КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 3, с. 238-242
УДК 517.977.58:629.783
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИЙ
© 2008 г. И. С. Григорьев, М. П. Заплетин
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова (механико-математический факультет) Поступила в редакцию 25.09.2006 г.
В работе рассматривается задача оптимизации траекторий перелета космического аппарата от Земли к астероиду. Перелет осуществляется в центральном ньютоновском гравитационном поле Солнца с возможностью совершения гравитационных маневров около планет. Пертурбационные маневры учитываются в рамках методики точечной сферы действия с ограничением на высоту пролета. Управление КА осуществляется величиной и направлением тяги двигателя. В задаче учитываются ограничения на время старта, продолжительность перелета и минимальное расстояние до Солнца.
PACS: 45.10. Db
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматриваемая в работе задача1 относится к классу задач оптимального управления с фазовыми ограничениями и промежуточными условиями.
Перелет КА рассматривается в центральном ньютоновском поле Солнца. Система дифференциальных уравнений управляемого движения центра масс КА имеет вид:
х = и, у = ^, г = w, т = -Р/ с,
и = -
гъ m'
у = -
+P.
m
Msy . - y
Msz Pz w = - ^ + —. r m
■•J-
Px + P
+ P2 < P .
z — max'
где х, у, г - координаты центра масс КА в эклиптической декартовой системе координат, связанной с центром Солнца; г = |К| - расстояние от КА до центра Солнца, К = (х, у, г) - радиус-вектор центра масс
1 Рассматриваемая в работе задача была предложена на со-
ревнованиях по оптимизации траекторий перелетов КА,
организованных Европейским космическим агентством в
ноябре 2005 года. На решение задачи отводилось три неде-
ли. Заявки на участие в этих соревнованиях подали 17 ко-
манд, 11 из них представили решения и были приглашены
к участию в итоговой конференции (г. Нордвик, Нидер-
ланды, 2 февраля 2006 года). Представленное в работе ре-
шение заняло 8 место в общем списке и первое в классе
прямых перелетов.
КА; и, v, w - компоненты вектора скорости КА; м -гравитационный параметр Солнца; c - скорость истечения реактивной струи, c = Руд ■ g0, Руд = 2500 с -удельная тяга, g0 = 9.80665 м/с2 - гравитационное ускорение у поверхности Земли; m - масса КА, P -управляющий вектор реактивной тяги, P - его величина и Px, Py, Pz - проекции на оси координат; Pmax = 0.04 Н.
В процессе перелета КА может совершать пертурбационные маневры около планет (метод точечной сферы действия) с ограничением на высоту пролета. Требуемые значения параметров приведены в таблице 1.
Движение планет в постановке задачи учитывается в соответствии с JPL DE405 (http://ssd.jpl.nasa. gov/horizons.html). Луна в постановке задачи отсутствует.
Условия старта: в начальный момент времени t0 из интервала [3653; 10958] MJD2000 (Modified Julian Date 2000), соответствующего годам с 2010 по 2030, КА находится в центре Земли, его скорость отличается от скорости Земли не более чем на 2.5 км/с, масса равна 1500 кг.
Условия финиша: КА должен попасть в астероид 2001 TW229. Считается, что астероид совершает невозмущенное эллиптическое движение. Элементы орбиты астероида приведены в таблице 2 (http://cfa-www.harvard.edu/cfa/ps/mpc.html).
Таблица 1
Меркурий Венера Земля Марс Юпитер Сатурн Солнце
Гравитационный параметр, км3/с2 Минимальный радиус пролета, км 22321 2740 324 860 6351 398601.19 6678 42828.3 3689 1.267 ■ 108 600000 3.79 ■ 107 70000 1.32712428 ■ 1011 0.2 а.е.
Продолжительность перелета не более 30 лет. Функционал:
У, км
3 =
ж{
ге1
V а
• тах,
(1)
где ш-^ - конечная масса КА, Уге/ - вектор скорости КА относительно астероида в момент соударения, Уа^ - вектор гелиоцентрической скорости астероида в момент соударения.
2. МЕТОД РЕШЕНИЯ
Как отмечалось в [1, §14, с. 113], наиболее точные и аккуратные численные решения задач оптимального управления связаны с решением соответствующих краевых задач принципа максимума. Для успешного решения краевых задач принципа максимума необходимо выбрать хорошее начальное приближение решения задачи. Выбор хорошего начального приближения особенно актуален в случае, если у краевой задачи принципа максимума имеется большое число различных решений. Для выбора начального приближения предлагается использовать решение вспомогательных задач. При успешном выборе упрощающих предположений вспомогательные и исходная задачи включаются в параметрические семейства задач, и переход от решения одной задачи к решению другой происходит с использованием какого-либо способа, например, с использованием метода продолжения решения по параметру.
При формировании вспомогательной задачи используется следующее упрощающее предположение: вся траектория состоит из участков трех типов (перицентрические, апоцентрические и пассивные участки, см. рис. 1) и на каждом из участков управление задается из эвристических соображений как функция фазовых переменных (координат и скоростей КА).
Перицентрические участки определяются соотношением |д| < "д-р, где д е (-п, п] - мгновенная истинная аномалия КА. На перицентрических участках тяга двигателя максимальна и сонаправ-лена с вектором скорости КА.
Апоцентрические участки определяются соотношением |д| > да, да > др. На апоцентрических участках тяга двигателя также максимальна, ее направление определяется углом а отклонения вектора тяги от плоскости движения.
Пассивные участки находятся между перицен-трическими и апоцентрическими (др < |д| < да), тяга двигателя на них нулевая.
