научная статья по теме ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРОВ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ Математика

Текст научной статьи на тему «ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРОВ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2009, том 428, № 2, с. 186-190

МЕХАНИКА

УДК 539.3

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРОВ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ

© 2009 г. Г. Я. Попов

Представлено академиком В.А. Бабешко 31.03.2009 г. Поступило 13.05.2009 г.

Цель сообщения — изложить новый аналитический метод решения указанных задач на примере конкретной задачи об изгибе толстого цилиндра под действием собственного веса.

1. Постановка задачи. Рассматривается круговой упругий (ц — коэффициент Пуассона, О — модуль сдвига) цилиндр, определяемый в цилиндрической системе координат (г, ф, ¿) соотношениями

0 < r < a, -Жф<я, -l < z < l.

(1)

Ur(r, ф, z) = u(r, Ф, z), uv (r, Ф, z) = v(r, Ф, z) , Uz(r, Ф, z) = w(r, Ф, z) ,

то поставленная задача сводится к решению следующей системы дифференциальных уравнений [1]:

А и - г~2и - 2г~2 V + ц0 0' = -у0-1ео8 ф,

А V - г"2 V + 2г~2 и + = ув^т ф, (5)

А^ + ц00' = 0, ц0 = (1 - 2ц)-1.

Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова, Украина

Здесь 0 — объемное расширение, А — оператор Лапласа в цилиндрической системе координат и приняты обозначения

0'(г,ф,г) = д0гдфг), 0'(г,ф,г) = =фг), дг д0

е'( r, ф, z) =

д е ( r, ф , z ).

dz

Будем считать, что торцы цилиндра защемлены, т.е.

иг(г, ф, -о = 0, и^(г, ф, -/) = 0, иг(Г, ф, +/) = 0 ,(2)

а величина а = а/-1 не является малой.

Ось цилиндра совместим с осью г и расположим ее горизонтально вместе с осью у, а ось х направим вертикально вниз. Удельный вес материала цилиндра обозначим у. Цилиндрическую поверхность будем считать свободной от нагрузки, т.е.

Стг(а,ф, г) = а, ф, г) = Тгг(а,ф, г) = 0. (3)

Заметим, что это требование не является ограничением для излагаемого метода.

Если для искомых смещений ввести обозначения

Систему уравнений (5) следует решить в области

(1) совместно с граничными условиями (2) и (3). Для излагаемого метода важен тот факт, что несмотря на наличие объемных сил объемное расширение является гармонической функцией, т.е.

де( r, ф, z) = о. (6)

Чтобы убедиться в этом, следует систему (5) с учетом (4) записать в виде одного векторного уравнения и учесть, что в рассматриваемом случае объемные силы имеют потенциал [2].

Поскольку рассматриваемая задача имеет плоскость симметрии г = 0, то есть смысл решать уравнения только на участке 0 < г < l. При этом по сечению цилиндра г = 0 должны выполняться условия

Tzr|z = 0 = Tz<p|z = 0 = 0 w(r, ф, 0) = 0 (7)

а по сечению г = l сохраняются прежние условия

(2). Для решения уравнения (5) примем

U = U*(r, z)cosФ, v = v*(r, z) sinФ,

(4) w(r, z, Ф) = w*(r, z)cosФ, е = е*(r, z)cosФ,

(8)

(9)

причем

0*( г, г) = г_1( ги*)' + г-1 V* ( г, г) + ( г, г),

и новые искомые функции будут удовлетворять уравнениям

г-(ги*У - г~2и* + и* - г~2и* - 2г~\* + Ц00* = -ув-,

г_1(гу*)' - г~\. + V* - г~\. - 2г~2и* - Ц0^0* = ув-1

г-(т*) - г 2+ м>* + Ц00* = 0, 0 < г < а, 0 < г < I.

(11)

При этом уравнение (6) переходит в

г-1 (ге;)' - г-2е* + е; = о,

0 < г < а, 0 < г < /.

Граничные условия (7) с учетом (8) сводятся к следующим требованиям:

и;(г, 0) = 0, ^(г, 0) = 0, 0 < г< а. (12) Из соотношения (10) и (12) находим е';(г, 0) = = ** (г, 0). Используя третье уравнение из (10), а также (9), обнаружим, что ** (г, 0) = 0, и потому е;( г, 0) = 0. (13)

Для сокращения входящих параметров в уравнениях (10) и (11) перейдем к безразмерным координатам и соответствующим функциям, т.е.

и; (ар, /О = и(р, О, V* (ар, /С) = У(р, О,

(ар, /С) = Ц(р,0.

