ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2004, том 40, № 3, с. 110-114
ЗАМЕТКИ И ПИСЬМА
ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА
© 2004 г. А. В. Цуриков, В. И. Цуриков
(Кострома)
Снижение уровня доходов, охватившее с начала 1990-х годов большую часть населения России, негативно отразилось на структуре питания. Согласно данным, приведенным Институтом питания и Институтом экономики переходного периода, в последнем десятилетии XX в. снизилось потребление почти всех продуктов питания. Исключение составляют картофель, потребление которого в 1990-е годы почти монотонно возрастало, и хлебобулочные изделия, объем потребления которых почти не менялся. Следует отметить, что общее потребление продуктов питания стало намного ниже медицинских норм.
Для описания наблюдающегося изменения структуры питания нами в (Цуриков В., Цуриков А., 2002; Цуриков, 2002) предложено модифицировать функцию потребительской полезности Р. Стоуна (Замков, Толстопятенко, Черемных, 1998) следующим образом:
а п а
u(х) = (x1+ x2- b)x22 П(xk - ak) (1)
k = 3
где Xk - количество товара k; ak, b, ak = const; ak - необходимое количество товара k, которое приобретается в любом случае и не является предметом выбора (естественно считать, что доход превышает стоимость этого набора); ak - постоянные коэффициенты, характеризующие относительную степень предпочтения товара k; b - необходимое суммарное количество двух взаимозаменяемых товаров (считаем, что один товар дешевле другого). В качестве этих товаров можно рассматривать, к примеру, овощи и фрукты.
Как видно, предложенная к рассмотрению функция отличается от функции полезности Р. Стоуна только наличи-
а2
ем множителей (X1 + X2 - b) и X2 . Первый из них отражает сложившуюся ситуацию с характерным для нее низким уровнем потребления продуктов питания бюджетника и призван учесть желание такого потребителя приобрести как
а2
можно больше по массе продуктов питания, вне зависимости от вида продуктов. Второй множитель X2 призван отразить желание потребителя купить вместе с тем и некоторое количество второго (не самого дешевого) продукта. Этот множитель отражает, например, желание пенсионера купить любимому внуку хоть несколько апельсинов или бананов.
Требуется отыскать функции спроса X,, максимизирующие функцию полезности u(x) при бюджетном ограничении
n
Е PiXi = /. (2)
i = i
где р, - цена единицы товара i, причем считаем, что P2 > P1, а I - величина дохода. Приравняв нулю частные производные от функции Лагранжа, взятые по х¡, получим с учетом (2) систему алгебраических уравнений. Функция Лагранжа имеет вид
Гn
L(х, X) = u(х) + XI Е -1
в результате дифференцирования получим следующие n уравнений:
7-tt-i; + XPi = 0, (3)
i/ LA'-) tí
U + —+ X p2 = 0, (4)
, , .-jj2
+ X2 — b X2
■ + Xpk = 0 Vk > 3. (5)
лк~"к Из (5) следует, что
Рк(xk - ak) = ak• (6)
Вычитая из уравнения (4) уравнение (3), найдем выражение для величины и/Х, которое подставим в (6), тогда
ак
Рк(xk - ak) = ¿Tx2(Р2- Р1)• (7)
а2
2
Просуммируем обе части уравнения (7) по к от 3 до п. Учитывая бюджетное ограничение (2), из которого следует, что
п
Е Ркхк = 1 - х1Р1- х2Р2'
к = 3
получим первое уравнение следующей системы:
п х п
I- х! Р!-Х2Р2 = Е Ркак + 0- (Р2-Р1) Е ак' (8)
к = 3 2 к = 3 (8)
Р1 а2( х1 + х2-Ъ) = х2(Р2-р1 ).
Второе уравнение системы получается в результате исключения множителя X из уравнений (3) и (4). Как видим, система (8) линейна относительно двух неизвестных х1 и х2. Решив ее, найдем из (7) выражения для остальных функций спроса:
», 1 (г и п 1Р2- (1 + а2)Р1
х1 = Ъ + -\1 -Р1Ъ- Е Ркак\-п—, (9)
1 к = 3 (Р2—Р1)Еа
х2 =-п— I1 -Р1Ъ- Е Ркак\, (10)
(Р2-Р1)Еа к = 3 У 1 = 1
ак ( п \
хк = ак + —п— I1 -Р1Ъ- Е Ркак\, (11)
Рк Еа1 к = 3 ; 1 = 1
где а1 = 1; к = 3, ..., п. Как видно, функции спроса (11) почти такие же, как в модели Стоуна.
Обозначим через 15 деньги, которые остаются после приобретения в минимальных количествах всех благ (точнее, после осуществления выбора в наиболее дешевом варианте):
п
^ = 1 - р1Ъ - Е Ркак. (12)
к=3
Эта сумма распределяется между всеми благами пропорционально величине относительного предпочтения, отдаваемого каждому благу. Поэтому на дополнительное приобретение блага к выделяется сумма в размере
1з, к = «к¥Е«;. (13)
г
Если разделить 15 к нарк, то получим величину дополнительно приобретаемого блага к, которое, согласно (11), можно купить сверх минимального количества ак. Таким образом, спрос на каждое благо (при к > 3) растет с ростом дохода и понижается с ростом цены. Иначе говоря, каждое из этих благ является нормальным товаром.
Второй товар отличается от рассмотренных благ (к > 3) тем, что для определения его количества, согласно (10), отложенная на его приобретение сумма денег 13 2 делилась не на его цену Р2, а на разность цен Р2 - Р1. Этот товар также является нормальным.
