случая.
Свободный гиростат можно рассматривать и в постановке, когда величина гиростатического момента зависит от времени [7]. Так, например, в [8] изучены равномерные движения такого гиростата.
Данная работа посвящена исследованию движений гиростата Жуковского с переменным гиростатическим моментом в предположении, что угол между фиксированной в гиростате осью и вектором момента количества движения гиростата постоянен.
2. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение движения свободного гиростата в векторном виде [1, 6, 7]:
Аю = (Аю + 1(?)а) х ю-1(0а (2.1)
где введены обозначения: ю = (ю:, ю2, ю3) — вектор угловой скорости тела-носителя; Хфа — гиростатический момент, в выражении которого а = (а:, а2, а3) — единичный
вектор; А — тензор инерции гиростата с компонентами Ау (г, у = 1, 3 ); точка над переменными обозначает производную по времени (для ю — относительную производную).
Очевидно уравнение (2.1) имеет первый интеграл
(Aw + X( t) а)2 = с2 (2.2)
где c — произвольная постоянная. Поскольку зависимость X (t) не задана, то система скалярных уравнений, вытекающая из (2.1), не замкнута.
Запишем уравнение (2.1) в новых переменных. Положим х = Лю тогда ю = ax. Здесь а — гирационный тензор с компонентами a¡j. В скалярной форме имеем
®1 = а11х1 + а12*2 + aí3x3, ®2 = a 12X + Ü22X2 + ^23^3
(2.3)
Шз — ai3 Xi + а2зХ2 + аззХз
где x:, x2, x3 — координаты вектора x. В силу указанной замены из (2.1) имеем
x = (x + X(t)а)x W - X(t)а (2.4)
Запишем уравнение (2.4), используя абсолютную производную вектора x + A,(t)a:
d( x + X( t) а) / dt = 0 (2.5)
Из равенства (2.5) вытекает, что в неподвижном пространстве вектор x + A,(t)a постоянен:
x + X( t) а = c (2.6)
где с — вектор, постоянный в неподвижной системе координат. Введем единичный вектор v = (х + X(t)a)/c и рассмотрим движение свободного гиростата в случае, когда постоянен угол между единичным вектором а, неизменно связанным с телом-носителем, и вектором v. Такое движение называется прецессионным движением относительно вектора v и может быть описано инвариантным соотношением v ■ a = a0, где a0 = cos90 и 90 = Z(v, a). В силу (2.6) запишем его так
(x + X(t)а)■ a = к0, к0 = а0 ■ с (2.7)
В новых переменных хь x2, x3 интеграл (2.2) упрощается:
(х1 + X( t)a 1)2 + (х2 + X( t)a2 )2 + (х3 + X( t)a 3)2 = с2 (2.8)
Третью ось подвижной системы координат направим по вектору a, т.е положим a = (0, 0, 1). Тогда из равенства (2.7) следует
х3 = к0 - X(t)a3 (2.9)
На основании выражения (2.9) равенство (2.8) можно параметризовать, вводя новую переменную и:
х1 = d0cosu - X(t)a 1, х2 = d0sinu - X(t)a2
2 (2.10) d0 = „Je - к0 = с sin 00
Таким образом, в данной статье поставлена задача об исследовании у уравнения (2.4) инвариантных соотношений (2.9), (2.10).
3. Построение решения. Поскольку компоненты вектора x выражаются по формулам (2.9), (2.10), то компоненты угловой скорости можно записать в виде
Ю1 = and0cosU + fl12d)SÍnu + a13K0 - p1А(t)
ю2 = a12d0cosu + a22d0sinu + a23к0 - р2А(t) (3.1)
ю3 = a13d0cosu + a23d0sinu + a33к0 - р3А(t)
В соотношениях (3.1) введены обозначения p1 = a11 a1 + a12 a2 + a13a3
P2 = a12a1 + a 22 a2 + a23a3 (3.2)
p3 = a13a1 + a23 a2 + a33a3
где a,у — компоненты гирационного тензора. На основании (3.2) введен вектор в = фь в2, Рз):
в = a а (3.3)
Запишем уравнение (2.4) в скалярной форме
x1 + А (t)a 1 = x2 ю3 - х3ю2 + А( t)(a2 ю3 - a3 ю2)
x2 + А( t)a 2 = х3ю1 - х1ю3 + А( t)(a3 ю1 - a1®3 ) (3.4)
x3 + А (t)a 3 = x1 ю2 - х2ю1 + А( t)(a1ro2 - a2®1)
В силу (2.9), (2.10) из последнего равенства системы (3.4) следует соотношение ra2cosu — — ra:sin u = 0, которое, с учетом формул (3.1), приводится к уравнению
F1( u)A( t) = F2 (u) (3.5)
F,(u) = p9cosu - p,sinu
(3.6)
F2(u) = 1/2d0(a22 - a11)sin2u + a12d0cos2u - a13K0sinu + a23K0cosu
Подставим x¡, x2, x3 из формул (2.9), (2.10) в первое и второе уравнения системы (3.4). Тогда получим равенство (3.5) и уравнение
22
d u = - 1/2 К0 dX a 22 - a и) cos2u + a 12 K0 d0sin2u + a13 (K0 - d0) cos u + + a23 (k0 - d0) sin u + 1/2к0 d0 (a11 + a22 - 2a33) - А(t)(K0p1cosu + (3.7)
+ K0p2sinu - d0P3)
Следовательно, исследование условий существования прецессии (2.7) для уравнения (2.4) сведено к изучению уравнений (3.5), (3.7), в которых приняты обозначения (3.2), (3.6).