в ди(р,0 тг/ г\ ди(р, О

Если считать, что -4 к' -' = и (р, Ц), -=

др

= и*(р, О, то указанные уравнения примут вид р-1 [рЦ ]'-2р-2и + а2V' -2р-2У = = - а2уСТ1 - ^а©'(р, О,

(14)

p-1[pV]' - 2р-2V + a2V" - 2р-2U =

(15)

(16)

©° (1,Z) = о,

(23)

а ©1(р, Z) — граничным условиям

01 (р, 0) = 0, 01 (р, 1) = 0,

(24)

а©1 (1, С) = и(1, С) + Ц(1, С) + У(1, О + аЦ (1, £).

Решая сформулированные краевые задачи методом разделения переменных, находим

0°(р,о = X j ch hJ (j),

j = 1

h = a-1 Yj, J1 (Yj) = °,

да

01 (р,0 = X С?! (a V* р) cos v* Z,

j = 1

(25)

(26)

v* = n(j - 1/2).

= а2уСТ1 + ^ар 1 ©(р, О, р-1 [рЦ]' -р-2Ц + а2Ц" = -ац0а©'(р, С), (17) р-1 [р©'(р,ОГ - р-2©(р,0 + а2© (р, О = 0,

0<р< 1, 0<с< 1. (18)

Приступим к решению полученных уравнений. Начнем с уравнения (18). Для него установим граничные условия. Из (13) следует, что

©'(р, 0) = 0. (19)

Используя равенство (9), после перехода к безразмерным координатам (14) устанавливаем

©(р, 1) = аа1Ц' (р, 1). (20)

Из того же равенства находим

а ©( 1,о = и (1,0 + и( 1,0 + У( 1,0 +

+ а Г( 1,0. (21)

Решение краевой задачи (18) и (19)—(21) будем строить в виде двух слагаемых:

©(р,0 = ©0(р,0 + ©1(р, О. (22)

Каждое из них удовлетворяет уравнению (18), но ©0(р, О удовлетворяет граничным условиям

©°'(р, 0) = 0, ©0(р, 1) = аа_1Ц(р, 1),

Использованы функции Бесселя первого рода J1(z),

а также модифицированная I1(z). При этом С(4) следует находить из условия

да

aX jchh/^р) = аГ'(р, 1), 0<р< 1, (27)

j = 1 Л1)

а С1 из условия

да

X aC(11) I1(a V*) cos v* Z =

j = 1

= U(1, Z) + U(1, Z) + V( 1, Z) + a W (1, Z),

о <Z< 1. (28)

2. Займемся теперь уравнением (17). Так как граничные условия для него будут в силу (2) и (7) иметь вид Щр, 0) = 0, W^, 1) = 0, то применим к нему интегральное преобразование

*Ъ(р) = J sin VkZ W^, Z) dZ, vk = kn,

(29)

к = 1, 2, ...,

в результате чего уравнение (17) переходит в одномерное неоднордное дифференциальное уравнение для ^(р).

Общим регулярным в нуле решением однородной части полученного уравнения для ^(р)

(3)

будет функция Ск I1(avkр), а частное решение неоднородной его части будем строить с помощью функции Грина 0\ (р, р') самосопряженной краевой задачи

- [р*'(р)]' + р-1 *(р) - (а vk)2р^(р) = р/(р), (30)

0 <р< 1, (1) = 0.

Для нее получены две эквивалентные формулы: первая с помощью общего метода построения функцией Грина самосопряженных краевых задач

да

0

(см., например, [3]), а вторая с помощью конечного интегрального преобразования Ханкеля [4]; она представляет собой билинейное разложение по функциям /ДрА*), где А* — корни уравнения

/1 (А* ) = 0 (соответствующие выражения здесь не приводим).

Построенные функции Грина обладают свойством

О?' (1, р') = 0,

о{1} (1,р') = Л (а ^ р' )[а у^ау^)]-1, (31) 0 <р' < 1.

Таким образом, общим регулярным в нуле решением дифференциального уравнения для ^к(р) с учетом (22) будет функция

*к (Р) = (аукр) +

да

+ иаук£ [аС(^^(р) + а^^(р)], (32)

1 = 1

Ак 1 = |"ео« укС ео8 у*^ ¿С,

АС* о еИ Ау<

(33)

Ец (р)

= (р,р' )р'

о

8к] (р) При этом в силу (31)

/1 (Уур') /[(ау* р')

¿р'.

*к( 1) = Ск3)а Ук/1(аУк).

