ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2015, том 51, № 3, с. 94-101
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ЦЕННЫХ БУМАГ
© 2015 г. Е.В. Коваленко
(Москва)
В статье построены аналитические решения и предложены численные методы решения задачи Коши для параболического уравнения с полиномиальной зависимостью коэффициентов от пространственных переменных и произвольной зависимостью от временной переменной. На основе предложенных аналитических решений и численных алгоритмов созданы методы построения распределений различных вероятностных параметров управляемого портфеля, где активы моделируются системой стохастических дифференциальных уравнений, тренды в которой зависят от ряда макроэкономических параметров.
Ключевые слова: задача Коши, стохастическое дифференциальное уравнение, функционал доходности, оптимальное управление, управляемый портфель.
Классификация JEL: C02, G11.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей работе предлагается эффективный метод решения задачи Коши для параболического уравнения с линейно-квадратичной зависимостью коэффициентов от пространственных переменных и произвольной зависимостью от времени. Параболические уравнения с такого рода зависимостью часто встречаются в прикладных задачах механики, физики, финансовой математики (Камбарбаева, 2011; Beletzki, Pliska, 1999; Cordero-Soto et al., 2008). В случае, когда коэффициенты не зависят от пространственных переменных, можно построить явные аналитические решения, ряд которых приведен в справочнике (Полянин, 2001).
В качестве приложения предлагаемого в настоящей работе метода рассматривается задача управления инвестиционным портфелем, активы которого моделируются при помощи системы стохастических дифференциальных уравнений с учетом воздействия на тренды активов ряда макроэкономических факторов. Такие модели исследовались в работе (Beletzki, Pliska, 1999), авторы построили оптимальное так называемое рискочувствительное управление. Такое управление максимизирует функционал доходности на большом временном интервале при наличии в функционале штрафного слагаемого (причем штраф налагается за большие значения дисперсии доходности на больших временах). Рискочувствительность функционала состоит в наличии в функционале параметра, величина которого регулирует величину штрафа за большое значение дисперсии доходности мгновенной процентной ставки портфеля.
Указанная работа явилась результатом больших предыдущих усилий различных авторов в области так называемого эргодического управления. Задачи эргодического управления изучаются на бесконечном интервале времени, функционал, подлежащий оптимизации, задается как предел на бесконечности некоего выражения от траекторий управляемой системы. В основе исследований лежат эргодические свойства такой системы, т.е. возможность выразить средние по траекториям через пространственные средние по некоторой специальной мере1.
Авторы статьи (Belecki, Pliska, 1999), несомненно, отдавали себе отчет в том, что управление на бесконечном интервале времени - математическая абстракция и практическое применение
1 Работа (Бе1ееЫ, Р^ка, 1999) опирается на довольно сложную математическую работу (Nagai, 1996). По этой работе читатель может составить представление о математических методах, используемых в данной области, изучить доказательства.
законов управления портфелем, рассчитанных на бесконечно далекое будущее, будет вызывать серьезные вопросы. Однако оптимальное управление, вычисленное на далекое будущее, неплохо зарекомендовало себя для конкретных задач на интервалах времени не малых, но и не слишком больших (порядка года). Диссертация Г.С. Комбарбаевой была предметом исследования на тему, как можно изменить функционал в задаче управления, чтобы полученный закон управления более эффективно обслуживал короткие интервалы времени. В работе (Комбарбаева, 2011) сохранена базовая модель активов, и она полностью совпадает с моделью, используемой в (Бе1еск1, РИзка, 1999). Однако функционал, подлежащий оптимизации, совершенно другой - это условное значение мгновенной доходности портфеля при фиксированном значении вектора макрофакторов модели со штрафным членом за большое значение дисперсии доходности. Было выявлено, что для такого функционала оптимальное управление может быть построено в аналитической форме. Анализ на ряде реальных данных показал, что на сравнительно коротких временах (недели) подход Г.С. Комбарбаевой дает лучшие, чем в работе (Бе1еск1, РШка, 1999), результаты, однако с увеличением интервала времени последний метод начинает выигрывать, хотя математически он рассчитан на бесконечный, а не на конечный интервал времени.
Следует также сделать некоторые замечания относительно функционала доходности, который используется в работе (Бе1еск1, РШка, 1999) и приводится в настоящей работе. Рассматривая довольно сложное выражение, являющееся нижним пределом на бесконечности по времени некоторого выражения от траекторий управляемой системы, непросто понять, почему в качестве функционала для оптимизации выбран именно этот функционал. Выбор был обусловлен всей предысторией развития данного направления исследований. Во-первых, при малом значении рискочувствительного параметра главный член асимптотики по этому малому параметру представляет математическое ожидание мгновенной доходности за вычетом дисперсии мгновенной доходности с положительным коэффициентом, т.е. это естественным образом определенный штрафной функционал со штрафом за большое значение дисперсии мгновенной процентной ставки. Во-вторых, задача Беллмана с терминальным условием для такого функционала допускает в ряде случаев построение оптимального управления в явной аналитической форме, что очень важно для практического использования метода. В-третьих, применение такого управления в реальных задачах даже на конечном интервале времени дает неплохие результаты.
