ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2013, том 53, № 4, с. 600-614
УДК 519.634
ОБ ОДНОЙ МУЛЬТИОПЕРАТОРНОЙ СХЕМЕ ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА
И ЕЕ ПРИМЕНЕНИИ В ПРЯМОМ ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ^
© 2013 г. М. В. Липавский, А. И. Толстых
(119333 Москва, Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: mlipov@rambler.ru; tol@ccas.ru Поступила в редакцию 17.08.2012 г.
Описывается мультиоператорная разностная схема десятого порядка точности, построенная на основе двухточечных компактных ориентированных операторов. Выполнен поиск оптимальных наборов параметров, обеспечивающих малость фазовых и амплитудных ошибок. Представлены результаты численного моделирования неустойчивости горячей дозвуковой струи. Приведены характеристики возбуждаемых акустических полей. Библ. 9. Фиг. 8. Табл. 3.
Ключевые слова: компактные ориентированные разностные операторы, мультиоператоры, схемы высокого порядка, неустойчивость газовых струй, акустические поля.
DOI: 10.7868/S0044466913040078
1. ВВЕДЕНИЕ
В [1] были предложены однопараметрические семейства компактных аппроксимаций с обращением двухточечных сеточных операторов, позволяющие повышать порядки стандартных формул численного анализа. Более того, используя мультиоператорную идею (см. [2]), оказывается возможным осуществить дальнейшее увеличение этих порядков до желаемых путем построения линейных комбинаций операторов (названных мультиоператорами) из этих семейств, фиксируя наборы параметров. Совокупность операторов, порождаемых однопараметрическими семействами путем фиксации значений параметров, можно рассматривать как базисные операторы; порядки аппроксимаций мультиоператоров возрастают линейно с их числом. При этом процесс вычисления действий мультиоператоров на известные сеточные функции может быть осуществлен параллельным образом при одновременном вычислении действия базисных операторов при каждом значении параметров из выбранного набора.
В [3] приводится более полное описание мультиоператоров с обращением двухточечных операторов с числовыми примерами для различных формул численного анализа (производных в узлах сетки, квадратурных формул, интерполяции и экстраполяции).
Отличительной особенностью мультиоператорных аппроксимаций является их зависимость от выбранного набора параметров. В случае аппроксимации первых производных, управляя этими параметрами, можно добиться того, что высокий порядок стремления к нулю погрешности с уменьшением шага сетки h будет сочетаться с малыми погрешностями при воспроизведении масштабов решений, сравнимых с h. С точки зрения спектральных свойств это означает, что высокая точность описания гармоник при kh —► 0 (где k — волновое число) дополняется приемлемой точностью при kh, достаточно близких к п. Напомним, что максимальное волновое число, которое может поддерживать сетка, равно п/h; это соответствует длине волны X = 2h.
Свойство высокой точности и хорошего разрешения мелких масштабов является особенно востребованным, в частности в задачах прямого численного моделирования турбулентности (DNS), в методике больших вихрей (LES), а также в задачах вычислительной аэроакустики.
В разд. 2 данной работы приводится один из вариантов мультиоператорной схемы с обращением двухточечных операторов для уравнений газовой динамики. Отличительной особенностью
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 12-01-00456) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН № 3.
этого варианта является раздельное использование полусумм и полуразностей базисных операторов для, соответственно, аппроксимации конвективных членов и введения в схему диссипа-тивного механизма.
Разд. 3 посвящен выбору параметров мультиоператоров с целью уменьшения фазовых и амплитудных ошибок в диапазоне самых коротковолновых гармоник, поддерживаемых сетками. Построенная мультиоператорная аппроксимация десятого порядка с оптимальным набором четырех параметров позволяет осуществлять параллельные вычисления действий мультиоператоров на основе четырехядерных процессоров. В отличие от ранее использовавшихся мультиопе-раторных аппроксимаций конвективных членов диссипативная составляющая схемы строилась в виде независимого самосопряженного положительного мультиоператора девятого порядка. Приводятся результаты тестирования оптимизированных мультиоператоров на модельных задачах.
Мультиоператорные схемы до девятого порядка, основанные на базисных операторах с обращением трехточечных операторов, использовались при решении ряда задач о неустойчивости течений несжимаемой жидкости и газа (см., например [4], [5]).
В разд. 4 приводятся результаты применения построенной оптимизированной схемы к численному моделированию неустойчивости горячих дозвуковых струй с возбуждением акустических полей. При решении этой нестационарной задачи особенно актуальна малость фазовых и амплитудных ошибок в широком диапазоне волновых чисел. Это связано с необходимостью получать решения уравнений Эйлера или Навье—Стокса на больших интервалах времени, для которых накопление этих ошибок может существенно понизить точность.
2. МУЛЬТИОПЕРАТОРНАЯ СХЕМА С ОБРАЩЕНИЕМ ДВУХТОЧЕЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ
2.1. Базисные операторы
2.1.1. Для полноты изложения напомним некоторые результаты из [1]. Пусть L : U —U — некоторый линейный оператор, а U — некоторое пространство функций u(x), x е [—да, да], обладающих таким количеством производных, которое требуется для дальнейшего рассмотрения. Введем пространство сеточных функций uh е Uh, определенных на сетке ®h = {xy- = jh, j = const, j = 0, -1 , +2 , ...}, а также оператор проектирования [.] : U —► Uh такой, что [u]j = u(xj), Xj е roh. Имея в виду достаточно широкий класс приближенных формул, рассмотрим аппроксимацию
где суммирование проводится по узлам некоторого шаблона, а коэффициенты Ък получены для случая обычного степенного базиса.