Рассмотрим функции (9) спроса первого товара. Частная производная по доходу имеет вид
Эх1 р2- (1+ а2)р1
31 Р1(Р2-Р1)Еа;
(14)
Как видно, знак производной определяется знаком числителя. Если выполняется условие
Р2 >( 1+ а2)Р1, (15)
то производная (14) больше нуля. В этом случае спрос на первый товар с ростом дохода возрастает, т.е. первый товар является нормальным. При этом, как следует из (9), первый товар приобретается в количестве, превышающем Ъ.
Рассмотрим случай невыполнения условия (15). Нарушение этого условия имеет место в том случае, если величина а2 достаточна велика, т.е. если достаточно велико желание покупателя купить второй (более дорогой) товар. В этом случае частная производная по доходу отрицательна, а это означает, что первый товар является товаром некачественным (малоценным).
Отметим и то, что условие (15) определяется не только коэффициентом предпочтения а2, но и соотношением цен первого и второго товаров, которое со временем может меняться. Например, если цена первого товара в течение достаточно большого промежутка времени будет расти быстрее, чем цена второго товара, то первоначально выполняемое условие (15) может в конце концов нарушиться, и первый товар может, соответственно, перейти в разряд некачественных.
Рис. 1. а2 = 0.2, Ъ = 6, Р1 = 10, Р2 = 20. Сплошная линия - случай I = 120, пунктирная линия - I = 100. Оба товара - нормальные.
Рис. 2. а2 = 0.2, Ъ = 6, I = 100, р2 = 20. Сплошная линия - случай Р1 = 10, пунктирная линия - Р1 = 14.
Рассмотрим, как меняется спрос на первый товар при изменении его цены. Частная производная от величины спроса на первый товар по его цене имеет вид
(
д х1 др1
1
Еа
Е Ркак + ЪР2-1 I —
к=3
(Р2-Р1)
Е Ркак
к = 3 2 Р1
Л
(16)
Эта производная может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Положительное значение производной (16) означает, что первый товар является товаром Гиффена (Замков, Толстопятенко, Черемных, 1998; Гальперин, Игнатьев, Моргунов, 1994), так как в этом случае с ростом цены спрос на него растет и, соответственно,
д х 1
падает с понижением цены. Легко получить условие, при котором производная (16) больше нуля. Из неравенства д—
д Р 1
> 0 вытекает следующий критерий для эффекта Гиффена:
п
2
I- Е Ркак <а2р2Ъ/[(р2/р1 - 1) + а2].
к=3
С учетом обозначения (12) этот критерий можно переписать в виде
2
(17)
^ <((1 + а2) Р1 - Р2){ Р1Ъ (Р 2-Р1)/[(Р2-Р1)2 + а2 Р2 ]}.
(18)
Неравенства (17)-(18) своими правыми частями устанавливают некую планку (границу) для величины соответствующей части дохода потребителя. Если эта часть дохода лежит ниже, то первый товар является товаром Гиффена, а если -выше, то не является.
Так как согласно условию и определению (12) величина ^ положительна, то неравенство (18) может выполняться только в том случае, если множитель (1 + а2)р1 - Р2, стоящий перед дробью, также положителен. Другими словами, первый товар может быть товаром Гиффена только в том случае, если условие (15) нарушается, т.е. если первый товар является товаром некачественным. Нормальный товар быть товаром Гиффена не может.
Таким образом, в зависимости от соотношения цен на первый и второй товары от величины показателя предпочтения а2 и от величины дохода потребителя первый товар может быть: а) нормальным товаром (если выполняется условие (15)), б) некачественным товаром (если условие (15) нарушается), в) товаром Гиффена (если выполняется критерий (17)).
Полученные результаты поддаются простой и наглядной геометрической интерпретации. Для этого следует ограничиться рассмотрением случая из двух благ. Для формального преобразования достаточно положить ак = ак = 0 при к > 3. Система уравнений (8) для этого случая принимает вид:
х1 Р1 + х2 Р2 = I'
т + хп
Ъ
Р1(1 + а 2 ) - Р 2 Р1 а2Ъ
= 1.
(19)
Выберем параметры таким образом, чтобы выполнялось условие (15). Тогда коэффициент при х2 во втором уравнении системы (19) отрицателен, и поэтому соответствующая прямая имеет положительный наклон. Графики, построенные при конкретных значениях всех параметров, приведены на рис. 1, 2. Из рис. 1 видно, что понижение дохода от 120 до 100 ед. приводит к смещению точки пересечения соответствующих прямых от точки А вниз и влево к точке В.
Другими словами, снижение дохода влечет за собой снижение спроса и на первый товар, и на второй. В этом случае оба товара -нормальные. Рис. 2 служит иллюстрацией динамики спроса при росте цены первого товара. Как видно, с ростом цены на первый товар спрос на него понижается.
Нарушение условия (15) приводит к качественному изменению всей картины. Для этого достаточно увеличить (в нужной мере) значение коэффициента предпочтения а2. Поэтому графики на рисунках 3-5 построены с использованием прежних значений всех параметров, кроме параметра а2, величину которого мы повысили от 0.2 до 5. Так как в этом случае все коэффициенты при переменных и в системе (19) положительны, то обе соответствующие прямые имеют отрицательный наклон.
Из рис. 3 видно, что с понижением уровня дохода от 120 до 100 ед. точка пересечения А, характеризующая решение системы (19), смещается вниз и вправо к точке В, что означает снижение спроса на второй товар и повышение спроса на первый товар. Соответственно, п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.