3. ПОСТАНОВКА ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
Система дифференциальных уравнений движения КА имеет вид:
- на перицентрическом участке
8
5 • 10
X, км
-5 • 108
Рис. 1
х = и, у = V, ? = М, ш = -Ртах/С,
3 3
и = - ц5х/г + Рх/ш, V = - Ц5у/г + Ру/ш,
мм = - ц^/г + Р1/ш,
где Р _ (Рх, Ру, Р) _ Лпахе^ ^ = У/|У|, У = (и, V, w),
у _ Г2 2 2 У _ л/и + V + м ;
- на апоцентрическом участке
х = и, у = V, I = м, ш = -Ртах/С,
и = - ц5х/г3 + Рх/ш, V = - ц5у/г3 + Ру/ш,
мм = - г + Р1/ш,
где Р _ (Рх, Ру, Рг) _ Ртах(со8(аК + 8т(а)еД ес _ (К х У)/|К х У|;
- на пассивном участке
х = и, у = V, ? = м, т, = 0,
3 3 3
и = -Ц5х/г , V = -Ц5у/г , мм = г .
Таблица 2
а (большая полуось, а. е.) 2.5897261
е (эксцентриситет) 0.2734625
1 (наклонение, град) 6.40734
ю (аргумент перицентра, град) 264.78691
О (долгота восходящего узла, град) 128.34711
М (средняя аномалия в эпоху 320.47955
53600 МГО, град)
AV = 2.5 км/с
выполнения, кроме условий непрерывности траектории и скорости КА, выполняются условия:
х2 (т) + у2(т) + г2 (т) - (0.2[ а.е. ])2 = 0, х (т) и(т) + у(т) V (т) + г(т) м (т) = 0,
причем
d dt
(х (t) u (t) + у (t) v (t) + г (t) w (t))) = т > 0.
Рис. 2
Начальные условия:
х(¿0) - хе( t0) = 0, у(¿0) - Уе(¿0) = 0, г (¿0) - ге (¿0) = 0,
(и(¿0) - ие(¿0))2 + ( V(¿0) - Vе(¿0))2 +
+ (м(¿0) - ^(¿0))2- (2.5 [км/с])2 = 0,
ш (¿0) - 1500 [ кг ] = 0,
где хе(Гэ), уе(к), ге(к), Щ^), Ve(t0), ме(^) - координаты и компоненты вектора скорости центра Земли в начальный момент времени ¿0.
Конечные условия:
х(Т) - х^(Т) = 0, у(Т) - у^(Т) = 0,
г(Т) - гаАТ) = 0,
где х^Т), Уast(T), гаЛ) - координаты центра астероида в конечный момент времени Т.
В моменты стыковки активных и пассивных участков фазовые переменные (координаты, скорости и масса) непрерывны. Кроме этого выполняются условия:
- в момент стыковки перицентрических и пассивных участков
х, у, г, и, V, м) _ ±др;
- в момент стыковки апоцентрических и пассивных участков
х, у, г, и, V, м) _ ±да.
В задаче имеется фазовое ограничение: 0.2 а.е. -г(г) < 0. (Задачи с фазовыми ограничениями ранее рассматривались авторами в [2, 3]).
Проведенные исследования показали, что на рассматриваемых траекториях фазовое ограничение является точечным и поэтому в момент т его
(Ранее задача с точечным фазовым ограничением рассматривалась в [3]).
Полученная вспомогательная задача максимизации функционала (1) может рассматриваться как задача математического программирования. При этом, в задаче остаются следующие неизвестные: t0 - момент старта; ß, у - углы, задающие направление начального импульса (см. рис. 2); '&a - углы, определяющие перицентрический и апоцентрический участки; а - угол отклонения тяги на апоцентрическом участке; AT - продолжительность полета.
Эти 7 неизвестных задачи должны быть выбраны так, чтобы выполнились 3 условия:
х(T) - Xast( T) = 0, у( T) - yast( T) = 0, г(T) - Zast(T) = 0.
Фазовое ограничение r(t) > 0.2 а.е., присутствующее в исходной постановке задачи, включается
в число условий в виде: min r(t) - 0.2 а.е. = 0.
t ^ tt0,T]
Заметим, что минимум расстояния до Солнца на рассматриваемых траекториях достигается в единственной точке на последнем витке.
Вспомогательная задача математического программирования решается методом декомпозиции.
Неизвестные t0, Фа считаются свободными, а оставшиеся неизвестные ß, у, а, AT - зависимыми. Зависимые неизвестные определяются в результате решения системы алгебраических уравнений (при заданных величинах свободных неизвестных), свободные неизвестные определяются в результате максимизации функционала J.
Система нелинейных алгебраических уравнений решалась модифицированным методом Ньютона с использованием в условии сходимости нормировки Федоренко [1], максимизация функционала производилась покоординатным методом (методом покоординатного спуска). Выбор метода оптимизации был обусловлен двумя следующими факторами: для решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона необходимо хорошее начальное приближение, что обеспечивается небольшими смещениями по координатам; число свободных переменных мало. Разумеется, при большом числе свободных координат этот метод окажется неэффективным и потребует замены.
У, км 5 • 108 -
-5 • 108 -
Рис. 3
В случае, если на траектории предполагались пертурбационные маневры у планет (при неограниченной высоте пролета), к числу неизвестных задачи добавлялись по 3 неизвестных параметра (момент пролета и два угла изменения скорости), а к числу условий - по 3 условия попадания КА в планету для каждого пертурбационного маневра.
Заметим, что пост
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.