ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2009, том 428, № 2, с. 186-190
МЕХАНИКА
УДК 539.3
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРОВ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
© 2009 г. Г. Я. Попов
Представлено академиком В.А. Бабешко 31.03.2009 г. Поступило 13.05.2009 г.
Цель сообщения — изложить новый аналитический метод решения указанных задач на примере конкретной задачи об изгибе толстого цилиндра под действием собственного веса.
1. Постановка задачи. Рассматривается круговой упругий (ц — коэффициент Пуассона, О — модуль сдвига) цилиндр, определяемый в цилиндрической системе координат (г, ф, ¿) соотношениями
0 < r < a, -Жф<я, -l < z < l.
(1)
Ur(r, ф, z) = u(r, Ф, z), uv (r, Ф, z) = v(r, Ф, z) , Uz(r, Ф, z) = w(r, Ф, z) ,
то поставленная задача сводится к решению следующей системы дифференциальных уравнений [1]:
А и - г~2и - 2г~2 V + ц0 0' = -у0-1ео8 ф,
А V - г"2 V + 2г~2 и + = ув^т ф, (5)
А^ + ц00' = 0, ц0 = (1 - 2ц)-1.
Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова, Украина
Здесь 0 — объемное расширение, А — оператор Лапласа в цилиндрической системе координат и приняты обозначения
0'(г,ф,г) = д0гдфг), 0'(г,ф,г) = =фг), дг д0
е'( r, ф, z) =
д е ( r, ф , z ).
dz
Будем считать, что торцы цилиндра защемлены, т.е.
иг(г, ф, -о = 0, и^(г, ф, -/) = 0, иг(Г, ф, +/) = 0 ,(2)
а величина а = а/-1 не является малой.
Ось цилиндра совместим с осью г и расположим ее горизонтально вместе с осью у, а ось х направим вертикально вниз. Удельный вес материала цилиндра обозначим у. Цилиндрическую поверхность будем считать свободной от нагрузки, т.е.
Стг(а,ф, г) = а, ф, г) = Тгг(а,ф, г) = 0. (3)
Заметим, что это требование не является ограничением для излагаемого метода.
Если для искомых смещений ввести обозначения
Систему уравнений (5) следует решить в области
(1) совместно с граничными условиями (2) и (3). Для излагаемого метода важен тот факт, что несмотря на наличие объемных сил объемное расширение является гармонической функцией, т.е.
де( r, ф, z) = о. (6)
Чтобы убедиться в этом, следует систему (5) с учетом (4) записать в виде одного векторного уравнения и учесть, что в рассматриваемом случае объемные силы имеют потенциал [2].
Поскольку рассматриваемая задача имеет плоскость симметрии г = 0, то есть смысл решать уравнения только на участке 0 < г < l. При этом по сечению цилиндра г = 0 должны выполняться условия
Tzr|z = 0 = Tz<p|z = 0 = 0 w(r, ф, 0) = 0 (7)
а по сечению г = l сохраняются прежние условия
(2). Для решения уравнения (5) примем
U = U*(r, z)cosФ, v = v*(r, z) sinФ,
(4) w(r, z, Ф) = w*(r, z)cosФ, е = е*(r, z)cosФ,
(8)
(9)
причем
0*( г, г) = г_1( ги*)' + г-1 V* ( г, г) + ( г, г),
и новые искомые функции будут удовлетворять уравнениям
г-(ги*У - г~2и* + и* - г~2и* - 2г~\* + Ц00* = -ув-,
г_1(гу*)' - г~\. + V* - г~\. - 2г~2и* - Ц0^0* = ув-1
г-(т*) - г 2+ м>* + Ц00* = 0, 0 < г < а, 0 < г < I.
(11)
При этом уравнение (6) переходит в
г-1 (ге;)' - г-2е* + е; = о,
0 < г < а, 0 < г < /.
Граничные условия (7) с учетом (8) сводятся к следующим требованиям:
и;(г, 0) = 0, ^(г, 0) = 0, 0 < г< а. (12) Из соотношения (10) и (12) находим е';(г, 0) = = ** (г, 0). Используя третье уравнение из (10), а также (9), обнаружим, что ** (г, 0) = 0, и потому е;( г, 0) = 0. (13)
Для сокращения входящих параметров в уравнениях (10) и (11) перейдем к безразмерным координатам и соответствующим функциям, т.е.
и; (ар, /О = и(р, О, V* (ар, /С) = У(р, О,
(ар, /С) = Ц(р,0.