Приведем определение мгновенной процентной ставки. Пусть ¥(1:) - меняющийся во времени капитал портфеля. Представим его в виде произведения начального значения капитала ¥(0) и экспоненты от произведения величины мгновенной процентной ставки (которую мы хотим определить) на длину интервала времени 1. Если бы процентная ставка была постоянной, ее можно было бы трактовать как постоянный банковский процент, а капитал выражался бы простейшей формулой для сложного процента. Ясно, что мгновенная процентная ставка представима через капитал с помощью логарифмирования и деления на 1.
Авторами работ (Камбарбаева, 2011; Бе1еск1, РШка, 1999) были получены явные выражения для закона оптимального управления, однако весьма желательным было бы рассчитать текущее распределение доходности капитала портфеля. Предлагаемый в данной работе метод позволяет это сделать в обоих случаях. В разд. 1-2 излагается метод расчета решения задачи Коши для параболического уравнения, коэффициенты которого - полиномы не выше второй степени. В разд. 3 рассматриваются приложения метода к задаче расчета эволюции функций распределения некоторых характеристик управляемого портфеля.
1. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ГАУССОВСКОГО НАЧАЛЬНОГО
УСЛОВИЯ
Рассмотрим параболическое уравнение
ди(^ х) а2и(^ х) ди(^ х^ 2 ,
-= а--+( Ьх + с)--+ (ах + ех +/) (1)
д: дх2 дх
с начальным условием гауссовского типа
и(0, х) = {(х) = а0е-°>5Ь°х2+с°х. (2)
Об уравнении известно (Cordero-Soto et al., 2008), что оно сохраняет гауссовость начального условия. Подстановка в (1) функции u(t, x) = a(t)e-0'5bx +c(t)x приводит к системе трех уравнений относительно a(t), b(t) и c(t):
' a'(t)
a( t)
ac2(t)- a3 (t) + cc (t)+f
b'(t) 2
a32(t)- b3(t)+ d,
(3)
С '(t) = (-2a3(t) + b)c(t)+ e - c3(t)
с начальными условиями
а(0) = ао, 3(0) = 3о, С(0) = Со.
Во втором уравнении этой системы переменные разделяются и решением является
Ь + -/о tanh(VD I - g)
3(t)
2a
(4)
(5)
D = b2 - 4ad, g = arc tanh|
2a3o-b , VD ,
Уравнение (3)-(4) на с(^) линейно, его решение выражается при помощи формулы
С (t) = exp
í í x
j(-2a3(x)+ b)dx • y(e - c3(x))exp- J(2a3(s)- b)ds
d x + Со
(6)
Подставив (5) в (6) и проинтегрировав полученный результат, найдем
2ae-bc-tanh(VDt - g)-^-
2a
С (t)
2a VD
2ae - bc . , , ccoshg \ smhg +---+ c0coshg I
2a VD
2a
cos h(VDt - g)'
Обозначая
2ae - bc 2ae - bc . , , c coshg
■, c2^—-— sinhg + —--+ Cocoshg
2a VD ' 2^VD
и интегрируя первое уравнение (3) с учетом (4), имеем
a (-c 1+ c 2) VD
2a
a (t ) = a о *l ac f- —--+f t +
2a
[tanh(VDt - g) +tanhg]
+
2c j c 2 a
VD
(sech(VDt - g) - sech g)Vcosh(VDt - g)/coshg|.
Допустим теперь, что коэффициенты a, b, c, d, e, f кусочно-постоянны по переменной t. Пусть {t}, i = 1,..., n - совокупность точек разрыва функций a(t), b(t), c(t), d(t), e(t),f(t). Тогда в качестве первого шага, решая задачу Коши на отрезке [0, t1] с начальным условием исходной задачи (4), получим в момент t1 некую гауссовскую функцию u1(t1, x). Далее на шаге i решаем задачу Коши на отрезке [tM, t] с начальным условием ui-1(ti-1, x) и получаем функцию ui(ti, x) На последнем шаге этого процесса построим решение исходной задачи. Этот итерационный процесс сводится к подстановкам одних явных аналитических выражений в другие. Следовательно, можно решить задачу (1)-(2) в случае кусочно-непрерывной зависимости коэффициентов от времени.
o
o
o
2. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ НАЧАЛЬНОМ УСЛОВИИ
Теперь допустим, что начальное условие в (2) заменено на и(0, х) = }(х), коэффициенты уравнения являются кусочно-постоянными функциями по переменной t, }(х) £ С3(К). Хорошо известно, что имеет место формула
х) = ^(х, у, t)}(у)йу,
где Е(х, у, 0 - фундаментальное решение, являющееся решением задачи
х) ^-^(кх^^ги ± лдМ*!*!^^ 2 , „ ч
-;--+(ох + с)--+(ах + ех +/)и(t, х),
дt Эх2 дх
и(0, х) = 8(х - у). Приблизим решение задачи (8) при у = 0 решением задачи
~а-;--+(ох + с)--+(ах + ех +/)и(t, х),
д I
дх
и(0, х)
У2г N
дх
ехр{-0,5 Ny2}exp{-0,5Nx 2+ Nyx},
(7)
(8)
(9)
где параметр N > 0.
Заметим, что начальное условие в задаче (9) - гауссовское, поэтому задача может быть решена
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.