Не нарушая общности, ограничимся рассмотрением трехточечных операторов, удобных тем, что их шаблоны не используют узлы за пределами вычислительных областей. Такие операторы запишем в терминах операторов трехточечных первых и вторых центральных разностей
где Тт, Е : ик —► ик суть сеточные операторы сдвига на расстояние тк (т.е. Ттц = ц + т) и единичный оператор соответственно. При этом Ькц = (аЕ + ёД0 + еД2)ц, где а, ё, е суть некоторые коэффициенты. В частности, а = 0, ё = 1/2к в случае аппроксимации первых производных. Введем сеточные операторы вида
где с является параметром. В дальнейшем предполагается, что с > —1/2. Тогда действие ^ } = Мкц, к = I, г, операторов N и N на известные сеточные функции ц в случае ограниченных областей О = {х0 < х < х„} можно вычислить, использовав, соответственно, следующие процедуры:
k
До = Ti _ T-i, Д2 = Ti _ 2E + T_i,
N(с) = (E + с(E_ T_i))-1, Nr(с) = (E + с(E_ Tx))-1,
Wj = aWj_i + pUj, u0 задано, j = i, 2,..., n, Wj = aWj +1 + pUj, un задано, j = n _ i, n _ 2, ..., 0, a = с/(1 + с), p = 1/(1 + с).
Если использовать параметры с, удовлетворяющие условию |с| ^ 1, то значения ик и ип _ к с точностью 0(ск) не зависят, соответственно, от и0 и ип.
Используя операторы Щ и Щ, вводим аддитивные или мультипликативные поправки к Ьк:
Ь( с) = Ьк + N (с)(аА + Ъ,Д2), Ьг (с) = Ь„ + N (с)(аД, + ЬА) (2)
или
Ь,(с) = N (с)(Ьк + а, До + Ь, Д2), Ь г (с) = N (с)(Ьк + а г Ас + Ъ А), (3)
где а, Ъ1, аг, Ъ, а 1, Ъ\, аг и Ъг суть некоторые параметры. Выбирая эти коэффициенты как функции параметра с, можно управлять порядком аппроксимации операторов Ь(с) и Ьг(с). Будем называть в дальнейшем полученные операторы, соответственно, левыми и правыми.
В [1] и [3] приводятся примеры этих формул для различных сеточных функционалов. В данной работе будем использовать операторы вида (2), аппроксимирующие первые производные с третьим порядком. Они имеют вид коррекции трехточечной формулы первого порядка для первой производной:
Ьк = Д(5) = (До - 5Д2)/2к,
где з — некоторый коэффициент. При этом левый и правый операторы Б1 и Бг с аддитивными поправками после определения всех коэффициентов из условия обращения в ноль членов первого и второго порядков записываются в виде
в< = 2к (До- 37- Д2 + Г. а) (4)
и
Бг = 1 (До + 1Д2 - 1 Мгд2) . (5)
2кV 3с 3с ;
Пусть ик есть гильбертово пространство достаточно быстро убывающих на бесконечности функций со скалярным произведением (ик, ук) = к1>°°= и-V-. Тогда операторы Д0, Д2 : ик —► ик являются, соответственно, кососимметричным и самосопряженным отрицательным операторами. Использовав их коммутативность, можно показать (см. [1], [3]), что кососимметрические составляющие операторов Д, Бг совпадают, а самосопряженные составляющие имеют противоположные знаки. При этом левый оператор положителен, а правый — отрицателен. Это позволяет использовать эти операторы при построении устойчивых противопотоковых схем для уравнений с конвективным переносом. Для действия этих операторов на достаточно гладкие функции имеют место следующие разложения:
2
од = Ы-+^ [«XV -1+53с0+5с [ +0(к5),
12 30 2 (6) п г 1 г -1 1 + 2сг (4)п ,3 1 + 5с + 5с г (5), , 4 „ ,, 5*
»г[ « ]у = [ «X ]- - -Т.- [ «X ]-к--^-[ «X — + 0 (к ) .
у 12 30
Нетрудно установить (см. [1]), что коэффициенты при Нк при учете следующих членов разложений в правых частях формул (6) будут полиномами (к — 2)-й степени от с.
Операторы Б1 и Бг можно использовать в качестве базисных при построении "левых" и "правых" мультиоператоров вида
м м
»1, м (сЬ с2, ..., см) = ^ у;-А( с;), м (сь с2, ..., см) = ^ у;»г( с;),
I = 1 I = 1
где с1, с2, ..., см — набор попарно не совпадающих параметров, удовлетворяющих условию с} > —1/2, ] = 1, 2, ..., М, а коэффициенты у;,] = 1, 2, ..., М, получены из условия того, что после подстановки разложений типа (6) в эти линейные комбинации оказывается равным нулю М — 1 коэффициентов при А3, к4, ..., км +1. В [1] показано, что матрица линейной системы для определения у; явля-
ется матрицей Вандермонда, что гарантирует существование и единственность выписанных мультиоператоров; при этом системы для определения у; в случаях левых и правых мультиопера-торов оказываются одинаковыми. Там же показано, что левые и правые мультиоператоры имеют од
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.