в ди(р,0 тг/ г\ ди(р, О
Если считать, что -4 к' -' = и (р, Ц), -=
др
= и*(р, О, то указанные уравнения примут вид р-1 [рЦ ]'-2р-2и + а2V' -2р-2У = = - а2уСТ1 - ^а©'(р, О,
(14)
p-1[pV]' - 2р-2V + a2V" - 2р-2U =
(15)
(16)
©° (1,Z) = о,
(23)
а ©1(р, Z) — граничным условиям
01 (р, 0) = 0, 01 (р, 1) = 0,
(24)
а©1 (1, С) = и(1, С) + Ц(1, С) + У(1, О + аЦ (1, £).
Решая сформулированные краевые задачи методом разделения переменных, находим
0°(р,о = X j ch hJ (j),
j = 1
h = a-1 Yj, J1 (Yj) = °,
да
01 (р,0 = X С?! (a V* р) cos v* Z,
j = 1
(25)
(26)
v* = n(j - 1/2).
= а2уСТ1 + ^ар 1 ©(р, О, р-1 [рЦ]' -р-2Ц + а2Ц" = -ац0а©'(р, С), (17) р-1 [р©'(р,ОГ - р-2©(р,0 + а2© (р, О = 0,
0<р< 1, 0<с< 1. (18)
Приступим к решению полученных уравнений. Начнем с уравнения (18). Для него установим граничные условия. Из (13) следует, что
©'(р, 0) = 0. (19)
Используя равенство (9), после перехода к безразмерным координатам (14) устанавливаем
©(р, 1) = аа1Ц' (р, 1). (20)
Из того же равенства находим
а ©( 1,о = и (1,0 + и( 1,0 + У( 1,0 +
+ а Г( 1,0. (21)
Решение краевой задачи (18) и (19)—(21) будем строить в виде двух слагаемых:
©(р,0 = ©0(р,0 + ©1(р, О. (22)
Каждое из них удовлетворяет уравнению (18), но ©0(р, О удовлетворяет граничным условиям
©°'(р, 0) = 0, ©0(р, 1) = аа_1Ц(р, 1),
Использованы функции Бесселя первого рода J1(z),
а также модифицированная I1(z). При этом С(4) следует находить из условия
да
aX jchh/^р) = аГ'(р, 1), 0<р< 1, (27)
j = 1 Л1)
а С1 из условия
да
X aC(11) I1(a V*) cos v* Z =
j = 1
= U(1, Z) + U(1, Z) + V( 1, Z) + a W (1, Z),
о <Z< 1. (28)
2. Займемся теперь уравнением (17). Так как граничные условия для него будут в силу (2) и (7) иметь вид Щр, 0) = 0, W^, 1) = 0, то применим к нему интегральное преобразование
*Ъ(р) = J sin VkZ W^, Z) dZ, vk = kn,
(29)
к = 1, 2, ...,
в результате чего уравнение (17) переходит в одномерное неоднордное дифференциальное уравнение для ^(р).
Общим регулярным в нуле решением однородной части полученного уравнения для ^(р)
(3)
будет функция Ск I1(avkр), а частное решение неоднородной его части будем строить с помощью функции Грина 0\ (р, р') самосопряженной краевой задачи
- [р*'(р)]' + р-1 *(р) - (а vk)2р^(р) = р/(р), (30)
0 <р< 1, (1) = 0.
Для нее получены две эквивалентные формулы: первая с помощью общего метода построения функцией Грина самосопряженных краевых задач
да
0
(см., например, [3]), а вторая с помощью конечного интегрального преобразования Ханкеля [4]; она представляет собой билинейное разложение по функциям /ДрА*), где А* — корни уравнения
/1 (А* ) = 0 (соответствующие выражения здесь не приводим).
Построенные функции Грина обладают свойством
О?' (1, р') = 0,
о{1} (1,р') = Л (а ^ р' )[а у^ау^)]-1, (31) 0 <р' < 1.
Таким образом, общим регулярным в нуле решением дифференциального уравнения для ^к(р) с учетом (22) будет функция
*к (Р) = (аукр) +
да
+ иаук£ [аС(^^(р) + а^^(р)], (32)
1 = 1
Ак 1 = |"ео« укС ео8 у*^ ¿С,
АС* о еИ Ау<
(33)
Ец (р)
= (р,р' )р'
о
8к] (р) При этом в силу (31)
/1 (Уур') /[(ау* р')
¿р'.
*к( 1) = Ск3)а Ук/1(аУк).
