ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2009, том 35, № 11, с. 1070-1072
МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ
УДК 533.9
об одной распространенной неточности
в определении числа маха для солитонов в плазме
© 2009 г. А. Е. Дубинов
ФГУП "Российский федеральный ядерный центр — Всероссийский научно-исследовательский институт
экспериментальной физики", Саров, Нижегородская обл., Россия Поступила в редакцию 11.01.2009 г.
Рассмотрена широко распространенная в литературе неточность в определении числа Маха для нелинейных волн звукового типа в плазме. Показано, что для правильной записи числа Маха следует нормировать скорость волны на ее линейную скорость, получаемую из дисперсионного соотношения для данной, а не произвольной модели плазмы.
PA.CS: 52.35.Fp, 52.35.Mw.
Исходные уравнения, теоретически описывающие нелинейные волны звукового типа в плазме, перед решением часто нормируют на характерные величины, позволяющие упростить анализ этих уравнений и построить необходимые графики. При этом, как правило, величины с размерностью длины нормируются на дебаевскую длину, величины с размерностью времени — на период ионно-плазменных колебаний, а величины с размерностью скорости — на линейную скорость изучаемой волны. Тогда получаемую таким способом безразмерную скорость нелинейной волны (солитона или ударной волны) называют числом Маха.
Оказывается, что при выполнении этой простой процедуры нормировки многие авторы допускают одну неточность, приводящую к ошибочным выводам. Рассмотрим процедуру нормировки на примере недавно вышедшей работы [1]. В ней исследуется газодинамическая модель нелинейных ионно-звуковых волн в плазме сложного состава, содержащей безынерционные электроны, положительно и отрицательно заряженные ионы, а также заряженные неподвижные пылинки постоянного отрицательного знака заряда.
Запишем исходные уравнения работы [1] в ненормированном виде
дщ + д (лу) = д? дх
0,
дХ1 + V, дХх\ --адф
д?
дх
--е дк-у ! кТ дх
С V!-2 щ
V л1,0 У
/ л
Ж
V л1,0 У
дЛ2 , д(п2^2) = 0, д? дх
(1) , (2) (3)
¡дул + ТТ дхЛ _„дф_
т2 (■(2 + ^) _ еТ* - У2кТ2,0 V д? дх! дх
/ V 2—2
Ж.
V Л2,0 У
д дх
( \
Ж
V л2,0 У
_ 4Яе
дх
Ле,0ехр| кТ \- П1 + Л2 + 2пй
(4)
(5)
в которых использованы обозначения из [1], но дополнительно введены у1;2 — показатели адиабаты ионных газов (в [1], в частности, принято у1;2 = 3). В рассматриваемой модели для ионных компонент плазмы ионно-звуковая волна сжатия-разрежения — адиабатический процесс, а для электронной компоненты — изотермический (мы здесь не будем обсуждать условия реализуемости модели работы [1]).
В [1] уравнения (1)—(5) представлены сразу в нормированном виде, в котором координата х нормирована на электронный радиус Дебая
X в = (4 пле0е2 /кТе)1/2, время ? — на обратную плазменную частоту ионного газа сорта 1, в выражении для которой концентрация л10 заменена на
ле0, т.е. 1 ю*, 1 = (тУ4пле0е 2)1/2, а скорости нормированы на скорость ионного звука с, определяемую выражением
с,
(6)
Такой выбор нормировочных величин, казалось бы, является делом удобства и вкуса автора [1]. Но нормированная на (6) скорость ионно-звукового солитона названа в [1] числом Маха (см. с. 1037), а это уже неверно.
Напомним, что линейная скорость ионного звука вида (6) получается лишь для простой модели двухкомпонентной плазмы, в которой электроны изотермичны и безынерционны, а ионный
газ — холодный. Легко понять, что для рассматриваемой в [1] модели четырехкомпонентной плазмы с ионами, подчиняющимися адиабатным уравнениям состояния, линейная скорость ионного звука должна выражаться не уравнением (6), а иначе.
Действительно, подставляя в (1)—(5) малое гармоническое ионно-звуковое возмущение вида ехр[/(ю? - кх)] и производя линеаризацию, получим следующее дисперсионное соотношение:
где ю р1, ю р2 — плазменные частоты ионных компонент, а vTд = (кТ10/т)1/2, ут,2 = (кТ2о/т2)1/2 — их тепловые скорости при невозмущенных концентрациях л10, л20 соответственно.
