ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 4, с. 43-55
ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
УДК 62-50
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ КЛАССА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ*
© 2007 г. А. Н. Сиротин
Москва, МАИ, ИКИ РАН Поступила в редакцию 11.12.06 г.
Рассматриваются конечномерные линейные стационарные системы с дискретным временем и ограниченным управлением. Выделен класс 0-управляемых систем, у которых размерности векторов состояния и управления совпадают. Для данного семейства систем предложен подход, позволяющий формировать ограниченное управление как функцию текущего состояния в задаче достижения начала отсчета за конечное время.
Введение. В статье изучается линейная стационарная конечномерная система (A, %) с дискретным временем и ограниченным управлением
x(k + 1) = Ax(k) + u(k), u(k) e k = 0, 1, ..., (0.1)
где x(k) e R" - вектор состояния, u(k) e R" - вектор управления, % e R" - множество допустимых значений управляющих воздействий, A - матрица системы соответствующей размерности. Основной задачей считается формирование управления таким образом, чтобы система (A, %) достигала начала отсчета из произвольного начального состояния за конечное число шагов. Интерес будет представлять выбор управления как функции текущего времени и текущего состояния, т.е. будет изучаться задача синтеза управления в задаче 0-управляе-мости.
В [1] установлено, что для систем (A, %) существование программного управления (в виде функции времени и начального состояния) для каждого начального состояния (т.е. выполнение условия 0-управляемости) эквивалентно существованию управления с обратной связью по вектору состояния (в виде функции текущего состояния). Далее считается, что для системы (0.1) выполнены условия
p(A) < 1, 0 e int(0.2)
где p(A) - спектральный радиус матрицы A, int % -внутренность множества Как показано в [2], эти условия гарантируют выполнение условия 0-управляемости системы (A, %).
Наиболее привычный способ формирования управления с обратной связью состоит в использовании прямого метода Ляпунова. Идея состоит в том, что допустимое управление выбирается так, чтобы значение некоторой функции (функции Ляпунова) в текущий момент времени было больше
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты < 06-01-00121 и 06-08-00882).
(не меньше) соответствующего значения на следующем шаге. Главной и часто неразрешимой проблемой для систем с ограничениями является построение соответствующей функции Ляпунова. Здесь основная трудность - попытка добиться того, чтобы для искомой функции выполнялось требование монотонности, т.е. чтобы существовало хотя бы одно допустимое управление с обратной связью, при которой функция Ляпунова на траектории соответствующей замкнутой системы монотонно не возрастала (убывала). Тем не менее, в [3] удалось выделить класс систем (А, Ц), для которых функция Ляпунова строится явным образом.
Целью данной статьи является обоснование одного метода формирования управления с обратной связью. Идея состоит в том, чтобы отказаться от обременительного требования монотонности функции Ляпунова и искать управление в результате решения некоторой задачи минимизации функции на каждом шаге. Задачи такого рода известны как задачи локально-оптимального управления.
1. Случай частично диагонализируемой матрицы системы. Пусть J е С" х п - каноническая жор-данова форма вещественной матрицы А, которую, не теряя общности, представим в виде
J = J1 ® J2,
П^ х ПI
где Ji е С для I = 1, 2 и п1 + п2 = п, п1 > 0, п2 > 0. Здесь полагается, что все собственные значения матрицы J1 совпадают по абсолютной величине со спектральным радиусом р(А) матрицы А. Абсолютные величины собственных значений матрицы J2 строго меньше р(А). Если таковых не имеется, то будем считать, что п2 = 0 и J = J1. Матрица А называется частично диагонализируемой [3], если J1 - диагональная матрица. В частном
случае, при n2 = 0 частично диагонализируемая матрица является диагонализируемой.
Допустим, ||-|| - векторная норма в [n, тогда операторной нормой [4] матрицы A называют
||A|| = мах{||Ах|| : ||x|| = 1, x е [n}.
В [3] показано, что матрица A частично диагона-лизируема в том и только в том случае, когда хотя бы для одной операторной нормы ||-|| выполнено равенство ||A|| = p(A). Для матрицы A обозначим через S(A) множество всех векторных норм ||-||а в [n, для которых соответствующие операторные нормы удовлетворяют условию ||A||a = p(A). Такое множество не пусто только для частично диа-гонализируемых матриц.
Лемма 1. Пусть для системы (A, %) выполнены условия (0.2), матрица A - частично диагона-лизируема, множество % - выпуклый компакт, симметричный относительно 0 е int %. Допустим,
что
: - произвольная векторная норма из мно-
жества S(A), sa(x) : ляемая формулой
% - функция, опреде
\\Ax + sa( x )||а = mini Ax + u
I е %
(1.1)
Если {xa(k)} - траектория системы (A, %), соответствующая управлению u(k) = sa(xa(k)) и произвольному начальному положению, то числовая последовательность {|| xa( к )||а} является финитной
монотонно не возрастающей последовательностью.
Доказательство приведено в Приложении.
Утверждение леммы 1 означает, что при выполнении определенных условий имеется возможность построить функцию Va(x) : [n —- {0, по формуле
Va( x) = М а, (1.2)
и соответствующее управление u(k) = sa(x(k)) в виде Vа( Ax( к) + 5а( x ( к ))) = = min Va( x (к +1 )) = min Va( Ax( к) + u),
(1.3)
i е %
i е %
2. Контрпримеры. Цель данного раздела - иллюстрация того факта, что требования в условиях леммы 1 ослабить не удается. Для этого будут построены примеры соответствующих систем.