(34)
Первые два интеграла в (33) выражаются через элементарные функции, а последние два интеграла вычисляются с помощью первой формулы для функции Грина, а также формул 7.14.1 (8—13) из [5].
Используя формулу обращения для интегрального преобразования (29), найдем
Ж(р,0 = 2 £ яп уС,
1 = 1
да
Г(р, 1) = 2 £ у^/р).
(35)
1 = 1
условие (27) преобразуем к следующей бесконечной системе алгебраических уравнений:
аС4 V С3)
- £ С » (-1 / ау^ 4-
I = 1
- Ио£ [аС4)Оы + аС1 О*] = о,
еИ Ак
(36)
I = 1
где приняты обозначения:
да
{Ош, О*} = £(-1 /ау{АС*^, А^¿к* }, 1
/к = |р/1 (Уур) 11(а уур) ¿р,
( \
у* V /
11
Цр/1(Укр)О]1)(р, р')р'
о о
/1 (У<р') ^ V /Да у* р') /
(37) ¿р ¿р'.
Первый интеграл в (37) вычислен с помощью формулы 7.14.1 (9) из [5]. С помощью этой же формулы, а также билинейного разложения для
функции Грина О(11) (р, р') вычислен и двойной интеграл в (37).
3. Для реализации условия из (28) необходимо предварительно решить оставшуюся систему уравнений (15), (16). Поскольку для нее в силу (12) и (2) должны выполняться граничные условия и'(р, 0) = У(р, 0) = 0, и(р, 1) = У(р, 1) = 0, то для приведения указанной системы к одномерной применим интегральное преобразование [6]
Ыр) ук(р).
и(р, О Пр,0 ]
= |с08 у**С
о
да
= 2 £ ео8 у* £
и(р, О
Пр, О
¿С,
(38)
к = 1
ик(р)
ук (р)
Для реализации условия (27) подставим туда (35) и умножим обе части полученного равенства на /1(укр). После интегрирования по р на отрезке [0, 1] и использования формулы 7.10 (48) из [5]
В результате уравнения(15), (16) переходят в систему из двух одномерных неоднородных дифференциальные уравнений для ик(р) и ук(р).
Для решения полученной одномерной системы введем новые неизвестные:
Як(р) = ик(р) + ук(р), О-(р) = ик(р) - ук(р).(39)
При этом полученная система распадается на два независимо решаемых уравнения: первое — для
О+ (р), второе — для О- (р). Фундаментальной системой решения для однородной части первого уравнения будут модифицированные функции Бесселя /2(а у* р) и К2(а у* р), а для второго /0(а у* р) и К0(а у* р).
да
да
о
да
Частные решения для неоднородных частей уравнений для (р) и д— (р) будем строить с помощью функций Грина ок (р, р'), где I = 2 для
(р) и I = 0 для д— (р). При построении их, как и выше, будем исходить из самосопряженных краевых задач аналогичной структуры (см. (30)). При этом построенные функции, как и выше, обладают свойствами:
Gk' (1,р') = °,
(40)
С1 (1,р') = I, (а V* р' )[а^ /Да V* )]-1, / = 0, 2,
В результате общими регулярными в нуле решениями уравнений для (р) и д— (р) будут функции
qk (р) = [ X aCf] Yjcjk
j=1
-^(р) gkkj (р)
+
Если функции будут найдены, то согласно формулы обращения для интегрального преобразования (39) запишем
и(р, Z) Г(р,Z)
q+ (р) + q- (р)
(45)
= Xcos v*Z j=1 Lq+ (р) - q- (р)
4. Преобразуем условие (28). Для этого умножим его обе части на cosvk* Z и проинтегрируем по Z на отрезке [0, 1], учитывая ортогональность функций cos v* Z. Последующее использование равенств
(41), (35), а также 2ык (1) = С° a v* I1(a v*) +
+ Ck) a v* I2(a v*), вытекающего из (44) и (43), позволяет условие (28) привести к виду
aCk1}[I1(av*) - [a v**gk*( 1)] =
да
= 2 av* /1(av*)(Ck0) + Ck2)) + 2 a vk X C(3) ^(av) 4k +
2
+ ^ aC1 a v*
gk*(р) gk*(р)
C(k2) I2 (av* р) Ck0) I° (av* р)
(41)
причем для q- (р) следует добавить слагаемое
-2-G-Y(=i*-k fGk0)(р, р')р'dр'.
G v*
где
2 a vk[° X aC( 1)Akc* +
[о X aC4) [ 2a
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.