ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2012, № 4, с. 115-130
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
УДК 629.782.051
ОБ ОДНОМ СЛУЧАЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА © 2012 г. М. В. Левский
г. Юбилейный, Научно-исследовательский институт космических систем им. А.А. Максимова — филиал Государственного космического научно-производственного центра им. М.В. Хруничева Поступила в редакцию 07.12.10 г., после доработки 14.11.11 г.
Рассматривается задача оптимального управления пространственной переориентацией космического аппарата из произвольного начального в заданное конечное угловое положение. Время разворота известно. Исследуется случай, когда минимизируется квадратичная норма вектора угловой скорости космического аппарата. Используя необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Л.С. Понтрягина и метод кватернионов для решения задач управления движением космических аппаратов, получили аналитическое решение поставленной задачи. Представлены формализованные уравнения и даны расчетные выражения для построения оптимальной программы управления. Для динамически симметричного космического аппарата закон изменения угловой скорости представлен в аналитическом виде. Приводятся результаты математического моделирования динамики движения космического аппарата при оптимальном управлении, которые демонстрируют практическую реализуемость разработанного алгоритма управления пространственной ориентацией космического аппарата.
Введение. В статье решается задача приведения космического аппарата (КА) в положение заданной ориентации оптимальным образом. Способ решения и формализация описания кинематики вращательного движения КА основаны на методе кватернионов, описанном в [1].
Проблеме управляемых вращений твердого тела вокруг центра масс посвящено достаточно много работ [1—10]. В частности, в [2] рассматриваются вопросы управления КА, в том числе оптимального по времени и минимуму энергетических затрат. Интересные результаты приведены в [3], где управление построено методом совмещенного синтеза по критерию обобщенной работы. И хотя аналитическое конструирование по критерию обобщенной работы не требует существенного упрощения модели объекта управления, оптимизация этим методом не позволяет обеспечить выполнение ограничений, накладываемых на управляющие переменные. Кроме того, данный метод применим только при относительно небольших начальных угловых отклонениях [4]. Использование при синтезе управлений прогнозирующих моделей повышает качество регулирования, и поэтому они широко применяются в настоящее время многими авторами [3, 5]. Но в таких алгоритмах конечный результат зависит в основном от вида прогнозирующей модели, которая полностью предопределяет реализующийся полученными управлениями тип движения вокруг центра масс. Принятие сколько-нибудь близкой к реальности прогнозирующей модели влечет за собой неустранимые математические сложности. В большинстве своем методы оптимизации с применением прогнозирующих моделей используются при синтезе управлений, стабилизирующих программное движение КА, или для построения высокоточных компенсаций. Нахождение же самих программных управлений подробно не исследовалось. Наиболее детально задача оптимального управления угловым движением КА решена лишь для двух частных случаев — плоских вращений КА вокруг одной из главных центральных осей инерции [4, 6] и пространственного вращения сферически симметричного тела [1]. Вопросы создания эффективных режимов и алгоритмов управления ориентацией КА остаются актуальными и сегодня. Например, КА дистанционного зондирования Земли, мониторинга, а также астрофизические и другие научные КА требуют периодической смены ориентации для наведения научных приборов и целевой аппаратуры на интересующие участки земной поверхности или область небесной сферы. Нередким является и такой режим, как закрутка — вращение КА с определенной, наперед заданной угловой скоростью (или вектором кинетического момента). Он применяется, как правило, либо для обеспечения требуемого теплового режима, либо с целью подзаряда буферных батарей бортовой системы электропитания, либо как один из способов пассивной ори-
115
8*
ентации (стабилизация вращением). Об актуальности режима закрутки КА говорят недавние события, произошедшие в связи с неудачной стыковкой грузового транспортного корабля "Прогресс М-06М" с международной космической станцией 2 июля 2010 г. Следующая попытка пристыковать корабль к орбитальной станции могла быть осуществлена только через двое суток, 4 июля 2010 г. (по баллистическим условиям) [11]. Чтобы обеспечить необходимый уровень съема электроэнергии с панелей солнечных батарей, корабль "Прогресс" был введен в режим закрутки. Задача сообщения КА необходимой угловой скорости за минимальное время подробно изучена в [7].