График дисперсионного соотношения (7) показан на рис. 1. Кратко прокомментируем его. Хорошо известно, что соотношение типа (7) для
Легко видеть, что оба значения (8), на одно из которых следует нормировать уравнения (1)—(5) для записи скорости в виде числа Маха, сильно отличаются от (6). Одно из этих значений, записанное со знаком "+" перед внутренним радикалом, соответствует "быстрой" ионно-звуковой волне, в которой оба сорта ионов и электроны колеблются в фазе, а другое — "медленной", в которой в фазе друг с другом находятся лишь электроны и положительные ионы, тогда как отрицательные ионы находятся в противофазе с ними [2]. Следовательно, при анализе солитонных решений системы (1)—(5) для вычисления числа Маха быстрого солитона необходимо нормировать скорости на бельшее значение (8), а для медленного солитона — соответственно, на меньшее значение.
Таким образом, те выводы работы [1], которые касаются числа Маха, по крайней мере, неверны в числах.
Теперь почему была написана данная заметка. Оказывается, статья [1] — далеко не единственная работа, в которой под числом Маха подразумевают скорость, нормированную на произвольно выбранную из других, более простых моделей ско-
ФИЗИКА ПЛАЗМЫ том 35 № 11 2009
1071
ю
0
График дисперсионной кривой согласно (7).
би-ионной плазмы дает две положительные ион-но-звуковые ветви [2—5], каждая из которых имеет свое значение линейной скорости звука. Эти скорости равны тангенсам углов наклона двух пунктирных прямых, показанных на рис. 1. Простое вычисление lim ю/к или lim dro/ d к дает
к —^ 0 к —^ 0
(8)
рость звука. Можно назвать и множество других работ, в которых скорость линейного ионного звука не была найдена из дисперсионного уравнения, а была выбрана произвольно. Например, так было сделано в работах из журнала "Физика плазмы" [6—8], и в недавних работах, опубликованных в зарубежных журналах [9—12].
Указанную неточность нельзя считать сугубо терминологической, использование неправильной нормировки скорости может привести к ошибочным физическим выводам. Так, например, в [9] при рассмотрении ионно-звуковых волн в вырожденной электрон-позитрон-ионной плазме подобный неаккуратный выбор нормировки скоростей привел авторов к выводу о возможности дозвуковых солитонов.
Поэтому, чтобы избежать подобных ошибок, следует перед тем, как нормировать исходные уравнения, провести вывод дисперсионного соотношения.
Автор благодарен проф. А.А. Рухадзе за полезные обсуждения.
ОБ ОДНОЙ РАСПРОСТРАНЕННОЙ НЕТОЧНОСТИ В ОПРЕДЕЛЕНИИ ЧИСЛА МАХА
cs,± = {22[)D(®ll + Чм) + (YlvT,l + Y2vy] : ((,1 ■
w
)D+2(1 - wpJ^vTu - y2^7,2))D ■
"(Ylvr,1 - Y2vT,2)
1/2
1/2
1072
ДУБИНОВ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Прудских В.В. // Физика плазмы. 2008. Т. 34. № 11. С. 1033.
2. D'Andelo N, Goeler S.V., Ohe T. // Phys. Fluids. 1966. V 9. № 8. P. 1605.
3. Nakamura Y., Nakamura M, Itoh T. // Phys. Rev. Lett. 1976. V. 37. № 4. P. 209.
4. Tran M.Q., Coquerand S. // Phys. Rev. A. 1976. V. 14. № 6. P. 2301.
5. IchikiR, Yoshimura S., Watanabe Ts. // Phys. Plasmas. 2002. V. 9. № 11. P. 4481.
6. Березин Ю.А., Дудникова Г.И., Федорук М.П. // Физика плазмы. 1996. Т. 22. № 6. С. 564.
7. Попель С.И., Голубь А.П., Лосева Т.В. и др. // Физика плазмы. 2001. Т. 27. № 6. С. 483.
8. Попель С.И., Гиско А.А., Голубь А.П. и др. // Физика плазмы. 2001. Т. 27. № 9. С. 831.
9. Abdelsalam U.M., Moslem W.M., Shukla P.K. // Phys. Lett. A. 2008. V. 372. № 22. P. 4057.
10. Esfandyari-Kalejahi A., Kourakis I., Shukla P.K. // Phys. Plasmas. 2008. V 15. № 2. P. 022303.
11. Roy K, Misra A.P., Chatterjee P. // Phys. Plasmas. 2008. V 15. № 3. P. 032310.
12. Tribeche M, Ghebache S, Aoutou K, Zerguini T.H. // Phys. Plasmas. 2008. V 15. № 3. P. 033702.
ФИЗИКА ПЛАЗМЫ том 35 № 11 2009
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.