Покажем сначала, что условие частичной диа-гонализируемости матрицы системы существенно для того, чтобы синтез управления мог быть осуществлен функцией, определяемой по формуле (1.1). Точнее, рассмотрим систему (A, %), удовлетворяющую условиям (0.2), для которой управление строится по формуле
u(k) = s(x(k)), (2.1)
где s(x) : [n —► U - произвольное решение задачи математического программирования
||Ax + s( x)|| = mini Ax + u|| (2.2)
u е %
и ||-|| - некоторая векторная норма в [n. Построим пример, показывающий, что имеется, по крайней мере, одна векторная норма ||-||, такая, что порождаемое ей управление (2.1)-(2.2) не переводит систему из произвольного начального состояния в 0 за конечное число шагов, если матрица A не является частично диагонализируемой.
Пусть
x(k) = (x1(k), x2(k))T е [2,
A=
/ л 1 1
V 0 1 у
которое представляет собой для системы (A, %) закон управления с обратной связью в задаче достижения 0 за конечное число шагов. Кроме того, на соответствующей траектории системы функция Va(x) оказывается монотонно не возрастающей
Vа( xa( 0 ))> Vа( xa( 1 ))>...
Таким образом, если рассматриваемая система (A, %) 0-управляема и матрица A частично диаго-нализируема, то задача синтеза управления в задаче достижения 0 может быть решена с помощью прямого метода Ляпунова, если в качестве функции Ляпунова использовать функцию (1.2).
% = ь2(1) = {u е [2 : ||u||2 < 1},
x(0) = (2, 1)T
и в (2.2) используется векторная норма ||-||м, т.е. s(x) - любое решение задачи
II Ax + s( x)U = min| |Ax + u|| _ (2.3)
ПН!2 < 1
Условия (0.2) выполнены, но A не является частично диагонализируемой. Поскольку
Ax(0) = (3, 1)T,
то, как следует из рис. 1, задачу (2.3) достаточно исследовать в четырех точках (2, 1)T, (4, 1)T, (3, 2)T и (3, 1)T, которые совпадают с вершинами множества Ax(0) + %. В результате перебора получаем
miniAx(0) + u|| = min ||Ax(0) + u|| =
u е % ||u|| 2 < 1
= min;
/ \ / \ / \ / \
2 4 3 3
1 1 2 1
V V го V го V
/ л
2 1
= 2,
и этот минимум достигается при управлении и(0) = (-1, 0)T, т.е.
и(0) = s(x(0)),
\\Ax( 0 ) + S ( x ( 0 ))|L = 2.
В этом случае
x(1) = Ax(0) + и(0) = (2, 1)T = x(0).
Другими словами, x(0) = (2, 1)T - неподвижная точка оператора Ax + s(x) и, следовательно, управление u(k) = s(x(k)) для функции s(x) из (2.3) не выводит рассматриваемую систему (A, Ш) из начального положения, так что
x(0) = x(1) = x(2) = ...
Таким образом, для построенной системы с управлением вида (1.1) имеется начальное состояние, из которого она в начало отсчета не попадает никогда.
Следующий пример преследует своей целью продемонстрировать тот факт, что норма ||-||ст в формуле (1.1) не может выбираться произвольным образом, даже если матрица A частично диа-гонализируема. Точнее, построим систему (A, Ш) с выполненными условиями (0.2) и частично диагонализируемой матрицей A таким образом, что для нее найдется, по крайней мере, одна векторная норма ||-|| в [я, для которой управление (2.1)-(2.2) не является решением задачи синтеза перевода системы из начального положения в 0 за конечное число шагов.
Приведем прежде некоторые вспомогательные построения. Введем в рассмотрение в [2 многогранное множество Ш, задав его набором вершин
611 г (!) (2) (3) (4Ь
Ш = conv{и , и , и , и }
и(1) = (л/2/2-1, T2/2)T,
и
■(2) = (72/2-1,-V2/2)T,
(2.4)
и(3) = -и( !), и(4) = -и( 2).
Если
^ = (1, 0)T, ^ = (0,1)T, то получаем формулы вида
ÛU + e1 = conv{и(1) + e1, i = 1, ..., 4},
.(1)
+ e1 = {42/2,42/2-) ||и(1) + e 11 2 = ||e 11 2 .
X2(1)
2
1
Ax(0) + Ш
4
xi(1)
Рис. 1.
Аналогично записываем равенства
Ш - e1 = conv{и~') - e1, i = 1, ..., 4},
(3)
- e1 = (-72/2, -72/2 )T
||и( 3) + e 1 II 2 = IIe 112 .
Построим в К2 еще одно множество М и определим его двойственным образом как полиэдр. Из семейства ортогональных единичных векторов
/ \ / \
cos y -sin y
v sin Y , v cosY ,
при y е [
выделим пару, соответствующую углу y = -п/6
С =
/ \ 1/2
-73/2
Со =
3/2 1/2
Далее под точкой и е К2 будем для удобства понимать конец геометрического вектора и, считая, что его начало совмещено с 0.
Проведем через точки и(1) + е1 и и(3) - е1 параллельные прямые /1, 12 с нормальным вектором с1
¡1 = J(Х1, x2)T е [2 : 1^-у
-Ä (x, - = 0
¡2 = x1, x2 ) е [ : £ I x^l -
i ^Т' = 0
h h
u(1) - e1
Пo пocтpoeнию
. n (% + e1 ) = Iu{ 1) + e1}, M n (% - e1 ) = Iu(3) - e1},
Пocкoлькy M в R2 - Bbrnyraoe, зaмкнyтoe, стм-мeтpичнoe oтнo
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.