После нахождения условий существования решения уравнений (3.5), (3.7) тип прецессии можно определить следующим образом. Так как производная от левой части равенства (2.7) в силу уравнения (2.4) равна нулю ю ■ [a х (x + l(t)a)] = 0, то вектор угловой скорости лежит в плоскости векторов а и x + X(t)a [9]:
w = ф a + 1 \j/ (x + А( t) а) (3.8)
c
Учитывая соотношение d0 и = K0(ra1cos u + ra2sin u) — ra3d0, которое получается на этапе нахождения уравнения (3.7), на основе скалярных равенств, вытекающих из (3.8), найдем
у = — (©jcos и + ®2sin и), ф = -и (3.9)
d0
Вид правых частей уравнений (3.9) и определяет тип прецессии [9].
Уравнение (3.5) выполняется для любой функции X(t) в двух вариантах. В первом варианте имеют место условия
ац = 0 (i Ф j), a 22 = a а, a! = a2 = 0, = 1 (3.10)
а решение уравнений (3.4) таково
x, = d0cosи, x, = d0sinи, x3 = к0 - t)
1 0 2 0 3 0 (3.11)
и = к0( a11 - a33) + a33 t)
На основании равенств (3.1), (3.10) из первой формулы системы (3.9) следует, что у = = const. Условия (3.10) показывают, что решение (3.11) характеризуется тем, что ось гиростата, проходящая через ось собственного вращения, служит осью динамической симметрии гиростата (условие Лагранжа). Второй вариант характеризуются условиями
a23 = a12 = 0, a22 = a11, a2 = 0, a11 a1 + a13a3 = 0, к0 = 0 (3.12)
а решение уравнений (3.4) имеет вид
x1 = d0cosи - t)a 1, x2 = d0sinи, x3 = t)a3 и = - a13 d0cos и + (a13a1 + a33 a3 )X( t)
(3.13)
В случае (3.12), (3.13) также у = const, но в отличие от первого варианта прецессия гиростата может быть регулярной, то есть ф = у0 = const, если функция X(t) удовлетворяет равенству
М t) = -d-( a13 ^0 cos Y0t - Y0) (3.14)
a13a1 + a33a3
На основании последнего условия (3.12) ось собственного вращения ортогональна в неподвижном пространстве вектору момента количества движения (90 = п/2). Поскольку уравнение гирационного эллипсоида в подвижной системе координат (Oxyz) на основании равенств (3.12) имеет вид an(x2 + j2) + a33z2 + 2a13xz = const, то вектор a ортогонален круговому сечению гирационного эллипсоида (аналог условия Гесса). В общем случае, исключая вырождение формулы (3.5), имеем
М t) = F ( и)[ F\( и)]-1 (3.15)
Подставив выражение (3.15) в уравнение (3.7), зависимость u = u(t) определим путем обращения интеграла
и
С (p2cosи - p1sinи)du 1 .
= ~т(t - t0) (3.16)
'C2cos2u + C2sin2 и + C1cos и + C^sin и + C0 d{
и
С2 = 2а 12Рз - а2зРх - а1зр2)/2 » 2
С2 = ¿0[(а22 - а11)в3 - а13Р1 - а23р2]/2
С = Ко^[«2зРз - а12р1 - (азз - ап)р2] (ЗЛ7)
с; = Ко ^ [ а12 Р2 - а13р3 - (а22 - а33 )в1]
С0 = (2к0 - 4)(а13р2 - а23р1)/2
4. Анализ результатов. 4.7. Случай а = а. Рассмотрим вариант, для которого а: = а2 = 0, а3 = 1. Из равенств (2.2) получим р: = а13, Р2 = 0, Р3 = а33. Равенство Р2 = 0 обусловлено выбором подвижной системы координат. Поскольку случай вырождения формулы (3.5) в тождество рассмотрен выше, то предполагаем а13 Ф 0. Тогда на основании принятых предположений из уравнения (3.15) имеем
М t) = -4—
a13sin u
1 d0 (a11 - a22) sin2u - a12 d0cos2 u + a13K0sin u
(4.1)
Будем предполагать, что функция X(t) ограничена для всех значений u е R. Тогда в формуле (4.1) необходимо положить a12 = 0, т.е. формула (4.1) упрощается
М t) = -1- [ do (a 11 - a22) cos u + a^ ] (4.2)
a13
Подставим выражение (4.2) в уравнение (3.7):
u = a + p cos u (4.3)
a = ^, P = ^ [a33(a 11 - a22) - a213] (4.4)
a13 a13
Из уравнения (4.3) легко получить зависимость u(t). Выпишем результат на примере |a| > |р|, р > 0:
u = 2 arctg
a + 1- tg -ч^ t^22 —
2
h/a - p
tg ч^ч^-.^ t - to)
(4.5)
В силу (3.1), (4.2)—(4.5) из первого равенства системы (3.9) следует, что \jz = const, т.е. прецессия (3.8) является полурегулярной прецессией гиростата. Зависимость <p(t) можно найти, обратившись ко второй формуле системы (3.9) и к равенству (4.3). Зависимость A,(t) устанавливается из (4.2), где
a cos и - р . ч Г~2 72
cosu = -1-, и = (t- t0)va - p (4.6)
a - pcos и
То есть из формул (3.3), (3.6) следует следующее значение ск
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.