Среди динамических режимов особый интерес представляет режим программного разворота КА. Изучению такого варианта вращения КА всегда уделялось большое внимание (этот режим требует значительных "усилий" — энергетических затрат, расхода топлива, резкого увеличения кинетического момента системы силовых гироскопов и др.). Задача оптимального управления разворотом твердого тела формулировалась неоднократно. Аналитические решения получены для плоских поворотов и произвольного разворота сферически симметричного тела. В [1] подробно изучена кинематическая задача разворота, а решение приведено для случая, когда вектор угловой скорости ограничен по модулю. Для несимметричного КА решена задача максимально быстрого приведения в положение заданной ориентации без ограничений на первоначальный угол рассогласования и направление вектора конечного поворота [8]. Большинство решений соответствуют вращению КА вокруг неподвижной оси [1—3, 5, 9, 10]. И хотя принципы оптимизации и алгоритмы управления различны (в том числе на основе прогнозирующих моделей [3, 5]), результирующее управление приводит к развороту КА вокруг оси Эйлера. В то же время разворот в плоскости наименьшего угла разворота во многих практических случаях не является оптимальным, как бы точно он не исполнялся. Более поздние работы [9, 10] также описывают синтез и построение управлений, стабилизирующих вращение КА вокруг мгновенной оси Эйлера. Однако требование, чтобы КА во время разворота вращался вокруг мгновенной оси Эйлера, — это слишком сильное ограничение на движение КА, делающее процесс переориентации во многих случаях далеким от оптимального.
Ниже приводятся определение и исследование оптимальной по "расходу" кинетического момента программы управления ориентацией КА при его пространственном развороте.
1. Уравнения углового движения и постановка задачи управления. Под пространственной переориентацией понимается перевод связанных с корпусом КА осей OXYZ из одного известного углового положения в другое известное (обычно заданное) угловое положение за конечное время Т. В этом случае параметры разворота (например, компоненты кватерниона разворота) известны заранее, еще до начала маневра; исходные угловые рассогласования могут быть любыми (от нескольких до 180°). При этом угловая ориентация правой системы координат OXYZ (равно как ее начальное и конечное положения) определяется относительно выбранного
опорного базиса I. В работе рассматривается широко распространенный случай, когда опорной является инерциальная система координат OXjjYjZh (ИСК). В связи с этим исследуется вопрос оптимизации терминального управления, обеспечивающего за конечное время Т совмещение связанной с корпусом КА правой системы координат OXYZ с программным базисом, положение которого в инерциальном пространстве задано. Предполагается, что управление угловым положением КА осуществляется посредством исполнительных механизмов, создающих моменты относительно всех трех главных центральных осей инерции КА. Угловое движение КА как твердого тела описывается динамическими уравнениями Эйлера [6]
/^ + (J3 - J2) ®2®3 = Mb /2Ю2 + (J1 - J3) Ю^з = M2, /3Ю3 + (J2 - J1) ro!®2 = M3, (1.1)
где J — главные центральные моменты инерции аппарата, М, — проекции главного момента М сил на главные центральные оси эллипсоида инерции аппарата, ю,- — проекции вектора ю абсолютной угловой скорости КА на оси связанного базиса E, образованного главными центральными осями эллипсоида инерции аппарата (i=1, 3). Для описания пространственного движения КА воспользуемся математическим аппаратом кватернионов (параметров Родрига—Гамильтона). Движение связанного базиса Е относительно опорного базиса I будем задавать кватернионом Л [1]. Угловое положение начальной и конечной ориентаций КА относительно опорного базиса I определяется кватернионами Лн и Лк соответственно. Для определенности базис I считается инерциальным. В этом случае имеют место следующие кинематические уравнения [1]:
2А,о = -А1ю1 — X2ю2 — X3ю3, 2X1 = Xo®i + X2ю3 — X3ю2, п ~
(1.2)
2X 2 = X 0ю2 + X 3Ю1 — X1®3, 2X з = X 0ю3 + X1®2 — X 2ю1
или в кватернионной форме: 2Л = Л ° ю, где Ху — компоненты кватерниона Л (у = 0, 3), Л = = 8да1 Л + уее1 Л [1, с. 11—20], 8да1 Л = А0 — скалярная часть кватерниона Л; уее1 Л = + + + — векторная часть кватерниона Л; e1, e2, eз — орты осей связанного базиса E, причем
X2 + + X 2 + = 1. Кватернион Л, задающий текущую ориентацию КА, принят нормирован-
ным [1] для удобства ( Л = 1).
Зададим граничные условия маневра пространственного разворота КА
Л (0) = Л н; (1.3)
л (Т) = Лк, (1.4)
где Т — время окончания процесса переориентации. Кватернионы Лн и Лк, определяющие ориентацию связанных с КА осей в начальный и конечный моменты времени, имеют произвольные наперед заданные значения, удовлетворяющие условию ||Лн|| = ||Лк|| = 1. Часто эффективность управления оценивается интегральной величиной
2 + £2®2 + £3®2)Л ^ шт, (1.5)
где к1, к2, к3 > 0 — постоянные коэффициенты.
Функционал (1.5) является типовым; он задает широко известный квадратичный критерий качества [12]. Основная сложность использования квадратичного критерия качества — корректное назначение коэффициентов к1, к2, к3 такими, чтобы они адекватно отра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.