(34)

Первые два интеграла в (33) выражаются через элементарные функции, а последние два интеграла вычисляются с помощью первой формулы для функции Грина, а также формул 7.14.1 (8—13) из [5].

Используя формулу обращения для интегрального преобразования (29), найдем

Ж(р,0 = 2 £ яп уС,

1 = 1

да

Г(р, 1) = 2 £ у^/р).

(35)

1 = 1

условие (27) преобразуем к следующей бесконечной системе алгебраических уравнений:

аС4 V С3)

- £ С » (-1 / ау^ 4-

I = 1

- Ио£ [аС4)Оы + аС1 О*] = о,

еИ Ак

(36)

I = 1

где приняты обозначения:

да

{Ош, О*} = £(-1 /ау{АС*^, А^¿к* }, 1

/к = |р/1 (Уур) 11(а уур) ¿р,

( \

у* V /

11

Цр/1(Укр)О]1)(р, р')р'

о о

/1 (У<р') ^ V /Да у* р') /

(37) ¿р ¿р'.

Первый интеграл в (37) вычислен с помощью формулы 7.14.1 (9) из [5]. С помощью этой же формулы, а также билинейного разложения для

функции Грина О(11) (р, р') вычислен и двойной интеграл в (37).

3. Для реализации условия из (28) необходимо предварительно решить оставшуюся систему уравнений (15), (16). Поскольку для нее в силу (12) и (2) должны выполняться граничные условия и'(р, 0) = У(р, 0) = 0, и(р, 1) = У(р, 1) = 0, то для приведения указанной системы к одномерной применим интегральное преобразование [6]

Ыр) ук(р).

и(р, О Пр,0 ]

= |с08 у**С

о

да

= 2 £ ео8 у* £

и(р, О

Пр, О

¿С,

(38)

к = 1

ик(р)

ук (р)

Для реализации условия (27) подставим туда (35) и умножим обе части полученного равенства на /1(укр). После интегрирования по р на отрезке [0, 1] и использования формулы 7.10 (48) из [5]

В результате уравнения(15), (16) переходят в систему из двух одномерных неоднородных дифференциальные уравнений для ик(р) и ук(р).

Для решения полученной одномерной системы введем новые неизвестные:

Як(р) = ик(р) + ук(р), О-(р) = ик(р) - ук(р).(39)

При этом полученная система распадается на два независимо решаемых уравнения: первое — для

О+ (р), второе — для О- (р). Фундаментальной системой решения для однородной части первого уравнения будут модифицированные функции Бесселя /2(а у* р) и К2(а у* р), а для второго /0(а у* р) и К0(а у* р).

да

да

о

да

Частные решения для неоднородных частей уравнений для (р) и д— (р) будем строить с помощью функций Грина ок (р, р'), где I = 2 для

(р) и I = 0 для д— (р). При построении их, как и выше, будем исходить из самосопряженных краевых задач аналогичной структуры (см. (30)). При этом построенные функции, как и выше, обладают свойствами:

Gk' (1,р') = °,

(40)

С1 (1,р') = I, (а V* р' )[а^ /Да V* )]-1, / = 0, 2,

В результате общими регулярными в нуле решениями уравнений для (р) и д— (р) будут функции

qk (р) = [ X aCf] Yjcjk

j=1

-^(р) gkkj (р)

+

Если функции будут найдены, то согласно формулы обращения для интегрального преобразования (39) запишем

и(р, Z) Г(р,Z)

q+ (р) + q- (р)

(45)

= Xcos v*Z j=1 Lq+ (р) - q- (р)

4. Преобразуем условие (28). Для этого умножим его обе части на cosvk* Z и проинтегрируем по Z на отрезке [0, 1], учитывая ортогональность функций cos v* Z. Последующее использование равенств

(41), (35), а также 2ык (1) = С° a v* I1(a v*) +

+ Ck) a v* I2(a v*), вытекающего из (44) и (43), позволяет условие (28) привести к виду

aCk1}[I1(av*) - [a v**gk*( 1)] =

да

= 2 av* /1(av*)(Ck0) + Ck2)) + 2 a vk X C(3) ^(av) 4k +

2

+ ^ aC1 a v*

gk*(р) gk*(р)

C(k2) I2 (av* р) Ck0) I° (av* р)

(41)

причем для q- (р) следует добавить слагаемое

-2-G-Y(=i*-k fGk0)(р, р')р'dр'.

G v*

где

2 a vk[° X aC( 1)Akc* +

[о X aC4) [ 2a

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»